目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)前言 (1)1 隐函数 (1)1.1隐函数的定义 (1)1.2. 隐函数存在定理 (2)1.3. 隐函数的可导条件 (2)2.隐函数组 (4)2.1 隐函数组概念 (4)2.2 隐函数组存在条件 (4)3 隐函数的几何应用 (6)3.1 平面曲线的切线与法线 (6)3.2 空间曲线的切线与法平面 (6)3.3空间曲面的切平面与法线 (8)参考文献 (9)摘 要：本文主要介绍了隐函数与隐函数组的相关定理,并讨论了此类定理在求平面的法线及切平面方面的应用.关键词：隐函数;唯一性;隐函数组;可微性Theorem and application of Implicit functionAbstract ：we will discussion of Implicit function existence,and differentiability and the Geometry application in the solution of the normal to plane and tangent plant.Keywords :Implicit function; uniqueness; implicit function group; differentiable前言这篇论文我们将重点介绍有关隐函数定理的的条件及隐函数存在的条件,掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用,会把实际问题抽象为条件极值并予以解决,这样既是解决实际问题的需要,也为后来的函数系统的完善打下基础.1 隐函数1.1隐函数的定义设,X R Y R ⊂⊂,函数:.F X Y R ⨯→对于方程(,)0F x y = ()1若存在集合I X J Y ⊂⊂与对于任何x I ∈,恒有唯一确定的y J ∈,它与x 一起满足方程(1),则称由方程(1)确定一个在I 上,值域含于J 的隐函数.若把它记为(),,,f x y x I y J =∈∈则成立恒等式(,())0F x f x ≡,x I ∈.例如方程10xy y +-=能确定一个定义在(,1)(1,)-∞-⋃-+∞上的隐函数.1.2. 隐函数存在定理（1） 定理1 若满足下列条件隐函数的存在定理。

设),(y x F 满足下面条件： 1） 在区域a x x D ≤-|:|0，b y y ≤-||0上y x F F ,连续； 2） 0),(00=y x F ； 3） 0),(00≠y x F y 。

则 1）在点),(00y x 的某一邻域),(0ηx O 内，0),(=y x F 唯一确定一个函数)(x f y =，且)(00x f y =。

2）)(x f y =在),(0ηx O 内连续；3）)(x f y =在),(0ηx O 内具有连续导数，且),(),('y x F y x F y y x -=。

对于方程组的情形也有类似的定理。

1.3. 隐函数的求导方法（2） 隐函数的求导法：通常有三种方法。

1） 把方程（或方程组）看作恒等式，两边对自变量求导，然后解出所求的导数或偏导数。

2） 公式法：设),(y x f z =，是由方程),,(z y x F 所确定的隐函数，且0≠z F ，则z x F F x z -=∂∂，zy F F y z-=∂∂ 3）微分法：利用一阶全微分形式的不变性，方程两边求全微分可求出所求的偏导数或导数。

例1设vw x =2，uw y =2，uv z =2 及 ),,(),,(w v u F z y x f =，证明w v u z y x wF vF uF zf yf xf ++=++证 方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧===uv z uw y vw x 222 确定了函数组⎪⎩⎪⎨⎧===),,(),,(),,(w v u z z w v u y y w v u x x ，先求这个函数组对各变元的偏导数，为此，对方程组求微分得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=udv vdu zdz udw wdu ydy vdw wdv xdx 222， 即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=dv zu du z v dz dw y u du y w dy dw x v dv x w dx 222222 故 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂w z v z u z w y v y u y w x v x u x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0 2 2 2 0 2 22 0 z uz v y u yw x v x w将函数组代入方程),,(),,(w v u F z y x f =，得关于变元w v u ,,的方程),,()),,(),,,(),,,((w v u F w v u z w v u y w v u x f =，在这方程两边分别对w v u ,,求偏导，得u z y x F u z f u y f u x f =∂∂+∂∂+∂∂ v z y x F v z f v y f v x f =∂∂+∂∂+∂∂ w z y x F wz f w y f w x f =∂∂+∂∂+∂∂ 将上面三式分别乘以w v u ,,后再相加，得++z uvf y uw f z y22z uv f x vw f z x 22+yuw f x vw f y x 22++ w v u wF vF uF ++=将vw x =2，uw y =2，uv z =2代入即得w v u z y x wF vF uF zf yf xf ++=++。

