第十七章 隐函数定理及其定理1隐函数一、隐函数的概念设E ⊂R 2,函数F:E →R 2.如果存在集合I,J ⊂E,对任何x ∈I, 有惟一确定的y ∈J, 使得(x,y)∈E, 且满足方程F(x,y)=0, 则称 F(x,y)=0确定了一个定义在I 上, 值域含于J 的隐函数. 若把它记为 y=f(x), x ∈I, y ∈J, 则有F(x,f(x))≡0, x ∈I.注：由自变量的某个算式表示的函数称为显函数，如：y=x+1.二、隐函数存在性条件的分析隐函数y=f(x)可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交线， ∴要使隐函数存在，至少要存在点P 0(x 0,y 0), 使F(x 0,y 0)=0, y 0=f(x 0).要使隐函数y=f(x)在点P 0连续，需F 在点P 0可微，且(F x (P 0),F y (P 0))≠(0,0), 即曲面z=F(x,y)在点P 0存在切平面.要使隐函数y=f(x)(或x=g(y))在点P 0可微, 则在F 可微的假设下， 通过F(x,y)=0在P 0处对x 求导，由链式法则得：F x (P 0)+F y (P 0)0x x dxdy ==0.当F y (P 0)≠0时，可得0x x dxdy ==-)(P F )(P F 0y 0x , 同理，当 F x (P 0)≠0时，可得y y dydx==-)(P F )(P F 0x 0y .三、隐函数定理定理18.1：(隐函数存在惟一性定理)若函数F(x,y)满足下列条件：(1)F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D⊂R2上连续；(2)F(x0,y0)=0(通常称为初始条件)；(3)F在D内存在连续的偏导数F y(x,y)；(4)F y(x0,y0)≠0. 则1、存在点的P0某邻域U(P0)⊂D，在U(P0)上方程F(x,y)=0惟一地决定了一个定义在某区间(x0-α,x0+α)上的(隐)函数y=f(x), 使得当x∈(x0-α,x0+α)时，(x,f(x))∈U(P0), 且F(x,f(x))≡0, y0=f(x0)；2、f(x)在(x0-α,x0+α)上连续.证：1、由条件(4), 不妨设F y(x0,y0)>0(若F y(x0,y0)<0,则讨论-F(x,y)=0). 由条件(3)F y在D上连续，及连续函数的局部保号性知，存在点P0的某一闭方邻域[x0-β,x0+β]×[y0-β,y0+β]⊂D, 使得在其上每一点都有F y(x,y)>0. ∴对每个固定的x∈[x0-β,x0+β],F(x,y)作为y的一元函数，必定在[y0-β,y0+β]上严格增且连续.由初始条件(2)可知F(x0,y0-β)<0, F(x0,y0+β)>0. 又由F的连续性条件(1), 知F(x,y0-β)与F(x,y0+β)在[x0-β,x0+β]上也是连续的，由保号性知，存在0<α≤β, 当x∈(x0-α,x0+α)时，恒有F(x,y0-β)<0, F(x,y0+β)>0.如图，在矩形ABB’A’的AB边上F取负值，在A’B’边上F取正值.∴对(x0-α,x0+α)上每个固定值x,同样有F(x,y0-β)<0, F(x,y0+β)>0.又F(x,y)在[y0-β,y0+β]上严格增且连续,由介值性定理知存在唯一的y∈(y0-β,y0+β), 满足F(x,y)=0.又由x在(x0-α,x0+α)中的任意性，证得存在惟一的隐函数y=f(x),它的定义域为(x0-α,x0+α), 值域含于(y0-β,y0+β), 若记U(P0)=(x0-α,x0+α)×(y0-β,y0+β), 则y=f(x)在U(P0)上即为所求.2、对于(x0-α,x0+α)上的任意点x, y=f(x). 则由上述结论可知,y0-β<y<y0+β. ∀ε>0, 且ε足够小，使得y0-β≤y-ε<y<y+ε≤y0+β.由F(x,y)=0及F(x,y)关于y严格递增，可得F(x,y-ε)<0, F(x,y+ε)>0. 根据保号性，知存在x的某邻域(x-δ,x+δ)⊂(x0-α,x0+α), 使得当x∈(x-δ,x+δ)时，同样有F(x,y-ε)<0, F(y,y+ε)>0, ∴存在惟一的y, 使得F(x,y)=0,即y=f(x), |y-y|<ε, 即当|x-x|<δ时, |f(x)-f(x)|<ε,∴f(x)在x连续. 由x的任意性知，f(x)在(x0-α,x0+α)上连续.注：1、定理18.1的条件仅充分，非必要；如：方程y3-x3=0, 在点(0,0)不满足条件(4)(F y(0,0)=0),但仍能确定惟一的连续的隐函数y=x.