2018高考理科数学压轴题详解
数学哥
21（12分）已知函数1()ln f x x a x x
=
-+ （1）讨论()f x 的单调性；
（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明1212()()2f x f x a x x -<--。

解答（1）：2'211()ln ()x ax f x x a x f x x x
-+-=-+⇒=(0)x > 令2()1h x x ax =-+-
①当0a ≤时，对称轴2
a x =位于给定区间(0,)+∞左侧
图形直观显示：在区间(0,)+∞内，'()0()0()h x f x f x <⇒<⇒单调递减 ②当0a >时，对称轴2
a x =位于给定区间(0,)+∞内 情况1：若24002a a ∆=-≤⇒<≤
图形直观显示：()h x 图像的最高点不可能突破x 轴到达x 轴上方，所以： '()0()0()h x f x f x ≤⇒≤⇒单调递减
情况2：若2402a a ∆=->⇒>
令2
12()10,h x x ax x x =-+-=⇒=
图形直观显示：在区间1(0,)x ，2(,)x +∞内，
'()0()0()h x f x f x <⇒<⇒单调递减； 在区间12[,]x x 内，'()0()0()h x f x f x ≥⇒≥⇒单调递增。

（2）解法1：利用函数图像进行分析：
图形直观表明：1212
()()AB f x f x k x x -=-，且至少存在一个实数ξ，12(,)x x ξ∈使得'1212
()()()f x f x f x x ξ-=- 由于2'
''21()()|()x ax f f x f x x ξ⎧⎫-+-∈=⎨⎬⎩⎭，所以，只要证明'max ()2f x a <-，则'()2f a ξ<-必然成立，即1212
()()2f x f x a x x -<--，于是命题得证。

问题转化为证明'max ()2f x a <-
证明：由（1）可知2''
max 2244()()12a a f x f a a -===-
22
441(2)3()a a a a -
--=-+ 由（1）可知2222444423()33()022a a a a a a a a a a >⇒+=++>⇒-+<-⇒-+<，即： ''12max 12
()()()(2)0()(2)02f x f x f x a f a a x x ξ---<⇒--<⇒<-- （2）解法2：由（1）可知，若()f x 存在两个极值点1x 和2x ，不妨设12x x <
通用方法：1x 和2x 是2'
21()x ax f x x -+-=的零点，所以： 21110x ax -+-=；22210x ax -+-=，从而可以找到1x 和2x 之间的关系 特殊方法：敏锐地观察到2()1h x x ax =-+-是二次函数，所以，可以直接利用韦达定理找到1x 和2x 之间的关系，即：
1221212
1101ln ln x x x ax x x x x ⎧=⎪-+-=⇒=⇒⎨⎪=-⎩① 提示：12x x a +=（带有参数使用起来不方便）
112212121212121211(
ln )(ln )()()(ln ln )2x a x x a x f x f x x x a x x x x x x x x -+--+--==-+---② 通用方法：令1212
(ln ln )()2a x x H x x x -=-+-，只要证明()2H x a <-，则命题得证 特殊方法：敏锐地观察到目标式1212
()()2f x f x a x x -<--和②式的结构特点，不难发现：只要证明1212
ln ln 1x x x x -<-，则命题得证 12121212
ln ln 1ln ln x x x x x x x x -<⇔->--③ 将①代入③式得222222
112ln 2ln 0x x x x x x ->-⇒-+<
22()1a h x x ax >⇒=-+-的对称轴2112
a x x =>⇒> 构造函数1()2ln h t t t t
=-+，(1,)t ∈+∞ 2
'
2221(1)()10()t h t h t t t t -=--=-≤⇒在(1,)+∞上单调递减 2212
11()lim ()02ln 02ln 0t h t h t t t x x t x +→<=⇒-+<⇒-+< 12122221212
ln ln ()()12ln 012x x f x f x x x a x x x x x ---+<⇒<⇒<---。