课时作业3应用举例时间:45分钟满分:100分课堂训练1.海上有A、B两个小岛相距10海里,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B、C间的距离是()A.103海里B.106海里C.52海里D.56海里【答案】 D【解析】如图,∠A=60°,∠B=75°,则∠C=45°,由正弦定理得:BC=AB·sin Asin C=10×sin60°sin45°=5 6.2.如图所示,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°后,就可以计算出A、B两点的距离为()A .502mB .503mC .252m D.2522m【答案】 A【解析】 因为∠ACB =45°,∠CAB =105°,所以∠ABC =30°,根据正弦定理可知,AC sin ∠ABC =AB sin ∠ACB ,即50sin30°=AB sin45°,解得AB =502m ,选A.3.从某电视塔的正东方向的A 处,测得塔顶仰角是60°;从电视塔的西偏南30°的B 处,测得塔顶仰角为45°,A ,B 间距离是35m ,则此电视塔的高度是________m.【答案】 521【解析】 如图所示,塔高为OC ,则∠OAC =60°,∠AOB =180°-30°=150°,∠CBO =45°,AB =35,设电视塔高度为h m,则OA=33h,OB=h,在△AOB中由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cos∠AOB,即352=(32+h2-2×33h×h×(-32)3h)解得h=521.4.如图所示,海中小岛A周围38海里内有暗礁,一船正向南航行,在B处测得小岛A在船的南偏东30°,航行30海里后,在C处测得小岛在船的南偏东45°,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁的危险?【分析】船继续向南航行,有无触礁的危险,取决于A到直线BC的距离与38海里的大小,于是我们只要先求出AC或AB的大小,再计算出A到BC的距离,将它与38海里比较大小即可.【解析】 在△ABC 中,BC =30,∠B =30°,∠ACB =135°, ∴∠BAC =15°由正弦定理BC sin A =AC sin B ,即:30sin15°=AC sin30° ∴AC =60cos15°=60cos(45°-30°)=60(cos45°cos30°+sin45°sin30°)=15(6+2),∴A 到BC 的距离为d =AC sin45°=15(3+1)≈40.98海里>38海里,所以继续向南航行,没有触礁危险.课后作业一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等,灯塔A 在观察站C 的北偏东40°,灯塔B 在观察站C 的南偏东60°,则灯塔A 在灯塔B 的( )A .北偏东10°B .北偏西10°C .南偏东10°D .南偏西10°【答案】 B【解析】 如图所示,∠ECA =40°,∠FCB =60°,∠ACB =180°-40°-60°=80°,∵AC =BC ,∴∠A =∠ABC =180°-80°2=50°,∴∠ABG =180°-∠CBH -∠CBA =180°-120°-50°=10°.故选B.2.某市在“旧城改造”工程中,计划在如下图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境.已知这种草皮价格为a 元/m 2,则购买这种草皮需要( )A .450a 元B .225a 元C .150a 元D .300a 元【答案】 C【解析】 S △=12×20×30×sin150°=12×20×30×12 =150(m 2),∴购买这种草皮需要150a 元,故选C.3.有一长为10m 的斜坡,倾斜角为75°.在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长的长度(单位:m)是( )A .5B .10C .102 D .10 3【答案】 C【解析】 如图,设将坡底加长到B ′时,倾斜角为30°.在△ABB ′中,利用正弦定理可求得BB ′的长度.在△ABB ′中,∠B ′=30°, ∠BAB ′=75°-30°=45°,AB =10m. 由正弦定理,得BB ′=AB sin45°sin30°=10×2212=102(m).∴坡底延长102m 时,斜坡的倾斜角将变为30°.4.一船以226km/h 的速度向正北航行,在A 处看灯塔S 在船的北偏东45°,1小时30分后航行到B 处,在B 处看灯塔S 在船的南偏东15°,则灯塔S 与B 之间的距离为( )A .66 kmB .132 kmC .96 kmD .33 km【答案】 A【解析】 如图,∠ASB =180°-15°-45°=120°, AB =226×32=336, 由正弦定理336sin120°=SBsin45°, ∴SB =66(km).5.据新华社报道,强台风“珍珠”在广东饶平登陆.台风中心最大风力达到12级以上,大风降雨给灾区带来严重的灾害,不少大树被大风折断.某路边一树干被台风吹断后,树尖与地面成45°角,树干也倾斜,与地面成75°角,树干底部与树尖着地处相距20米,则折断点与树干底部的距离是( )A.2063米 B .106米 C.1063米 D .202米【答案】 A【解析】 设树干底部为O ,折断点为P ,树尖着地处为M ,如图,△OPM 中,∠P =180°-∠M -∠O =180°-45°-75°=60°,由正弦定理得PO sin M =MO sin P ,∴PO =MO sin M sin P =20×sin45°sin60°=2063.6.