2019-2020年中考数学 抛物线-压轴题
1、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （1）求抛物线的解析式；
（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，
△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值． （3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，
判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 直接写出相应的点Q 的坐标．
2、已知抛物线y ＝－x 2
＋bx ＋c 经过点A （0，4），且抛物线的对称轴为直 线x ＝2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若该抛物线的顶点为B ，在抛物线上是否存在点C ，使得A 、B 、O 、C 点构成的四边形为梯形？若存在，请求出点C （3）试问在抛物线上是否存在着点P ，使得以3为半径的⊙P 既与x 又与对称轴相交？若存在，请求出点P 的坐标，并求出对称轴被⊙P 的弦EF 的长度；若不存在，请说明理由．
3、如图，已知抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为Q （2，－1），且与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，
从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，
交AC 于点D ． （1）求该抛物线的函数关系式；
（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标； （3）在题（2）的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若
不存在，请说明理由．
．
4、如图，平面直角坐标系中，点A 、B 、C 在x 轴上，点D 、E 在y 轴上，OA ＝OD ＝2，OC ＝OE ＝4，DB ⊥DC ，直线AD 与经过B 、E 、C 三点的抛物线交于F 、G 两点，与其
对称轴交于M .点，P 为线段FG 上一个动点（与F 、G 不重合），PQ ∥y 轴与抛物线交于点Q ．
（1）求经过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式；
（2）是否存在点P ，使得以P 、Q 、M 为顶点的三角形与△AOD 相似？
若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若抛物线的顶点为N ，连接QN ，探究四边形PMNQ 的形状：①能
否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P 的坐标；
若不能，请说明理由．
5、如图，把抛物线y＝－x2（虚线部分）向右平移1个单位长度，
再向上平移1个单位长度，得到抛物线l1，抛物线l2与抛物线l1
关于y轴对称．点A、O、B分别是抛物线l1、l2与x轴的交点，D、
C分别是抛物线l1、l2的顶点，线段CD交y轴于点E．
（1）分别写出抛物线l1与l2的解析式；
（2）设P是抛物线l1上与D、O两点不重合的任意一点，Q点是P 点关于y轴的对称点，试判断以P、Q、C、D为顶点的四边
形是什么特殊的四边形？说明你的理由．
（3）在抛物线l1上是否存在点M，使得S△ABM ＝S四边形AOED ，如果存在，求出M点的坐标；如果不存在，请说明理由．
6、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（3，0），B（2，－
3），C（0，－3）．
（1）求此函数的解析式及图象的对称轴；
（2）点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．
说明理由．7、如图，二次函数y＝－x2＋ax＋b的图象与x轴交于A（－
2
1
，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且以A、C、D、B
四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四
点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；
若不存在，说明理由．
8、如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（－
2
1
，
2
3
），C（1，0），
∠ABC＝90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，
3
3
），以点D为顶点、
y轴为对称轴的抛物线过点B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B′，求证：四边形AOCB′是矩
形，并判断点B′是否在（1）的抛物线上；
（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过P点作x轴的垂线，
交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，
求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
9、如图，矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上，A （－3，0），过点C 的直线
y ＝－2x ＋4与x 轴交于点D ，二次函数y ＝－2
1x 2
＋bx ＋c 的图象经过B 、C 两点．
（1）求B 、C 两点的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）若点P 是CD 的中点，求证：AP ⊥CD ；
（4）在二次函数的图象上是否存在这样的点M ，使以A 、P 、C 、
M 为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
10、如图，在平面直角坐标系中，以点A (－3，0)为圆心、5为半径的圆与x 轴相交于点B 、C 两点（点B 在点C 的左边），与y 轴相交于D 、M 两点（点D 在点M 的下方）．
（1）求以直线x ＝－3为对称轴、且经过D 、C 两点的抛物线的解析式；
（2）若点P 是这条抛物线对称轴上的一个动点，求PC ＋PD 的取值范围；
（3）若点E 为这条抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点F ，使得以点B 、C 、
E 、
F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F
11、如图，已知抛物线y ＝ax 2
－2ax －b （a ＞0）与x 轴的一个交点为B (－
1，0)，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．
（1）直接写出抛物线的对称轴及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标； （2）以AD 为直径的圆经过点C ．
①求抛物线的解析式；
②点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B ，A ，F ，E
四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标．
12、如图，已知抛物线与x 轴交于点A (－1，0)和点B (1，0)，与y 轴交于点C (0，－2)，直线x ＝m (m ＞1)与x 轴交于点D ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在直线x ＝m (m ＞1)上有一点P （点P 在第一象限），使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标（用含m 的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在点Q ，使得四边
形ABPQ 为平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，
请说明理由．
13、已知抛物线： x x y 22
12
1+-
= （1）求抛物线y 1的顶点坐标；
（2）将抛物线y 1
向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y 2
，求抛物线y 2
的解析
式；
（3）如下图，抛物线y 2的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在y 1、y 2这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由．
14如图，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B ．有人在直线AB 上点C （靠点B 一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB ＝4米，AC ＝3米，网球飞行最大高度OM =5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．
（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？ （2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？
15、已知抛物线y ＝x 2
＋bx ＋c 交y 轴于点A ，点A 关于抛物线对称轴的对称点为B （3，－4），直线
y ＝4
1
x 与抛物线在第一象限的交点为C ，连结OB ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），点P 在射线．．OC ．．
上运动，连结BP ，设点P 的横坐标为x ，△OBP 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式； （3）如图（2），点P 在直线．．OC ．．
上运动，点Q 在抛物线上运动，试问点P 、Q 在运动过程中是否存在以O
、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形的情况，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
图（1）
图（2） 备用图。