绝密★启用前2018-2019学年四川省成都七中高二上学期入学考试理科数学试题解析版一、单选题1．化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为()A．B．C．－D．－【答案】A【解析】【分析】先将75°统一成15°，利用余弦和的公式化简即可。
【详解】cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°=，故选A 【点睛】余弦和差公式为,。
2．直线在轴上的截距是()A．2 B．3 C．-2 D．-3【答案】C【解析】【分析】令y=0得到x=-2即得解.【详解】令y=0得到x=-2,故答案为：C.【点睛】(1)本题主要考查直线的截距的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)注意横截距指的是直线与x轴交点的横坐标，纵截距是直线与y轴交点的纵坐标，不是坐标的绝对值,所以本题不要错选A.3．点关于直线的对称点的坐标是()A．B．C．D．【解析】【分析】设点P（2，5）关于直线x+y=1的对称点Q的坐标为（m，n），利用垂直及中点在轴上这两个条件求出m、n的值，可得结论．【详解】设点P（2，5）关于直线x+y=1的对称点Q的坐标为（m，n），则由题意可得故答案为：B．【点睛】（1）本题主要考查点关于直线对称的点的坐标的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求点关于直线l:对称的点的坐标，可以根据直线l垂直平分得到方程组，解方程组即得对称点的坐标.4．已知数列的首项，且，则()A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】直接利用递推公式递推得解.【详解】由题得故答案为：C本题主要考查递推公式的运用，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.5．下列说法中正确的是()A．斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B．水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C．一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体D．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台【答案】D【解析】【分析】利用几何体的概念对每一个选项逐一判断得解.【详解】对于选项A, 斜棱柱的每个侧面是平行四边形,但是全部展开以后,那些平行四边形未必可以构成一个平行四边形.所以是假命题.对于选项B,水平放置的正方形的直观图是平行四边形，不可能是梯形，所以是假命题.对于选项C, 一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱不一定是长方体，因为底面可能不是矩形，所以是假命题.对于选项D, 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台,是真命题.故答案为：D【点睛】(1)本题主要考查空间几何体的概念，考查三视图和直观图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于空间几何体的概念的判断，一定要准确理解几何体的内涵和外延，不能凭想象解答,要严格推理.6．两个公比均不为的等比数列，其前项的乘积分别为，若，则()A．512 B．32 C．8 D．2【答案】A直接利用等比数列的性质化简,再代入即得解.【详解】由题得.故答案为：A.【点睛】(1)本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)等比数列中，如果,则,特殊地，时，则，是的等比中项.7．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题．《张丘建算经》（成书约公元世纪）卷上二十二“织女问题”：今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何？其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天比前一天多织相同量的布．已知第一天织尺，经过一个月（按天计）后，共织布九匹三丈．问从第天起，每天比前一天多织布多少尺？（注：匹丈，丈尺）那么此问题的答案为()A．尺B．尺C．尺D．尺【答案】D【解析】【分析】设每天多织布d尺，利用等差数列前n项和公式列出方程，能求出结果．【详解】设每天多织布d尺，由题意得：30×5+=390，∴每天多织布尺．故答案为：D．【点睛】(1)本题主要考查等比数列求和公式的运用，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)等差数列的前项和公式：一般已知时，用公式，已知时，用公式8．函数的部分图象如图所示，要得到函数的图象，只需将函数的图象()A．向右平移长度单位B．向左平移长度单位C．向左平移长度单位D．向右平移长度单位【答案】D【解析】【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式，再得到变换方式.【详解】由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象可得A=1，再根据=×=，求得ω=2，最小正周期T=π．再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，∴函数f（x）=sin（2x+）．=,所以应该向右右平移长度单位.