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正弦定理和余弦定理测试题

正弦定理和余弦定理测试题1.若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a +b )2-c 2=4,且C =60°,则ab 的值为( )A.43B .8-4 3C .1 D.232.(文)在△ABC 中,已知A =60°,b =43,为使此三角形只有一解,a 满足的条件是( )A .0<a <4 3B .a =6C .a ≥43或a =6D .0<a ≤43或a =6(理)若满足条件C =60°,AB =3,BC =a 的△ABC 有两个,那么a 的取值范围是( )A .(1,2)B .(2,3)C .(3,2)D .(1,2)3.在△ABC 中,已知a ,b ,c 分别为∠A ,∠B ,∠C 所对的边,且a =4,b =43,∠A =30°,则∠B 等于( )A .30°B .30°或150°C .60°D .60°或120°4.(文)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若a cos A =b sin B ,则sin A cos A +cos 2B =( )A .-12 B.12C. -1D. 1(理)△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,a sin A sin B +b cos 2A =2a ,则ba=( ) A .2 3 B .2 2 C. 3D. 25.(文)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a =1,c =42,B =45°,则sin C 等于( )A.441B.45 C.425 D.44141.(理)△ABC 中,a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边,如果a 、b 、c 成等差数列,∠B =30°,△ABC 的面积为0.5,那么b 为( )A .1+ 3B .3+ 3C.3+33D .2+ 36.(文)(在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且c =42,B =45°,面积S =2,则b 等于( )A .5 B.1132C.41 D .25(理)在△ABC 中,面积S =a 2-(b -c )2,则cos A =( ) A.817 B.1517 C.1315 D.1317 7.若△ABC 的面积为3,BC =2,C =60°,则边AB 的长度等于________.8.(文)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,且满足cos A 2=255,AB →·AC→=3,则△ABC 的面积为________.(理)在直角坐标系xOy 中,已知△ABC 的顶点A (-1,0),C (1,0),顶点B 在椭圆x 24+y 23=1上,则sin A +sin Csin B的值为________.9.(文)在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若a =2,b =2,sin B +cos B =2,则∠A 的大小为________.(理)在锐角△ABC 中,边长a =1,b =2,则边长c 的取值范围是________.10.(文)△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,向量m =(2sin B,2-cos2B ),n =(2sin 2(π4+B2),-1),且m ⊥n .(1)求角B 的大小;(2)若a =3,b =1,求c 的值.(理)△ABC 中内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,向量m =(2sin B ,-3),n =(cos2B,2cos 2B2-1)且m ∥n .(1)求锐角B 的大小;(2)如果b =2,求△ABC 的面积S △ABC 的最大值.11.(文)在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边,若a =2b cos C ,则此三角形一定是( )A .等腰直角三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .等腰或直角三角形(理)△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若cb <cos A ,则△ABC 为( )A .钝角三角形B .直角三角形C .锐角三角形D .等边三角形12.(文)已知△ABC 中,∠A =30°,AB ,BC 分别是3+2,3-2的等差中项与等比中项,则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.32或 3 D.32或34(理)△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a cos C ,b cos B ,c cos A 成等差数列,则角B 等于( )A .30°B .60°C .90°D .120°13.(文)在△ABC 中,sin 2A ≤sin 2B +sin 2C -sin B sin C ,则A 的取值范围是( )A .(0,π6]B .[π6,π)C .(0,π3]D .[π3,π)(理)若AB =2,AC =2BC ,则S △ABC 的最大值为( )A .2 2 B.32C.23D .3 2 14.