习题课 正弦定理和余弦定理学习目标 1.学会利用三角形中的隐含条件.2.学会根据条件特点选择正弦定理、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题．知识点一 有关三角形的隐含条件“三角形”这一条件隐含着丰富的信息，利用这些信息可以得到富有三角形特色的变形和结论：(1)由A ＋B ＋C ＝180°可得sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， tan(A ＋B )＝－tan C ，sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C2.(2)由三角形的几何性质可得a cos C ＋c cos A ＝b ，b cos C ＋c cos B ＝a ， a cos B ＋b cos A ＝c .(3)由大边对大角可得sin A ＞sin B ⇔A ＞B .(4)由锐角△ABC 可得任意两内角之和大于π2，进而可得sin A ＞cos B .知识点二 正弦定理、余弦定理常见形式 1．正弦定理的呈现形式(1)a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径)； (2)a ＝b sin A sin B ＝c sin A sin C ＝2R sin A ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .2．余弦定理的呈现形式 (1)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ；(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.特别提醒：解题的关键是根据题目特点，选择恰当的定理及变形，进行边角互化，转化为代数问题或者三角恒等式，再利用三角恒等变形解决问题，中间往往会用到一些三角形的隐含条件，如内角和等．1．在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B .(√) 2．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B .(×) 3．在△ABC 中，若cos A ＝cos B ，则A ＝B .(√)类型一 利用正弦、余弦定理转化边角关系例1 在△ABC 中，若c ·cos B ＝b ·cos C ，cos A ＝23，求sin B 的值．考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合 题点 正弦、余弦定理与三角变形的综合 解 由c ·cos B ＝b ·cos C ，结合正弦定理，得 sin C cos B ＝sin B cos C ，故sin(B －C )＝0，∵0<B <π，0<C <π， ∴－π<B －C <π，∴B －C ＝0，B ＝C ，故b ＝c . ∵cos A ＝23，∴由余弦定理，得3a 2＝2b 2，再由余弦定理，得cos B ＝66， 故sin B ＝306. 引申探究1．对于本例中的条件，c ·cos B ＝b ·cos C ，能否使用余弦定理？解 由余弦定理，得c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab .化简得a 2＋c 2－b 2＝a 2＋b 2－c 2， ∴c 2＝b 2，从而c ＝b .2．本例中的条件c ·cos B ＝b ·cos C 的几何意义是什么？ 解 如图，作AD ⊥BC ，垂足为D . 则c ·cos B ＝BD ，b ·cos C ＝CD .∴c cos B ＝b cos C 的几何意义为边AB ，AC 在BC 边上的射影相等． 反思与感悟 (1)边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段． (2)解题时要画出三角形，将题目条件直观化，根据题目条件，灵活选择公式． 跟踪训练1 在△ABC 中，已知b 2＝ac ，a 2－c 2＝ac －bc . (1)求A 的大小； (2)求b sin Bc的值．考点 正弦、余弦定理解三角形综合 题点 正弦、余弦定理解三角形综合 解 (1)由题意知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝ac ＋bc －ac 2bc ＝12，∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.(2)由b 2＝ac ，得b c ＝ab ，∴b sin Bc ＝sin B ·a b ＝sin B ·sin A sin B ＝sin A ＝32. 类型二 涉及三角形面积的条件转化例2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sin B ＝2sin A ，且△ABC 的面积为a 2sin B ，则cos B ＝ .考点 用余弦定理解三角形题点 逆用面积公式、余弦定理解三角形 答案 14解析 由sin B ＝2sin A 及正弦定理，得b ＝2a ，由△ABC 的面积为a 2sin B ，得12ac sin B ＝a 2sinB ，即c ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 24a 2＝14.反思与感悟 表示三角形面积，即使确定用两边及其夹角，还要进一步选择好用哪两边夹角． 跟踪训练2 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积S ＝14(a 2＋b 2－c 2)，则角C 为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120° 考点 用余弦定理解三角形题点 逆用面积公式、余弦定理解三角形 答案 B解析 ∵S ＝14(a 2＋b 2－c 2)＝12ab sin C ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab sin C ，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab sin C ．由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得sin C ＝cos C . 又C ∈(0°，180°)， ∴C ＝45°.类型三 正弦、余弦定理与三角变形的综合应用例3 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，4sin 2 B ＋C 2－cos 2A ＝72. (1)求A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 和c 的值． 考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合 题点 正弦、余弦定理与三角变形的综合 解 (1)由4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72及A ＋B ＋C ＝180°， 得2[1－cos(B ＋C )]－2cos 2A ＋1＝72，4(1＋cos A )－4cos 2A ＝5，即4cos 2A －4cos A ＋1＝0， ∴(2cos A －1)2＝0，解得cos A ＝12.∵0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc .