第十八章 隐函数定理及其定理总练习题1、方程：y 2-x 2(1-x 2)=0在哪些点的邻域内可惟一地确定连续可导的隐函数y=f(x).解：由y 2=x 2(1-x 2)知1-x 2≥0, ∴|x|≤1; 且y 2=x 2(1-x 2)≤22221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x =41, ∴|y|≤21. 记F=y 2-x 2(1-x 2), 则F, F x =2x 3-2x(1-x 2)=4x 3-2x, F y =2y; 由F y ≠0得y ≠0, 即x ≠0且x ≠±1. 令D={(x,y)||x|≤1,|y|≤21且y ≠0 }, 则F 在D 内每一个邻域内有定义, 且F, F x , F y 在D 上处处连续. 又由F(x,y)=0, F y ≠0知 原方程在D 上唯一确定隐函数y=f(x).2、设函数f(x)在区间(a,b)内连续，函数φ(y)在区间(c,d)内连续，而且φ’(y)>0, 问在怎样条件下，方程φ(y)=f(x)能确定函数y=φ-1(f(x)). 并研究例子(1)siny+shy=x; (2)e -y =-sin 2x.解：记F(x,y)=φ(y)-f(x), 由F y =φ’(y)>0知, 若f[(a,b)]∩φ[(c,d)]≠Ø, 就存在点(x 0,y 0), 满足F(x 0,y 0)=0, 即 可在(x 0,y 0)附近确定隐函数y=φ-1(f(x)).(1)设f(x)=x, φ(y)=siny+shy, 由f,φ在R 上连续且φ’(y)=cosy+chy>0, 又 f(R)∩φ(R)=R ≠Ø, ∴原方程可确定函数y=y(x). (2)∵f(x)=-sin 2x ≤0, φ(y)=e -y >0, ∴f(R)∩φ(R)=Ø, ∴原方程不能确定函数y=y(x).3、设f(x,y,z)=0, z=g(x,y), 试求dx dy ,dxdz . 解：对方程组f(x,y,z)=0, z=g(x,y)关于x 求导得： f x +f y dx dy +f z dx dz =0, dx dz =g x +g y dx dy , 解得：dx dy =-yz y x z x g f f g f f ++; dx dz =y z y y x x y g f f gf g f +-.4、已知G 1(x,y,z), G 2(x,y,z), f(x,y)都可微，g i =G i (x,y,f(x,y)), i=1,2.证明：),(),(21y x g g ∂∂=zyxz y xy xG G G G G G f f 2221111--. 证：∵g 1x =G 1x +G 1z f x , g 1y =G 1y +G 1z f y ; g 2x =G 2x +G 2z f x , g 2y =G 2y +G 2z f y∴),(),(21y x g g ∂∂=yx y xg g g g 2211=(G 1x +G 1z f x )(G 2y +G 2z f y )-(G 1y +G 1z f y )(G 2x +G 2z f x )=G 1x G 2y +G 1x G 2z f y +G 1z G 2y f x -G 1y G 2x -G 1y G 2z f x -G 1z G 2x f y =zyxz y xy xG G G G G G f f 2221111--.5、设x=f(u,v,w), y=g(u,v,w), z=h(u,v,w), 求x u ∂∂,y u ∂∂,zu ∂∂. 解：方程组对x 求导得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂001x w h x v h xu h x wg x v g xu g x w f x v f x uf w v u w v uw v u , 解得：x u ∂∂=),(),(w v h g ∂∂/),,(),,(w v u h g f ∂∂. 同理可得： y u ∂∂=),(),(w v f h ∂∂/),,(),,(w v u h g f ∂∂;z u ∂∂=),(),(w v g f ∂∂/),,(),,(w v u h g f ∂∂.6、试求下列方程所确定的函数的偏导数x u ∂∂,yu ∂∂. (1)x 2+u 2=f(x,u)+g(x,y,u); (2)u=f(x+u,yu). 解：(1)方程两边对x 求导得：2x+2u x u ∂∂=f x +f u x u ∂∂+g x +g u xu ∂∂, 解得：x u ∂∂=uu x x g f u xg f ---+22; 两边对y 求导得：2u y u ∂∂=f u y u ∂∂+g y +g u y u ∂∂,解得：y u∂∂=uu y g f u g --2.(2)方程两边对x 求导得：x u ∂∂=f 1(1+x u ∂∂)+yf 2x u ∂∂, 解得：x u∂∂=2111yf f f --; 两边对y 求导得：y u ∂∂=f 1y u ∂∂+ f 2(u+y y u ∂∂), 解得：y u ∂∂=2121yf f uf --.7、据理说明：在点(0,1)近旁是否存在连续可微的f(x,y)和g(x,y), 满足f(0,1)=1, 且g(0,1)=-1, 且[f(x,y)]3+xg(x,y)-y=0, [g(x,y)]3+yf(x,y)-x=0.解：设⎩⎨⎧=-+==-+=0),,,(0),,,(33x yu v v u y x G y xv u v u y x F , 则 (1)F,G 在以P 0(0,1,1,-1)为内点的R 4内连续; (2)F,G 在R 4内具有连续一阶偏导数; (3)F(P 0)=0, G(P 0)=0;(4)),(),(P v u G F ∂∂=02233P v y xu =9≠0.