判断下列三角形解的情况,有且仅有一解的是________. ①a =1,b =2,B =45°; ②a =5,b =15,A =30°; ③a =6,b =20,A =30°; ④a =5,B =60°,C =45°.15.(文)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边是a 、b 、c ,已知3a cos A =c cos B +b cos C (1)求cos A 的值;(2)若a =1,cos B +cos C =233,求边c 的值.(理)在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知cos A -2cos C cos B =2c -ab.(1)求sin C sin A的值;(2)若cos B =14,△ABC 的周长为5,求b 的长.1.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a =2,b =22,且三角形有两解,则角A 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0,π4B.⎝⎛⎭⎫π4,π2 C.⎝⎛⎭⎫π4,3π4D.⎝⎛⎭⎫π4,π32.在ΔABC 中,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c .若∠C =120°,c =2a ,则( ) A .a >bB .a <bC .a =bD .a 与b 的大小关系不能确定3.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若a 2-b 2=3bc ,sin C =23sin B ,则A =( )A .30°B .60°C .120°D .150°4.在△ABC 中,tan A =12,cos B =31010,若最长边为1,则最短边的长为( )A.455B.355C.255D.555.、如图,在△ABC 中,D 是边AC 上的点,且AB =AD,2AB =3BD ,BC =2BD ,则sin C 的值为( )A.33B.36C.63 D.666.△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ,已知c =3,C =π3,a =2b ,则b 的值为________.7.在△ABC 中,a cos 2C 2+c cos 2A 2=32b ,且△ABC 的面积S =a sin C ,则a +c 的值为________.8.(2011·安阳月考)在△ABC 中,C =60°,a ,b ,c 分别为A ,B ,C 的对边,则ab +c+bc +a=________.正弦定理和余弦定理参考答案1、[答案] A[解析] 在△ABC 中,C =60°,∴a 2+b 2-c 2=2ab cos C =ab ,∴(a +b )2-c 2=a 2+b 2-c 2+2ab =3ab =4,∴ab =43,选A.2、(文)[答案] C[解析] ∵b ·sin A =43·sin60°=6,∴要使△ABC 只有一解,应满足a =6或a ≥4 3. 如图 顶点B 可以是B 1、B 2或B 3.(理)[答案] C [解析] 由条件知,a sin60°<3<a ,∴3<a <2.3、[答案] D [解析] 由正弦定理得a sin A =b sin B ,所以4sin30°=43sin B ,sin B =32.又0°<B <180°,因此有B =60°或B =120°,选D.4、(文)[答案] D [解析] 由a cos A =b sin B 可得,sin A cos A =sin 2B =1-cos 2B 所以sin A cos A +cos 2B =1.(理)[答案] D[解析] ∵a sin A sin B +b cos 2A =2a ,∴sin 2A sin B +sin B cos 2A =2sin A ,∴sin B =2sin A ,∴b =2a ,∴ba= 2.5、(文)[答案] B [解析] 依题意得b =a 2+c 2-2ac cos B =5,又c sin C =b sin B,所以sin C =c sin B b =42sin45°5=45,选B(理)[答案] C [解析] 12ac sin B =12,∴ac =2,又2b =a +c ,∴a 2+c 2=4b 2-4,由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B 得,b =3+33.6、(文)[答案] A [解析] 由于S =12ac sin B =2,c =42,B =45°,可解得a =1,根据余弦定理得,b 2=a 2+c 2-2ac cos B =1+32-2×1×42×22=25,所以b =5,故选A.(理)[答案] B [解析] S =a 2-(b -c )2=a 2-b 2-c 2+2bc =2bc -2bc cos A =12bc sin A ,∴sin A =4(1-cos A ),16(1-cos A )2+cos 2A =1,∴cos A =1517.7、[答案] 2 [解析] 由S =12BC ·AC sin C 知3=12×2×AC sin60°=32AC ,∴AC =2,∴AB 2=28、(文)[答案] 2 [解析] 依题意得cos A =2cos 2A 2-1=35,∴sin A =1-cos 2A =45,∵AB →·AC →=AB ·AC ·cos A =3,∴AB ·AC =5,∴△ABC 的面积S =12AB ·AC ·sin A =22+22-2×2×2cos60°=4,∴AB =2.