∵cos A ＝12，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝12，化简并整理，得(b ＋c )2－a 2＝3bc ， 将a ＝3，b ＋c ＝3代入上式，得bc ＝2.则由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝3，bc ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，c ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝1.反思与感悟 (1)解三角形的实质是解方程，利用正弦、余弦定理，通过边、角互化，建立未知量的代数方程或三角方程．(2)三角形内角和定理在判断角的范围、转化三角函数、检验所求角是否符合题意等问题中有着重要的作用．(3)三角恒等变形公式是否熟练，对顺利化简非常重要．跟踪训练3 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，a 2＋c 2－b 2＝65ac .求2sin 2A ＋C 2＋sin 2B 的值．考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合 题点 正弦、余弦定理与三角变形的综合 解 由已知得a 2＋c 2－b 22ac ＝35，所以cos B ＝35，sin B ＝1－cos 2B ＝45，所以2sin 2A ＋C 2＋sin 2B ＝2cos 2B2＋sin 2B＝1＋cos B ＋2sin B cos B＝1＋35＋2×45×35＝6425.1．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π3 考点 用正弦定理解三角形题点 利用正弦定理进行边角互化解三角形 答案 D解析 在△ABC 中，利用正弦定理，得 2sin A sin B ＝3sin B ，∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin B ≠0， ∴sin A ＝32.又∵A 为锐角，∴A ＝π3. 2．在△ABC 中，若c ＝2a cos B ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形考点 判断三角形形状题点 利用正弦、余弦定理、三角变形判断三角形形状 答案 C解析 ∵c ＝2a cos B ，由正弦定理得， 2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0， 又∵－π<A －B <π，∴A －B ＝0，∴A ＝B ， ∴△ABC 是等腰三角形．3．在△ABC 中，若满足sin 2A ＝sin 2B ＋3sin B ·sin C ＋sin 2C ，则A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 考点 正弦、余弦定理解三角形综合 题点 正弦、余弦定理解三角形综合 答案 D解析 设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∵sin 2A ＝sin 2B ＋3sin B ·sin C ＋sin 2C ， ∴由正弦定理得a 2＝b 2＋c 2＋3bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－32，又∵0°<A <180°，∴A ＝150°.4．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则BA →·AC →＝ . 考点 余弦定理及其变形应用 题点 余弦定理的变形应用 答案 －32解析 由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋4－1012＝14.∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝3×2×14＝32，∴BA →·AC →＝－AB →·AC →＝－32.1．对于给出的条件是边角关系混合在一起的问题，一般运用正弦定理和余弦定理，把它统一为边的关系或把它统一为角的关系．再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法等进行转化、化简，从而得出结论．2．解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况选择恰当的定理或定理的变形来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解．一、选择题1．在钝角△ABC 中，a ＝1，b ＝2，则最大边c 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(2,3) C ．(5，3) D ．(22，3) 考点 判断三角形形状题点 已知三角形形状求边的取值范围解析 由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，得c 2>a 2＋b 2＝5.∴c >5，又c <a ＋b ＝3，∴5<c <3.2．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，π6 B.⎣⎡⎦⎤π6，π C.⎝⎛⎦⎤0，π3 D.⎣⎡⎭⎫π3，π考点 余弦定理及其变形应用 题点 用余弦定理求边或角的取值范围 答案 C解析 设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由已知及正弦定理得a 2≤b 2＋c 2－bc .由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，则cos A ≥12.∵0<A <π，∴0<A ≤π3.故选C.3．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定 考点 判断三角形形状题点 利用正弦、余弦定理、三角变形判断三角形形状 答案 B解析 由b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， 得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ， 即sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，因为0<A <π，所以sin A ＝1，所以A ＝π2，所以△ABC 为直角三角形．4．已知三角形面积为14，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为( )A ．1B ．2 C.12 D ．4考点 用正弦定理解三角形 题点 已知面积求边或角解析 设三角形外接圆半径为R ，则由πR 2＝π，得R ＝1， ∵S △＝12ab sin C ＝abc 4R ＝abc 4＝14，∴abc ＝1.5．在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c ，则△ABC 是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合 题点 正弦、余弦定理与三角变形的综合 答案 B解析 ∵cos 2B2＝a ＋c 2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c2c，∴cos B ＝ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 为直角三角形．