而双纽线F(x,y)=(x2+y2)2-x2+y2=0, 虽然F(0,0)=0, F与F y均连续，满足条件(1),(2),(3),但F y(0,0)=0, 致使其在原点无论怎样小的邻域内都不可能存在惟一的隐函数.2、条件(3)和(4)可以减弱为“F在P0的某一邻域上关于y严格单调”.3、如果把条件(3),(4)改变F x(x,y)连续，且F x(x0,y0)≠0，则结论是存在惟一的连续隐函数x=g(y).定理18.2：(隐函数可微性定理)设F(x,y)满足隐函数存在惟一性定理的所有条件，又设在D 上还存在连续的偏导数F x (x,y), 则方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)在其定义域(x 0-α,x 0+α)上有连续导函数，且 f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x . 证：设x,x+△x ∈(x 0-α,x 0+α)；y=f(x)与y+△y=f(x+△x)∈(y 0-β,y 0+β), ∵F(x,y)=0,F(x+△x,y+△y)=0, 由F x ,F y 的连续性及二元函数中值定理有, 0=F(x+△x,y+△y)-F(x,y)=F x (x+θ△x,y+θ△y)△x+F y (x+θ△x,y+θ△y)△y, 0<θ<1, ∴x y ∆∆=-y)θy x,θ(x F y)θy x,θ(x F y x ∆+∆+∆+∆+, 右端是连续函数F x ,F y ,f 的复合函数,且在U(P 0)上,F y (x,y)≠0，∴f ’(x)=x y lim 0x ∆∆→∆=-y)(x,F y)(x,F y x , 且f ’(x)在(x 0-α,x 0+α)上连续.注：1、若已知F(x,y)=0存在连续可微的隐函数，则可对其应用复合函数求导法得到隐函数的导数. 即把F(x,f(x))看作F(x,y)与y=f(x)的复合函数时，有F x (x,y)+F y (x,y)y ’=0, 由F y (x,y)≠0可推得f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x . 2、若函数F 存在相应阶数的连续高阶偏导数，可通过上面同样的方法求得隐函数的高阶导数. 如：对F x (x,y)+F y (x,y)y ’=0继续应用复合函数求导法则，可得F xx +F xy y ’+(F yx +F yy y ’)y ’+F y (x,y)y ’’=0, 就可以得到隐函数的二阶导数：y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F ； 也可以直接对f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x 求导得到. 继续求导就可以得到隐函数相应阶数的连续导数.隐函数的极值问题：利用隐函数的求导公式：y ’=-y)(x,F y)(x,F y x 及 y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F , 求得由F(x,y)=0确定的隐函数y=f(x)的极值：(1)求y ’为0的点(驻点)A ，即方程组F(x,y)=0, F x (x,y)=0的解； (2)∵在A 处F x =0, ∴y ”|A =-yxxF F |A ； (3)由y ”|A <0(或>0),判断隐函数y=f(x)在x A 处取得极大值(极小值)y A .定理18.3：若(1)函数F(x 1,…,x n ,y)在以点P 0(01x ,…,0n x ,y 0)为内点的区域D ⊂R n+1上连续；(2)F(01x ,…,0n x ,y 0)=0；(3)偏导数1x F ,…,nx F ,F y 在D 上存在且连续；(4)F y (01x ,…,0n x ,y 0)≠0. 则1、存在点P 0的某邻域U(P 0)⊂D ，在U(P 0)上方程F(x 1,…,x n ,y)=0惟一地决定了一个定义在Q 0(01x ,…,0n x )的某邻域U(Q 0)⊂R n 上的n 元连续(隐)函数y=f(x 1,…,x n ),使得当(x 1,…,x n )∈U(Q 0)时,(x 1,…,x n ,f(x 1,…,x n ))∈U(P 0), 且F(x 1,…,x n ,f(x 1,…,x n ))≡0, y 0=f(01x ,…,0n x )；2、f(x 1,…,x n )在U(Q 0)上有连续偏导数1x f ,…,nx f ,且1x f =-yx F F 1,…,nx f =-yx F F n .