多边形的内角和与外角和课程名称：几何案例名：选地砖一、案例背景该班生源较好，主要表现在两个方面；第一是上课思路相对集中，不容易被其它同学讲话，相互干扰等外因打断自己思考问题的思路。

第二发散性思维能力较强。

主要表现在学生思考某一问题时能够从不同的侧面、不同的角度发表自己的看法和观点。

对于同一个命题，学生能分清题设和结论部分，并有部分学生具有逆向思维能力。

但在该班仍有少部分学生学习态度不够端正，学习习惯也不是很好，从而造成数学思维能力、计算能力等不是很强。

教师希望通过这堂课的学习使成绩优良的学生进一步锻炼和发展自己的思维能力，使少部分成绩较差的学生在分层教学和分小组讨论的过程中也能体会学习的乐趣，使全班同学不仅学会多边形内角和的应用，而且要学会发现问题、分析问题、研究问题和解决问题的思维方式和方法。

基于这样的现状，教师在课前做了大量的准备工作。

首先布置所有同学进行《多边形内角和》的认真预习，其次，课堂上的位置也是精心编排的。

让每组中都有不同层次的同学，希望培养学生的团队精神与合作意识。

再次，对于课堂内容，教师进行了目标分层、问题分层、习题分层，并且该课的习题也精心设计有练习题和思考题，练习题是每位同学必须完成的，较难的思考题是选做的。

教师希望学生要学会数学知识，但更重要的是学会如何学习。

二、教育过程（一）新课导入1、选地砖“哦，挑那一种地砖好呢？”太太叹了口气。

画面上一对年轻夫妇正在挑选装修地板的瓷砖。

面对着琳琅满目的瓷砖，他们既希望色彩称心，又希望形状独特别致。

这时候，专业设计师走来向他们推荐。

在初步商量之后，设计师向他们展示了三幅不同的拼花图案。

2、调查研究T：这三幅图案是同学们在日常生活中经常可以看到的。

请大家观察一下这三种图案都是由哪些基本图形组成的？有没有同学知道？S1：第一幅图是由六边形组成的。

T：回答很好，六边形。

那第二幅图呢？S2：五边形与三角形。

T：五边形吗？也是六边形，对，还有吗？这是什么？S1：三角形。

T：第三幅图呢？S3：正方形。

T：（微笑）正方形。

还有这是什么，几边形？S3：六边形。

T：六边形吗？S：八边形。

T：八边形，很好，请坐。

这三幅图我们观察出分别是由边和角相等的三角形、四边形、六边形和八边形所组成的。

好，现在呢，我们以第一个图为例。

（图1放大）请大家思考一下，为什么用这样的六边形能拼出平整的没有空隙的平面图形呢？为什么？我们应从哪一些量上去考虑？边相等吗？S 齐：边相等。

T ：边都相等，内角怎么样？S 齐：都相等。

T ：每个角都相等，而且你看共顶点的三个内角可以形成一个什么角。

S 齐：周角。

T ：三个内角可以形成，可以拼成平整的没有空隙的平面，对不对？好，那有同学肯定要问了，如果用内角相等，边也相等的七边形可不可以拼成这样的没有空隙的平面图形呢？可不可以？可以？不可以？为什么？（七边形的展示）我们可以从两个角度来考虑。

首先看它的边，边长都相等，这有问题吗？S 齐：没问题。

T ：那和角有关的关键是什么？关键是几个七边形的内角能不能拼成一个周角，也就是说七边形的内角度数是不是360的约数？好，也就是说我们要求七边形的内角和。

这就是我们今天要研究的一个课题——多边形的内角和。

（板书）好，我们再回到刚才的问题，我们知道这样的六边形可以拼成平整的没有空隙的平面图形。

那么，六边形的内角和是多少呢？我们以任意的六边形为例，请大家想想看这样任意的六边形的内角和如何来求呢？朱萍知道了。

（二）分割思想S3：可以把它分割为一个个的小三角形。

T ：（微笑）噢，可以把它分割为一个个的小三角形。

为什么要把它分割为一个个的小三角形呢？S3：我们知道三角形的内角和是180°，就可以利用周角和三角形的内角和来求出六边形的内角和。

T ：非常好我们已经知道了三角形内角和是180°，其实我们还知道四边形的内角和是360°，我们可以将这个六边形分割成三角形和四边形，利用三角形内角和定理和四边形的内角和定理来研究六边形的内角和。