6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b 且a >b ，则B 的值为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合 题点 正弦、余弦定理与三角变形的综合 答案 A解析 由条件得a b sin B cos C ＋c b sin B cos A ＝12，由正弦定理，得sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，∴sin(A ＋C )＝12，从而sin B ＝12，又a >b 且B ∈(0，π)，因此B ＝π6.7．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c －b c －a ＝sin Asin C ＋sin B ，则B等于( )A.π6B.π4C.π3D.3π4考点 正弦、余弦定理解三角形综合 题点 正弦、余弦定理解三角形综合 答案 C解析 由正弦定理可得c －b c －a ＝a c ＋b ，即c 2－b 2＝ac －a 2，故cos B ＝12，又0<B <π，故B ＝π3.8．在△ABC 中，已知a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 等于( ) A ．30° B ．60° C ．45°或135°D ．120°考点 余弦定理及其变形应用 题点 用余弦定理求边或角的取值范围 答案 C解析 由a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，得(a 2＋b 2－c 2)2＝2a 2b 2，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝±22，又∵0°<C <180°， ∴C ＝45°或135°. 二、填空题9．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝ .考点 用正弦定理解三角形 题点 已知面积求边或角 答案 2 3解析 ∵cos C ＝13，C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin C ＝1－cos 2C ＝223，∵12ab sin C ＝43，a ＝32，∴b ＝2 3.10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝ .考点 正弦、余弦定理解三角形综合 题点 正弦、余弦定理解三角形综合 答案 30°解析 ∵b ＝2a ，∴由正弦定理得sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33， 又∵0°<A <180°，∴A ＝30°.11．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos A ∶cos B ∶cos C ＝ . 考点 正弦、余弦定理解三角形综合题点 正弦、余弦定理解三角形综合答案 14∶11∶(－4)解析 由sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4及正弦定理，得a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，故可设a ＝2x ，b ＝3x ，c ＝4x ，其中x >0，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝78. 同理cos B ＝1116，cos C ＝－14，所以cos A ∶cos B ∶cos C ＝78∶1116∶⎝⎛⎭⎫－14＝14∶11∶(－4)． 12．已知三角形的三边分别为a ，b ，c ，面积S ＝a 2－(b －c )2，则cos A ＝ . 考点 用正弦定理解三角形题点 已知面积求边或角答案 1517解析 S ＝a 2－(b －c )2＝a 2－b 2－c 2＋2bc ＝－2bc cos A ＋2bc ，∵S ＝12bc sin A ，∴12bc sin A ＝2bc －2bc cos A . 即4－4cos A ＝sin A .平方得17cos 2A －32cos A ＋15＝0.即(17cos A －15)(cos A －1)＝0，得cos A ＝1(舍)或cos A ＝1517. 三、解答题13．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A a ＝3cos C c. (1)求C 的大小；(2)如果a ＋b ＝6，CA →·CB →＝4，求c 的值．题点 正弦、余弦定理与平面向量的综合解 (1)由正弦定理可知，sin A a ＝3cos C c 可化为sin A 2R sin A ＝3cos C 2R sin C，即tan C ＝ 3. 又∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3. (2)CA →·CB →＝|C A →||CB →|cos C ＝ab cos C ＝4， 且cos C ＝cos π3＝12，∴ab ＝8. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ＝62－3×8＝12，∴c ＝2 3.四、探究与拓展14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R )且ac ＝14b 2.若角B 为锐角，则p 的取值范围是 ． 考点 正弦、余弦定理与其他知识的综合题点 正弦、余弦定理与三角函数的综合答案 ⎝⎛⎭⎫62，2 解析 由余弦定理及正弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝p 2b 2－12b 2－12b 2cos B ， 即p 2＝32＋12cos B . 因为0<cos B <1，所以p 2∈⎝⎛⎭⎫32，2， 由题设知p >0，所以62<p < 2. 15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34. (1)求1tan A ＋1tan C的值； (2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值．题点 正弦、余弦定理与平面向量的综合解 (1)由cos B ＝34，得sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫342＝74.由b 2＝ac 及正弦定理，得sin 2B ＝sin A sin C . 于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32，得ca ·cos B ＝32， 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2. 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5， ∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，又a >0，c >0，∴a ＋c ＝3.。