第十八章 隐函数定理及其应用
知识脉络
1．隐函数的存在定理（不证），会判断是否存在隐函数，会求隐函数的导数 2. 隐含数组的存在定理，不判断是否存在隐函数组，还要会求隐函数组的导数 3 隐函数的几何应用：平面曲线的切线与法平面、空间曲线的切线与法平面、空间曲
面的切平面与法线
4. 会求条件极值问题的解 一、填空题
1．函数y y x =()由方程12+=x y e y
所确定，则
d d y
x
= __________. 3. 设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2
=++所确定，则
∂∂z y = __ _____.z x
∂∂ 4．由xyz x y z +++=2222所确定函数z z x y =(,)在点(1,0,1)-处的全微分d z =_ __ _. 5. 设0),,(=+++z y x y x x F ，其中F 可微，则
x
z
∂∂= ，y z ∂∂= .
6. 设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，则
=z
x
∂∂ .（其中x y +≠0）
7．设(,)F x y 具有连续偏导数，已知(,)0x y F z z
=，则dz = .
8.设函数(,)f x y 满足(,)(,)(,)x y xf x y yf x y f x y +=，(1,1)3x f -=，点(1,1,2)P -在曲面
(,)z f x y =上，则在点(1,1,2)P -的切平面方程为 ．
9.设f z g y (),()都可微，则曲线x f z z g y ==(),()在点(,,)x y z 000处的法平面为 . 10.设f y z (,)与g y ()都是可微函数，则曲线x f y z z g y ==(,),()在点(,,)x y z 000处的切线方程是 . 11.曲线t t z t y
t x cos sin ,sin ,cos +===在0=t 处切线与平面0=-+z By x 平行，=B ___
12.z z x y =(,)由方程
12
355242
2x xy y x y e z z +--+++=确定，
则函数z 的驻点是____ . 13.函数f x y z x (,,)=-22
在x y z 2
2
2
22--=条件下的极大值是_____ __. 14. 设2sin(23)23x y z x y z +-=+-，证明y
z x z ∂∂+∂∂=__ ___ __. 二、选择题
1．在曲线3
2,,t z t y t x =-==的所有切线中，与平面42=++z y x 平行的切线（ ） (A)只有一条 (B)只有两条 (C)至少有三条 (D)不存在
2．曲面2
2
4z x y =--上点P 处的切平面平行于平面221x y z ++=，点P 的坐标是（ ） (A)(1,1,2)- (B) (1,1,2)- (C) (1,1,2) (D) (1,1,2)--
3．设),(y x z z =是由方程e xyz z
-=0确定的函数，则
x
z
∂∂=（ ） (A)
1z z
+ (B)
(1)y x z + (C) (1)
z
x z - (D)(1)y x z -
4.曲线x e y t z t t
===22
,ln ,在对应于t =2点处的切线方程是（ ）
(A)x e e y z -=-=-4422144ln (B) x e e y z -=-=-44
2212
4
2ln
(C)x e e y z +=
+
-=44
21
22
12
4ln (D)
x e e y z +=+
-=4
4
1
22
12
4ln
5．曲面z e
x x y yz
=++sin()在点π
π2012,,+⎛⎝ ⎫⎭
⎪处的法线方程为（ ）
(A)
x y z -
=
+=
--π
ππ2112121 (B)x y z -
-=+=
---π
π
π21
12121 (C)
x y z -
-=+=
--πππ21
12
121 (D)x y z -
=+=
---π
ππ21
12
121
三、已知方程0cos 2
=-+xy y x .
(1)研究该方程何时可以在点)1,0(附近确定函数)(x y y =，且1)0(=y (2)讨论)(x y y =在点)1,0(附近的可微性、单调性. 四、验证方程cos sin xy x
y
e 在原点的某邻域内满足隐函数存在唯一性定理的条件, 并
求该隐函数的二阶导数.
五、设xu v y v u y x F 2),,,(2
2
-+=，3
3
3
3
),,,(v u y x v u y x G +-+=，证明方程组0==G F 在
点)1,1,1,1(-P 满足隐函数组存在的条件，并求以v y ,为自变量的隐函数组的一阶偏导
y
u y x ∂∂∂∂,. 六、已知sin 10x
y e xy +--=，求
x dy
dx
=和22
x d y dx =.
七、设函数)(x y y =由方程1=-+-y
x e
y x 确定，求)(x y y =的极值点和极值
八、设函数),(y x z z =由方程x y z e
x y z ++=-++()
所确定，求∂∂∂∂∂222z x z
x y
,.
九、设函数),(y x z z =由3
3
3a xyz z =-所确定，求y
x z
∂∂∂2．
十、（大连理工2006）设),(),,(y x v v y x u u ==满足方程组⎩
⎨
⎧=+=-10xv yu yv xu ，求x v
x u ∂∂∂∂,
十一、已知2
(,)(,)u f ux v y v g u x v y =+⎧⎨
=-⎩
，求u x ∂∂和v
x ∂∂. 十二、求2
2
2
50x y z ++=与锥面222
x y z +=所截曲线在点(3,4,5)处的切线和法平面方程.
十三、旋转抛物面2
2y x z +=被平面1x y z ++=截成一个椭圆。

求这个椭圆到原点的最
长与最短距离.
十四、在过点)3
1,1,2(的所有平面中，求出与三个坐标平面围成立体体积最小的平面.
十五、讨论方程组2226
0x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩
在点(,,)(1,2,1)x y z =-的邻域内能否确定形如(),()y y x z z x ==的隐函数组，如果能确定隐函数组求出,dy dz
dx dx
.
十六、在曲面2
22y x z +=上找出到点（1，2，33）的距离最近的点．
十七、证明单叶双曲面x y z ax by cz d 2
2
2
2220+--+++=()a b c d 2
2
2
+->在点
(,,)x y z 000处的切平面方程为x x y y z z a x x b y y c z z d 0000000+--++++++=()()().
十八、证明曲面)0(3
>=a a xyz 上每一点的切平面与坐标面所围四面体的体积为常数． 十九、证明曲面)0(>=++a a z y x 上每一点处的切平面在坐标轴上的截距之和等于a ． 二十、求)(2
144
y x z +=
在条件a y x =+下的最小值，其中0≥x ，0≥y ，a 为常数。

并证明不等式4
4422⎪⎭
⎫
⎝⎛+≥+y x y x .。