四、隐函数求导举例例1：讨论方程F(x,y)=y-x-21siny=0所确定的隐函数的连续性和可导性. 解：∵F, F x =-1, F y =1-21cosy 在平面上任一点都连续，且F(x,y)=0, F y (x,y)≠0, ∴该方程确定了一个连续可导的隐函数y=f(x), 且 f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x =cosy 21-11=cosy -22.例2：讨论笛卡儿叶形线x 3+y 3-3axy=0 (a>0)所确定的隐函数y=f(x)的一阶与二阶导数，并求隐函数的极值.解：令F=x 3+y 3-3axy (a>0), 当F y =3y 2-3ax=0时，x=y=0, 或x=34a, y=32a; 即，除了(0,0), (34a,32a)外，方程在其他各点附近都确定隐函数y=f(x).∵F x =3x 2-3ay, ∴y ’=-y x F F =-3ax -3y 3ay -3x 22=ax-y x -ay 22. 又F xx =6x, F xy =-3a, F yy =6y,∴2F x F y F xy =-54a(y 2-ax)(x 2-ay), F y 2F xx =54x(y 2-ax)2, F x 2F yy =54y(x 2-ay)2, ∴y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F =32222222ax)-27(y ay)-54y(x -ax)-54x(y -ay)-ax)(x -54a(y -=3233322ax)-(y )]a y xy(x y 2[-3ax -+++=32322ax)-(y )]a axy 3xy(y 2[-3ax -++=-323ax)-(y xy 2a . 由x 3+y 3-3axy=0和x 2-ay=0得，隐函数y=f(x)的驻点A(32a,34a).∵y ”|A =-323ax)-(y xy 2a |A =-a243<0, ∴y=f(x)在A(32a,34a)取得极大值34a.例3：求由方程F(x,y,z)=xyz 3+x 2+y 3-z=0在原点附近所确定的二元隐函数z=f(x,y)的偏导数及在(0,1,1)处的全微分.解：由F(0,0,0)=0, F z (0,0,0)=-1≠0, F,F x ,F y ,F z 处处连续，知 方程在原点附近能惟一确定连续可微的隐函数z=f(x,y), 且z x =-z x F F =233xyz 1x2yz -+, z y =-z y F F =2233xyz1y 3xz -+. 又z x (0,1,1)=1, z y (0,1,1)=3, ∴dz|(0,1,1)=dx+3dy.例4：(反函数的存在性及其导数)设y=f(x)在x 0的某邻域上有连续的导函数f ’(x)且，且f(x 0)=y 0,f ’(x 0)≠0. 证明在y 0的某邻域内存在连续可微的隐函数x=g(y)(它是函数y=f(x)的反函数),并求其导函数. 证：记方程F(x,y)=y-f(x)=0. ∵F(x 0,y 0)≡0, F y =1, F x (x 0,y 0)=-f ’(x 0)≠0, ∴该方程在y 0的某邻域内能惟一确定连续可微的隐函数x=g(y),且 g ’(y)=-xy F F =-(x )f 1' (即反函数求导公式).例5：设z=z(x,y)由方程F(x-z,y-z)=0确定，其中F 具有二阶偏导数. 试证：z xx +2z xy +z yy =0.证：记u=x-z,v=y-z, 则F x =F u , F y =F v , F z =-(F u +F v ), ∴z x =v u u F F F +, z y =vu v F F F+, 即有z x +z y =1. 上式两边分别对x,y 求偏导，得z xx +z yx =0, z xy +z yy =0. ∵二阶偏导数连续，∴z yx =z xy ，∴z xx +2z xy +z yy =0.习题1、方程cosx+siny=e xy 能否在原点的某邻域内确定隐函数y=f(x)或x=g(y)?解：令F(x,y)=cosx+siny-e xy , 则有F(0,0)=0. ∵F x =-sinx-ye xy ,F y =cosy-xe xy , 又F,F x ,F y 在原点的某邻域内都连续，且F x (0,0)=0, F y (0,0)=1≠0,∴该方程在原点的某邻域内可确定隐函数y=f(x), 不能确定隐函数x=g(x).2、方程xy+zlny+e xz =1在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的隐函数?