由隐函数组定理知，方程组在P 0附近唯一地确定了在点(0,1)近旁连续可微的两个二元函数u=f(x,y),v=g(x,y). 满足f(0,1)=1, g(0,1)=-1且 [f(x,y)]3+xg(x,y)-y=0, [g(x,y)]3+yf(x,y)-x=0.8、设(x 0,y 0,z 0,u 0)满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++)()()()()()()()()()()()(u H z h y h x h u G z g y g x g u F z f y f x f ,这里所有的函数假定有连续的导数.(1)说出一个能在该点邻域上确定x,y,z 为u 的函数的充分条件； (2)在f(x)=x, g(x)=x 2, h(x)=x 3的情形下，上述条件相当于什么？解：(1)设⎪⎩⎪⎨⎧=-++==-++==-++=0)()()()(),,,(0)()()()(),,,(0)()()()(),,,(u H z h y h x h u z y x H u G z g y g x g u z y x G u F z f y f x f u z y x F , 则F ,G ,H ,在R 4内连续且具有一阶连续偏导数； F (x 0,y 0,z 0,u 0)=0,G (x 0,y 0,z 0,u 0)=0,H (x 0,y 0,z 0,u 0)=0, 当),,(),,(P z y x H G F ∂∂≠0时，原方程组能在P 0(x 0,y 0,z 0,u 0)邻域内确定x,y,z 作为u 的函数.(2)上述条件相当于2022000111z y x z y x ≠0, 即x 0,y 0,z 0两两互异.9、求由下列方程所确定的隐函数y=f(x)的极值. (1)x 2+2xy+2y 2=1；(2)(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2) (a>0).解：(1)令F(x,y)=x 2+2xy+2y 2-1, 则F x =2x+2y, F y =2x+4y, 令dx dy =-yx y x 4222++=0, 有x=-y, 代入原方程得：x 2-2x 2+2x 2=1, 解得x=±1.∴隐函数y=f(x)有稳定点±1, 且f(1)=-1, f(-1)=1.又22dxy d =⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d =-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++x y x y x y x 2)(2)2(122. 从而)1,1(22-dxyd =1>0, )1,1(22-dx yd =-1<0,∴当x=1时有极小值-1, x=-1时有极大值1. (2)(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2) (a>0).令F(x,y)=(x 2+y 2)2-a 2(x 2-y 2), 则F x =4x(x 2+y 2)-2a 2x, F y =4y(x 2+y 2)+2a 2y,令dx dy =-ya )y +2y(x x a -)y +2x(x 222222+=0, 有x=0或y 2=2a 2-x 2.当x=0时，y=0, F y =0, 不符合题意，舍去.将y 2=2a 2-x 2代入原方程得：4a 4=a 2(2x 2-2a2), 解得x=±83a.又f(83a)=±81a, f(-83a)=±81a. ∴隐函数y=f(x)的稳定点有： P 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a 81,83, P 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 81,83, P 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 81,83, P 4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a 81,83. 由22dx y d =⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d =-[]2222222222ya )y +2y(x y]a )y +][2y(x a -)y 2y 2x(2x )y +[2(x ++'++ +[]2222222222ya )y +2y(xx]a -)y +][2x(x y a )y 2y 2y(2x )y +(x y [2+'+'++',且在稳定点P i (i=1,2,3,4)均有x 2+y 2=2a 2及y ’(P i )=0，代入上式有：i P dx y d 22=-iP y a 2x 22, 即22dx y d 与y 异号, ∴ia a dx yd ⎪⎪⎭⎫⎝⎛±81,8322<0, ia a dxyd ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±81,8322>0,即在点P 1, P 3取得极大值a 81,在点P 2, P 4取得极小值-a 81.10、设y=F(x)和函数x=φ(u,v), y=ψ(u,v), 那么由方程ψ(u,v)=F(φ(u,v))可以确定函数v=v(u). 