(理)[答案] 2 [解析] 由题意知△ABC 中,AC =2,BA +BC =4,由正弦定理得sin A +sin C sin B =BC +BAAC=2.9、(文)[答案] π6 [解析] ∵sin B +cos B =2sin(B +π4)=2,∴sin(B +π4)=1,∵0<B <π,∴B =π4,∵b sin B =a sin A ,∴sin A =a sin B b =2×222=12,∵a <b ,∴A <B ,∴A =π6.(理)[答案] 3<c < 5 [解析] 边c 最长时(c ≥2):cos C =a 2+b 2-c 22ab =1+4-c 22×1×2>0,∴c 2<5.∴2≤c < 5.边b 最长时(c <2):cos B =a 2+c 2-b 22ac =1+c 2-42c>0,∴c 2>3.∴3<c <2.综上,3<c < 5.10、(文)[解析] (1)∵m ⊥n ,∴m ·n =0,∴4sin B ·sin 2(π4+B2)+cos2B -2=0,2sin B [1-cos(π2+B )]+cos2B -2=0,∴2sin B +2sin 2B +1-2sin 2B -2=0,∴sin B =12. ∵0<B <π,∴B =π6或56π.(2)∵a =3>b ,∴此时B =π6,由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,∴c 2-3c +2=0,∴c =2或c =1.(理)[分析] (1)问利用平行向量的坐标表示将向量知识转化为三角函数,利用三角恒等变换知识解决;(2)问利用余弦定理与基本不等式结合三角形面积公式解决.[解析] (1)∵m ∥n ,∴2sin B ⎝⎛⎭⎫2cos 2B2-1=-3cos2B ∴sin2B =-3cos2B ,即tan2B =- 3 又∵B 为锐角,∴2B ∈(0,π) ∴2B =2π3,∴B =π3.(2)∵B =π3,b =2,∴由余弦定理cos B =a 2+c 2-b 22ac得,a 2+c 2-ac -4=0又∵a 2+c 2≥2ac ,∴ac ≤4(当且仅当a =c =2时等号成立) S △ABC =12ac sin B =34ac ≤3(当且仅当a =c =2时等号成立).11、(文)[答案] C [解析] 因为a =2b cos C ,所以由余弦定理得:a =2b ×a 2+b 2-c 22ab,整理得b 2=c 2,∴b =c ,∴则此三角形一定是等腰三角形.[点评] 也可以先由正弦定理,将a =2b cos C 化为sin A =2sin B cos C ,利用sin A =sin(B +C )代入展开求解.(理)[答案] A [解析] 依题意得sin Csin B<cos A ,sin C <sin B cos A ,所以sin(A +B )<sin B cos A ,即sin B cos A +cos B sin A -sin B cos A <0,所以cos B sin A <0.又sin A >0,于是有cos B <0,B 为钝角,△ABC 是钝角三角形,选A. 12、(文)[答案] D[解析] 依题意得AB =3,BC =1,易判断△ABC 有两解,由正弦定理得AB sin C =BCsin A,3sin C =1sin30°,即sin C =32.又0°<C <180°,因此有C =60°或C =120°.当C =60°时,B =90°,△ABC 的面积为12AB ·BC =32;当C =120°时,B =30°,△ABC 的面积为12AB ·BC ·sin B =12×3×1×sin30°=34.综上所述,选D.(理)[答案] B[解析] 依题意得a cos C +c cos A =2b cos B ,根据正弦定理得,sin A cos C +sin C cos A =2sin B cos B ,则sin(A +C )=2sin B cos B ,即sin B =2sin B cos B ,又0°<B <180°,所以cos B =12,所以B =60°,选B.13(文)[答案] C [解析] 根据正弦定理,由sin 2A ≤sin 2B +sin 2C -sin B sin C 得a 2≤b 2+c 2-bc ,根据余弦定理cos A =b 2+c 2-a 22bc ≥bc 2bc =12,又0<A <π,∴0<A ≤π3,故选C.(理)[答案] A [解析] 设BC =x ,则AC =2x ,根据面积公式得S △ABC =12×AB ×BC sin B=x1-cos 2B①,根据余弦定理得cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ·BC =4+x 2-2x 24x =4-x 24x②,将②代入①得,S △ABC =x1-4-x 24x2=128-x 2-12216,由三角形的三边关系得⎩⎨⎧2x +x >2x +2>2x,解得22-2<x <22+2,故当x =23时,S △ABC 取得最大值22,故选A. 14、[答案] ①④[解析] ①一解,a sin B =22<1<2,有一解.②两解,b ·sin A =152<5<15,有两解; ③无解,b ·sin A =10>6,无解.④一解,已知两角和一边,三角形唯一确定.15、(文)[解析] (1)由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos C 有c cos B +b cos C =a ,代入已知条件得3a cos A =a ,即cos A =13(2)由cos A =13得sin A =223,则cos B =-cos(A +C )=-13cos C +223sin C ,。

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