解：令F(x,y,z)=xy+zlny+e xz -1, 则有F(0,1,1)=0.∵F,F x =y+ze xz ,F y =x+yz, F z =lny+xe xz 在(0,1,1)的某邻域内都连续, 且F x (0,1,1)=2≠0, F y (0,1,1)=1≠0, F z (0,1,1)=0,∴该方程在点(0,1,1)的某邻域内可确定隐函数x=f(y,z)及y=g(x,z).3、求由下列方程所确定的隐函数的导数： (1)x 2y+3x 4y 3-4=0, 求dx dy ；(2)ln 22y x +=arctan x y , 求dxdy ； (3)e -xy +2z-e z =0, 求x z ∂∂,yz ∂∂； (4)a+22y a -=ye u, u=ay -a x 22+(a>0), 求dx dy ,22dx yd ；(5)x 2+y 2+z 2-2x+2y-4z-5=0, 求x z ∂∂,y z ∂∂；(6)z=f(x+y+z,xyz), 求x z ∂∂,y x ∂∂,zy∂∂. 解：(1)解法一：记F=x 2y+3x 4y 3-4,∵F x =2xy+12x 3y 3, F y =x 2+9x 4y 2,∴dx dy =-y x F F =-24233y 9x +x y 12x +2xy =-2332y9x +x y 12x +2y . 解法二：方程两边对x 求导得：2xy+x 2dx dy +12x 3y 3+9x 4y 2dxdy=0, ∴dx dy =-24233y 9x +x y 12x +2xy =-2332y9x +x y 12x +2y .(2)两边对x 求导得⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅+dx dy y 22x y x 21y x 12222=2222xy dx dyxy x x -⋅+, 化简得：x+ydx dy = x dx dy -y, ∴dx dy =y -x y x +(x ≠y). (3)两边对x 求偏导数得-ye -xy+2x z ∂∂-e z x z ∂∂=0, ∴x z ∂∂=z -xye 2ye -.两边对y 求偏导数得-xe -xy+2y z ∂∂-e z y z ∂∂=0, ∴y z ∂∂=z-xye2x e -. (4)令F(x,y)=a+22y a --yeay -a x 22+, 由原方程得：e u=y y -a a 22+,则F y =-22y -a y-e u+ye u22y -a a y =-22y-a y-a y -a x 22+(1-222y -a a y ) =2222222222y -a ay )y -a(a -y -a a -y -a y ,F x =-a y e u =-ay -a a 22+,∴dx dy =-y x F F =a y -a a 22+·)y -a(a y -a a -y -a y y -a ay 2222222222-=-22y-a y.∴22dx y d =⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d =-dx dy y-a 122-dx dy )y -(a y 3222=22y -a y +2223)y -(a y =2222)y -(a ya . (5)两边对x 求关于z 的偏导数得：2x+2z x z ∂∂-2-4x z ∂∂=0, ∴x z ∂∂=2-z x -1. 两边对y 求关于z 的偏导数得：2y+2z y z ∂∂+2-4y z ∂∂=0, ∴y z ∂∂=z-2y 1+. (6)两边对x 求关于z 的偏导数得：x z ∂∂=f 1(1+x z ∂∂)+f 2(yz+xy x z ∂∂), ∴x z∂∂=2121x yf f 1yzf f --+. 两边对y 求关于x 的偏导数得： 0=f 1(y x ∂∂+1)+f 2(xz+yz y x ∂∂), ∴y x ∂∂=-2121yzf f x zf f ++.两边对z 求关于y 的偏导数得： 1=f 1(z y ∂∂+1)+f 2(xy+xz z y ∂∂), ∴zy ∂∂=2121x zf f x yf f -1+-.4、设z=x 2+y 2,而y=f(x)为由方程x 2-xy+y 2=1确定的隐函数,求dx dz及22dxz d .