甲船在B 岛的正南A 处,AB =10km ,甲船以4 km/h 的速度向正北航行,同时,乙船自B 岛出发以6km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们航行的时间是( )A.1507min B.157h C .21.5min D .2.15h【答案】 A 【解析】如图,设经过x 小时时距离为s ,则在△BPQ 中,由余弦定理知: PQ 2=BP 2+BQ 2-2BP ·BQ ·cos120°,即s2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)×6x×(-12) =28x2-20x+100.当x=-b2a =514时,s2最小,此时x=514h=1507min.7.一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°角的方向航行,已知河水流速为2km/h,则经过3h,该船实际航程为() A.215km B.6kmC.221km D.8km【答案】 B【解析】如图,∵|OA→|=2,|OB→|=4,∠AOB=120°,∴∠A=60°,|OC→|=22+42-2×2×4cos60°=2 3.经过3h,该船的航程为23×3=6(km).8.如图,△ABC是简易遮阳棚,A、B是南北方向上的两个定点,正东方向射出的太阳光线与地面成40°角,为了使遮阴影面ABD面积最大,遮阳棚ABC与地面所成的角为()A .75°B .60°C .50°D .45° 【答案】 C【解析】 如图,作CE ⊥平面ABD 于点E ,则∠CDE 是太阳光线与地面所成的角,即∠CDE =40°,延长DE 交直线AB 于点F ,连接CF ,则∠CFD 是遮阳棚与地面所成的角,设为α.要使S △ABD 最大,只需DF 最大.在△CFD 中,CF sin40°=DF sin (140°-α).∴DF =CF ·sin (140°-α)sin40°. ∵CF 为定值,∴当α=50°时,DF 最大. 二、填空题(每小题10分,共20分)9.如图在山脚A 测得山顶P 的仰角为α,沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ,又测得山顶P 的仰角为γ,则山高为________.【答案】 a sin α·sin (γ-β)sin (γ-α)m 【解析】 在△P AB 中,已知∠BAP =α-β,∠APB =γ-α,AB =a ,由正弦定理可得P A =a sin (γ-β)sin (γ-α), 在Rt △P AQ 中,PQ =P A sin α=a sin αsin (γ-β)sin (γ-α). 10.一只蚂蚁沿东北方向爬行x cm 后,再向右转105°爬行20cm ,又向右转135°,这样继续爬行可回到出发点处,那么x =________.【答案】 203 6【解析】 如图△ABC 中,∠A =45°+15°=60°,∠B =45°+30°=75°,∠ACB =45°,由正弦定理知 x sin ∠ACB=20sin A ,∴x =203 6. 三、解答题(每小题20分,共40分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11.A 、B 是海平面上的两个点,相距800 m ,在A 点测得山顶C 的仰角为45°,∠BAD =120°,又在B 点测得∠ABD =45°,其中D 是点C 到水平面的垂足,求山高CD .【分析】 如图,由于CD ⊥平面ABD ,∠CAD =45°,所以CD =AD .因此,只需在△ABD 中求出AD 即可.【解析】 在△ABD 中,∠BDA =180°-45°-120°=15°,由AB sin15°=AD sin45°,得AD =AB ·sin45°sin15°=800×226-24=800(3+1)(m).∵CD ⊥平面ABD ,∠CAD =45°∴CD =AD =800(3+1)≈2 186(m).答:山高CD 为2 186 m.12.如图,一辆汽车从O 点出发,沿海岸一条直线公路以100千米/小时的速度向东匀速行驶,汽车开动时,在O 点南偏东方向距O 点500千米且与海岸距离为300千米的海上M 处有一快艇,与汽车同时出发,要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机,问快艇至少必须以多大的速度行驶,才能把物品递送到司机手中?并求快艇以最小速度行驶时方向与OM 所成的角.【分析】 根据题意画出示意图如图所示.在△MON 中,利用余弦定理得到速度v 关于时间t 的函数关系式,然后利用二次函数求最值.【解析】 如图所示,设快艇从M 处以v 千米/小时的速度出发,沿MN 方向航行,t 小时后与汽车相遇.在△MON 中,MO =500,ON =100t ,MN =v t ,设∠MON =α,由题意得sin α=35,则cos α=45.由余弦定理,得MN 2=OM 2+ON 2-2OM ·ON ·cos α,即v 2t 2=5002+1002t 2-2×500×100t ×45. v 2=5002×1t 2-2×500×80×1t +1002=(500×1t -80)2+3 600. 当1t =80500,即t =254时,v 2min =3 600.即快艇至少必须以60千米/小时的速度行驶,此时MN =60×254=375,MQ 是M 到ON 的距离,且MQ =300.设∠MNO =β,则sin β=300375=45.所以可得α+β=90°,即MN 与OM 所成的角为90°.。