（三）分割方法现在我们四个同学一组，请每组同学一起讨论，看看哪一组同学把这个六边形分割成三角形或四边形，看哪一组同学方法最多。

然后请同学到黑板上来演示一下。

教师走到朱萍同学这一组，（小组成员：A——施安伦，——万钧，——陈裕，C——朱萍）发现学习成绩较差的施安伦在说自己的想法，要求把分割点放在多边形的内部。

接下来万钧和朱萍认为分割点还能放在顶点上，施安伦想了一下。

这时教师微微一笑正想开口，施安伦叫到：“我知道，我知道，还可以把分割点放在多边形的外部。

”“很好，施安伦非常聪明。

”教师说。

随即教师就到别组进行讨论指导了。

现在我们看哪个小组同学首先上来演示给同学看一下，有没有？现在我们看一下：（分别请五位同学）03601B 2B图一图二图三图四图五T：同学们观察一下，这些分割后的三角形的公共顶点都落在六边形的什么部分？（教师指着图一、图三、图五）S7T：（微笑）分割后的三角形的公共顶点还能落在什么位置呢？S7：公共顶点还能落在六边形的外部。

T：对，外部。

请哪一位同学上来展示一下。

图六T：如果不考虑分割后三角形公共顶点的位置，除了以上分割方法之外，还有没有其它的分割方法？S3：还有。

（走到黑板上演示）图七图八（四）分类比较T：同学们，我们对以上所分割的所有图形做一个分类。

（教师指着图一到图八）S：（同学思考后分类如下）我们可以分为三类：第一类把六边形分成三角形；第二类把六边形分成三角形和四边形；第三类把六边形分成四边形。

T：在这些分割方法中，哪些较好，对我们计算六边形内角和比较方便？S7：我认为是第四种。

T：为什么？S7：因为这样分割次数最少，仅用一次分割就把六边分为两个四边形。

T：请你把七边形分为几个四边形，好吗？S7：（沉思片刻，自言自语）这种分割方法对六边形适用，可是对七边形不适用。

T：还有没有同学认为其它方法比较好的？S6：第三种，公共顶点取在六边形的顶点上。

T：为什么？三角形的个数和六边形的边数有何关系？适合任意多边形吗？S6：三角形的个数等于六边形的边数减二，这种分割方法不仅适应六边形，也适应任意多边形。

T：公共顶点取在六边形的顶点上，这种方法不错，还有没有其它分割方法是比较直观的呢？S3：还有第五种。

这种分割方法不仅适应六边形，也适应任意多边形。

（五）探寻规律T ：如果多边形的内角和计算有一定规律，那我们不用每次去分割多边形了，我们只要用它的规律来求。

那么这个多边形的内角和到底是多少呢？我们下面通过列表的方式。

我们从简单的多边形——四边形开始来研究它的内角和，然后用观察、猜想、归纳的方法得到多边形内角和定理。

对四边形，首先取什么样的方法来分割成三角形来研究呢？用什么样的方法？在刚才两种较好的方法中，大家选哪一种？S ：第三种。

（教师启发，学生填表）多边形图形（略）三角形的个数多边形的内角和423605354064720…………nn-2 (n-2)*180T ：现在有没有同学可以告诉我，多边形内角和定理的内容是什么呢？S9：N 边形的内角和为。