解：x 2-xy+y 2=1两边对x 求导得：2x-y-xdx dy +2y dx dy =0, ∴dx dy =x-2y 2x-y . dx dz =2x+2y dxdy =x -2y 2x -2y 22;22dxz d =⎪⎭⎫⎝⎛dx dz dx d =222x )-(2y )2x -1)(2y -dx dy(2-x )-4x )(2y -dx dy (4y=x -2y 4x -2y +32x)-(2y 2x)-(y 6x .5、设u=x 2+y 2+z 2, z=f(x,y)为由x 3+y 3+z 3=3xyz 确定的隐函数,求u x 及u xx .解：∵3x 2+3z 2z x =3yz+3xyz x , ∴z x =22z -xy yz -x . ∴u x =2x+2zz x =2x+222z-xy 2yz -z 2x . u xx =2+2222x 2x x 2)z -(xy )2yz -z (2x )2zz -y ()z -xy )(4yzz -z 2x (4xz -+ =32333)z -(xy )z x 3xyz -2xz(y ++.6、设F(x,y,z)可以确定连续可微隐数: x=x(y,z), y=y(z,x), z=z(x,y). 试证：xzz y y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂=-1.(偏导数不再是偏微分的商！) 证：∵y x ∂∂=-x y F F ; z y ∂∂=-y z F F ;xz ∂∂=-z x F F ; ∴x z z y y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂=-z x y z x y F F F F F F ⋅⋅=-1.7、求由下列方程所确定的隐函数的偏导数：(1)x+y+z=e -(x+y+z), 求z 对于x,y 的一阶与二阶偏导数；(2)F(x,x+y,x+y+z)=0, 求x z∂∂,y z∂∂,22x z∂∂.解：(1)∵1+z x =-(1+z x )e -(x+y+z), ∴z x =-1, z xx =0; 同理z y =-1, z yy =0.(2)∵F 1+F 2+F 3(1+x z ∂∂)=0, ∴x z∂∂=-3321F FF +F +；又F 2+F 3(1+y z∂∂)=0, ∴y z ∂∂=-332F FF +；22x z ∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z x =-3332313323122211211F x z 1)F +F (F +F +F +F F +F +F ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+++ +23333231321F x z 1F +F +F )F +F +(F ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+ =-3332313321323122211211F )F +F (F F F +F -F +F +F F +F +F ++ +23321333231321F F F +F F -F +F )F +F +(F ⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =-3333221231332122121123F F )F F ()F (F )F F 2(F -)F 2F +(F F +++++8、证明：设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)具有二阶导数，则当F y ≠0时，有F y 3y ”=0F F F F F F F F y x y y y xy xxy xx .证：当F y ≠0时，y ’=-y xF F , y ”=(2F x F y F xy -F y 2F xx -F x 2F yy )F y -3,∴F y -3y ”=2F x F y F xy -F y 2F xx -F x 2F yy =0F F F F F F F F y x y y y xy x xy xx.9、设f 是一元函数，试问应对f 提出什么条件，方程2f(xy)=f(x)+f(y)在点(1,1)的邻域内就能确定出惟一的y 为x 的函数？解：记F(x,y)=f(x)+f(y)-2f(xy)=0, 则F x =f ’(x)-2yf ’(xy), F y =f ’(y)-2xf ’(xy), ∵F y (1,1)=f ’(1)-2f ’(1)=-f ’(1)，又当f ’(x)在x=1的某邻域内连续时， F,F x ,F y 在(1,1)的某邻域内连续. ∴只需添加条件：f ’(x)在x=1的某邻域内连续，且f ’(1)≠0，则方程2f(xy)=f(x)+f(y)就能惟一确定y 为x 的函数.。