例2 讨论方程323(,,)0F x y z xyz x y z =++-=在原点附近所确定的二元隐数及其偏导数.解 (0,0,0)0,(0,0,0)10z F F ==-≠且,,x y z F F F F 处处连续,因此在原点(0,0,0)附近能惟一地确定连续可微的隐函数(,)z f x y =,且可求得它的偏导数如下：32213x zx y F yz z F xyz ∂+=-=∂- , 322313y zy z F xz y F xyz∂+=-=∂-. 2.隐函数组2.1 隐函数组概念设(,,,),(,,,)F x y u v G x y u v 为定义在4R 上的四元函数.若存在2D R ⊂,对任意(,)x y D ∈,都有惟一确定的,u v ,使(,,,)0(,,,)0F x y u vG x y u v =⎧⎨=⎩成立,则在D 上定义了两个函数：(,),(,)u f x y v g x y ==.称它们是由方程确定的隐函数组.2.2 隐函数组存在条件定理 3 若（1） (,,,),(,,,)F x y u v G x y u v 在以00000(,,,)P x y u v =为内点的区域4V R ⊂内连续（2） 00000000(,,,)0,(,,,)0F x y u v G x y u v ==; （3） 在V 内,,F G 有连续的偏导数; （4）(,)(,)F G J U V ∂=∂在点0P 不等于零.则在点0P 的某一邻域0()U P V ⊂内,方程组惟一地确定了定义点000(,)Q x y 的某一邻域0()U Q 内的两个二元隐函数：(,),(,)u f x y v g x y ==.使得1.000000(,),(,),u f x y v g x y ==(,,(,),(,))0F x y f x y g x y ≡(,,(,),(,))0.G x y f x y g x y ≡.2 .(,),(,)u f x y v g x y ==在0()U Q 内有连续的偏导数,且：1(,)1(,),,(,)(,)u u x F G F G J x v y J y v ∂∂∂∂=-⋅=-⋅∂∂∂∂ 1(,)1(,),(,)(,)v v x y F G F G J u x J u y ∂∂∂∂=-⋅=-⋅∂∂∂∂ 例3 设 ⎪⎩⎪⎨⎧===0),(0),,(),,,(t z h t z y g t z y x f u ，问什么条件下u 是y x ,的函数？求y u x u ∂∂∂∂,。

解 当h g ,对各变元有连续的偏导数，且0),(),(≠∂∂t z h g 时，方程组⎩⎨⎧==0),(0),,(t z h t z y g 可确定函数组⎩⎨⎧==)()(y t t y z z ，代入),,,(t z y x f u =即得u 是y x ,的函数 ))(),(,,(y t y z y x f u =。

对方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧===0),(0),,(),,,(t z h t z y g t z y x f u 求微分，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+++++=(3)0(2)0(1) dt h dz h dt g dz g dy g dt f dz f dy f dx f du t z t z y t z y x 记),(),(t z h g J ∂∂=，若0≠J ，由（2）（3）式J dyh g h g dy g J dz t y tt y -=-= 0 1J dyh g h dy g g J dt z y z y z =-=0 1代入（1）得zy x f dy f dx f du ++=Jdyh g t y -Jdy h g f z y t+dy J h f h f g f dx f tz z t y y x ][-++=dy t z f h J g f dx f y y x ]),(),([∂∂++= 故x f x u =∂∂， y u∂∂),(),(t z f h J g f y y ∂∂+= 注 利用一阶微分形式不变性来求函数的偏导数，会使计算简单一些。