T ：（微笑）多边形内角和定理：N 边形的内角和为（板书）公共顶点取在顶点上，除此之外，还可以取在多边形的内部和外部。

留一个问题给大家思考：如果公共顶点取在多边形内部，边上，外部，是不是可以同样得到多边形的内角和是呢？（六）反馈练习一例1：22边形的内角和是多少度？解一： 解二：同学反映：解一错误，解二正确。

教师点评：解一产生错误的原因是没有认真理解n 边形的内角和定理。

n 是边数，而n 边形内角和应为，并不是。

解二正确，这说明这位同学已经能掌握并应用n 边形的内角和应用定理了。

例2：如果多边形内角和是，求这个多边形是几边形？解一： 解二：设多边形的边数为x .得一元一次方程： 解得：教师点评：解一的方法属于算数方法解二的方法属于代数方法，也就是列方程来解决问题。

0180)2(∙-n 0180)2(∙-n 0180)2(∙-n 0018022=⨯()003600180222=⨯-()01802⨯-n 0180⨯n 03602221803600=+÷003600180)2(=⨯-x 22=x练习一：<1>八边形的内角和是多少？<2>十六边形的内角和是多少？解：<1> <2>教师点评：十六边形的边数是八边形的两倍，但是十六边形的内角和却不是八边形内角和的两倍。

练习二：几边形的内角和是八边形的内角和的两倍？解一：先求出八边形的内角和： 再求出两倍的八边形的内角和为： 最后可求出多边形的边数，为：解二：设多边形的边数为n（七）反馈练习二T ：那我们再一次说明了刚才第一小题练习是正向的说明边数是倍数关系，内角和并不是倍数关系。

我们第二小题从逆向再一次说明了内角和成倍数关系，边数并不是倍数关系。

好。

我们来看第三题。

练习三：有一个五边形，它的四个外角分别为，求第五个内角的度数和它外角的度数？解：四个内角度数和： 第五个内角的度数：第五个外角的度数：教师点评：这样的解法不错，先求出第五个内角的度数，再求出它的外角的度数。

请大家仔细观察，五边形的外角和是多少？三角形的外角和呢？四边形的外角和呢？我们发现三角形、四边形、五边形的外角和都为，我们是不是可以猜测一下：任意一个多边形的外角和都是呢？如果是，怎么证明我们的猜测呢？01080180)28(=⨯-002520180)216(=⨯-001080180)28(=⨯-0021*******=⨯142122180216000=+=+÷14180)28(2180)2(00=⨯-⨯=⨯-n n 0000129,30,80,1110000000370350720)1293080111(4180=-=+++-⨯0000170370540370180)25(=-=-⨯-00010170180=-03600360证明：n 边形有n 个内角对应着n 个外角内角和为 每个内角加外角为 n 个内角加外角为 外角和为得出结论：任意多边形的外角和都为，和多边形的边数无关。

解二：第五个外角的度数第五个内角的度数：教师点评：比较两种解法，显然解二简洁明了。

所以我们不仅要记住n 边形的内角和为，而且要记住任意多边形的外角和为。

例3：有一个正多边形，每个内角都是160，求它的边数？解一：设正多边形有n 条边。

则n 边形的内角和为：根据题目可以得出：解二：每个内角和为，每个外角为多边形外角和为则多边形边数为：现在我们有几个思考题留给大家。

（电脑动画）思考一：n 边形的公共顶点在n 边形的内部、边上和外部时，多边形内角和定理正确吗？思考二：多边形的外角最多可以有几个是钝角？为什么？思考三：你能选用边长均为1分米、且个内角相等的三角形、四边形、六边形、八边形拼出n 种无空隙的美观平面图形吗？（八）小结T:下面我们对这堂课所学的内容作一个小结，今天这节课我们学了什么内容？多边形的0180)2(⨯-n 01800180⨯n 000360180)2(180=⨯--⨯n n 0360000000010350360)1293080111(360=-=+++-00017010180=-0180)2(⨯-n 03600180)2(⨯-n 1836020160360180160180)2(00000===-⨯=⨯-n n n n nn 016000020160180=-036018203600=内角和定理和外角和和它的推论。