试用u,v, du dv , 22du v d 表示dx dy , 22dxyd .解：由x=φ(u,v), y=ψ(u,v), ∴dx dy =u u ∂∂∂∂ϕψ=dudv du dvvu vu ϕϕψψ++. 于是 22dx y d =⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d =222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++du dv du dv du v d du dv du dv du dv v u v u v vv vu uv uu ϕϕϕϕψψψψψ -222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+du dv du v d du dv du dv du dv du dv v u v vv vu uv uu v u ϕϕϕϕϕϕϕψψ.11、试证：二次型f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+2Dyz+2Ezx+2Fxy 在单位球面x 2+y 2+z 2=1上的最大值和最小值恰好是矩阵φ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛C D E D B F E F A 的最大特征值和最小特征值.试：记L(x,y,z,λ)=Ax 2+By 2+Cz 2+2Dyz+2Ezx+2Fxy-λ(x 2+y 2+z 2-1), 列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==-++==-++==-++=④1③02222②02222①02222222z y x L z Dy Cz Ex L y Dz By Fx L x Ez Fy Ax L z y xλλλλ, 由①x+②y+③z 得：Ax 2+By 2+Cz 2+2Dyz+2Ezx+2Fxy-λ(x 2+y 2+z 2)=0, 又由④得f(x,y,z)=λ.由①,②,③知λ是对称矩阵φ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D E D B F E F A 的特征值.又f 在有界闭集{f(x,y,z)|x 2+y 2+z 2=1}上连续，∴有最大值,最小值存在. ∴最大值和最小值恰好是矩阵φ的最大特征值和最小特征值.12、设n 为正整数, x,y>0. 用条件极值方法证明：2n n y x +≥ny x ⎪⎭⎫⎝⎛+2.证：记L(x,y,λ)=2n n y x ++λ(x+y-a), 列方程组得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+==+==+=--a y x L ny L nx L n y n x λλλ020211, 解得：x=y=2a. ∵当x →∞或y →∞时, 2n n y x +→∞,∴2n n y x +必在唯一的稳定点(2a ,2a )处取得最小值na ⎪⎭⎫⎝⎛2, 即2n n y x +≥na ⎪⎭⎫ ⎝⎛2=ny x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2.13、求出椭球22a x +22by +22c z =1在第一卦限中的切平面与三个坐标面所成四面体的最小体积.解：椭球面上任一点(x,y,z)处的切平面方程为：22a x (X-x)+22b y (Y-y)+22cz(Z-z)=0, 切平面在坐标轴上的截距分别为：x a 2,y b 2,zc 2. 则椭球面在第一卦限部分上任一点处的切平面与三个坐标面围成的四面体体积为V=xyzc b a 6222. ∴问题转化为求函数V 在条件22a x +22by +22c z =1 (x>0,y>0,z>0)下的最小值. 记L(x,y,z,λ)=xyz c b a 6222+λ(22a x +22by +22c z -1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++==+-==+-==+-=01026026026222222222222222222222cz b y a x L cz xyz c b a L b yz xy c b a L axyz x c b a L z x x λλλλ, 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===333c z b y a x ,∴最小体积V m =abc c b a 6)3(3222=23abc.14、设P 0(x 0,y 0,z 0)是曲面F(x,y,z)=1的非奇异点，F 在U(P 0)可微，且为n 次齐次函数.证明：此曲面在P 0处的切平面方程为：xF x (P 0)+yF y (P 0)+ zF z (P 0)=n. 证：∵F 为n 次齐次函数, 且F(x,y,z)=1，∴xF x +yF y +zF z =nF=n. 曲面在P 0处的切平面方程为：F x (P 0)(x-x 0)+F y (P 0)(y-y 0)+F z (P 0)(z-z 0)=0 即xF x (P 0)+yF y (P 0)+ zF z (P 0)=x 0F x (P 0)+y 0F y (P 0)+ z 0F z (P 0)=n, 得证！。