故答案为：D【点睛】（1）本题主要考查三角函数解析式的求法和三角函数图像的变换，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求三角函数的解析式，常用待定系数法，一般先设出三角函数的解析式，再求待定系数，最值确定函数的,周期确定函数的,非平衡位置的点确定函数的.9．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，数形结合可得答案．【详解】由∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A在点B的北偏西15°.故答案为：B.【点睛】本题主要考查方位角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 10．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A．1 B．2C．3 D．4【答案】C【解析】分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数.详解：由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等相关问题的求解.11．已知等差数列中，若是方程的两根，单调递减数列通项公式为．则实数的取值范围是()A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的性质和单调性，结合根与系数之间的关系进行求解即可．【详解】由是的两根，∴．（或两根为）∵等差，∴，∴．∵递减，∴对恒成立，，∴对恒成立．∵，∴．∴故答案为：B.【点睛】（1）本题主要考查一元二次方程的韦达定理，考查等差数列的性质，考查数列的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)数列单调递增,数列单调递减.（3）处理参数的问题常用到分离参数法,本题就用到了分离参数对恒成立.12．在锐角中, 所对边分别为, 且，则的取值范围为()A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由化边为角整理可得：由此.在锐角中，，整理=，由此得出取值范围。
【详解】由得.结合在锐角中，有，由=，故选A【点睛】利用正余弦定理化简三角恒等式的基本思路有两种：化边为角、化角为边。
第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．已知，则的最大值为___________．【答案】4【解析】【分析】设x=,即得x+y=,再利用辅助角公式化简即得最大值.【详解】因为，所以设x=，所以x+y=，所以x+y的最大值为4.故答案为：4.【点睛】(1)本题主要考查三角换元和三角恒等变换，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题的解题关键是三角换元，设x=,大大提高了解题效率.14．在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，则直线AC1与平面ABCD 所成角的大小为．【答案】045【解析】试题分析：根据题意，由于长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，由于点C1在底面的射影为C，那么可知得到线面角为CAC1,然后借助于已知的边长和三角函数定义可知则直线AC1与平面ABCD所成角的正弦值为2，故可知角的大小为045。
考点：线面角的求解点评：本题主要考查了求线面角的过程：作、证、求，用一个线面垂直关系15．如图，已知扇形的弧长为，半径为，点在弧上运动，且点不与点重合，则四边形面积的最大值为___________．【答案】【解析】【分析】已知扇形的弧长为，半径为，解得，由，的公式建立四边形面积与角的函数关系式，最后求出最值。
【详解】已知扇形的弧长为，半径为，所以。
由三角形的面积公式可知，，所以四边形面积为，因为，所以，由此四边形面积为，，，所以最大值为，当时取等号。
【点睛】本题利用面积公式建立函数表达式，求最值。
综合性很强，考查学生分析问题和转化问题的能力。
16．在中，，，这样的三角形恰有一个，则k的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】由条件可知，，即，这样的三角形恰有一个，则与函数有且只有一个交点，由此解得取值范围。
【详解】因为中，，，所以由正弦定理得：，即，因为，这样的三角形恰有一个，则与函数有且只有一个交点，故。
【点睛】本题考查了正弦定理的应用和函数思想的应用，将问题转化为函数图像的交点问题。
三、解答题17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知(a－3b)cos C＝c(3cos B－cosA)．(1)求的值；(2)若c＝a，求角C的大小．【答案】（1）3；（2） .【解析】【分析】(1)由正弦定理得，(sin A－3sin B)cos C＝sin C(3cos B－cos A)，即sin(A＋C)＝3sin(C＋B)，即sin B＝3sin A。
（2）(2)由(1)知b＝3a，∵c＝a，∴cos C＝＝＝＝，得解【详解】(1)由正弦定理得，(sin A－3sin B)cos C＝sin C(3cos B－cos A)，∴sin Acos C＋cos Asin C＝3sin Ccos B＋3cos Csin B，即sin(A＋C)＝3sin(C＋B)，即sin B＝3sin A，∴＝3．(2)由(1)知b＝3a，∵c＝a，∴cos C＝＝＝＝，∵C∈(0，π)，∴C＝．【点睛】利用正余弦定理化简三角恒等式，主要思想是“统一边角关系”。