3 隐函数的几何应用本节的重点是掌握用隐函数和隐函数组求导法求平面曲线的切线与法线,空间曲线的切线与法平面以及求曲面的切平面与法线． 3.1 平面曲线的切线与法线设平面曲线的方程为 (,)0F x y =,F 在000(,)P x y 的某邻域内满足隐函数定理的条件.隐函数 ()y f x =在0x 的导数 '000()()/()x y f x F P F P =-.曲线在0x 的切线方程为0000()()()()0x y F P x x F P y y -+-=.法线方程为0000()()()()0y x F P x x F P y y ---=.例4求螺旋线0cos ,sin ,3x a t y a t z bt π====在t 处的切线方程与法线方程.解： sin ,cos ,.x a t y a t z b '''=-== 切线方程是cossin 333.sincos33x a y a z b ba a πππππ---==-即32.2a z bx y a b π---== 法线方程是0.22223a a x y a b z b π⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3.2 空间曲线的切线与法平面设有空间曲线 []0:(),(),(),,,L x x t y t z z t t P L αβ===∈∈.且[]000000000(,,)((),(),()),,P x y z P x t y t z t t αβ=∈.再设L 为光滑曲线.在L 上任取一点 0000(,,)P x x y y z z +∆+∆+∆,则割线 0P P 的方程为000,x x y y z z x y z---==∆∆∆因此：00o x x y y z z x y z z t t---==∆∆∆∆∆∆ 令 0t ∆→,则由L 为光滑曲线知,0p p →.所以L 在0p 的切线方程是000000()()()x x y y z z x t y t z t ---=='''. 过0p 与切线垂直的平面称为L 在0p 的法平面,其方程为 000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z'''-+-+-=. (,,)0:(,,)0F x y z LG x y z =⎧⎨=⎩ 且在0000(,,)P x y z 的某一个邻域内满足隐函数组定理的条件（不妨设0(0(,)P x y ∂≠∂F,G)）方程组在0P 附近确定惟一连续可微的隐函数组：(),()x z y z ϕψ==.则()()x z y z z z ϕψ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.且 (,)(,),(,)(,)x z F G d z y F G d x y ∂∂=-∂∂ (,)(,)(,)(,)y z F G d x z F G d x y ∂∂=∂∂ 所以L 在0P 的切线方程是000(,)(,)(,)x x y y z z y z z x x y ---==∂∂∂.例5：求曲线22222250x y z x y z⎧++=⎪⎨+=⎪⎩在(3,4,5)处的切线与法平面. 解：令22222250,F x y z G x y z =++-=+-.在(3,4,5)处,6,x F = 8,y F = 10,z F = 6,x G = 8,y G = 10z G =-(,)160,(,)F G y z ∂=-∂ (,)120,(,)F G z x ∂=∂ (,)0(,)F G x y ∂=∂所求切线为3451601200x y z ---==- . 所求法平面为430x y -= .3.3空间曲面的切平面与法线设曲面S 的方程是：0000(,,)0,(,,)F x y z P x y z S =∈.在0()U p 内满足隐函数定理的条件,不妨设0()0z F p ≠.方程在0p 附近确定隐函数 (,)z f x y =,且0000()(,),()x x z F p f x y F p =-0000()(,)()y y z F p f x y F p =- 由此得S 在0p 处的切平面为000000()()()()()()0y x z F P x x F P y y F P z z -+-+-=.法线为000000()()()x y z x x y y z z F P F P F P ---==. 例6．求曲面2233,,x u v y u v z u v =+=+=+在点(0,2)Q 对应曲面上的点的切平面方程与法线方程.解：点(0,2)Q 对应曲面上的点(2,4,8)P .221,1,2,2,3,3.x x yyzzu v u v uvuvuv∂∂∂∂∂∂======∂∂∂∂∂∂2222(,)6()0,33(,)Q Q Qu v y z uv v u uv u v ∂==-=∂222233(,)3()12,(,)11QQ Qu v z x u v u v ∂==-=-∂11(,)2() 4.22(,)Q Q Qx y v u u vu v ∂==-=∂于是，曲面在点(2,4,8)P 的切平面方程与法线方程分别是12(4)4(8)y z --+-= 或 34y z -=与2480124x y z ---==- 或 248031x y z ---==-.参考文献[1]同济大学应用数学系主编.高等数学[M].北京：高等教育出版社,2002.7.[2]华东师范大学数学系主编.数学分析[M].北京：高等教育出版社,2001.6.[3]张筑生.《数学分析新讲》[M].北京：北京大学出版社,1990.[4] 孙昊. 数学分析内容、方法与技巧（上、下册）[M]. 北京:华中科技出版社.学年论文成绩评定表1。