概率统计第三章答案概率论与数理统计作业8 (§ 3.1〜§ 3.3 )一、填空题1.X,Y 独立同分布X L03 2：3，则P(X+YW1)=?E(XY)=4・2.设X的密度函数为5= 2(10x) 0其它1，则2E(X) = 1/3,E(X ) = 1/6 .3.随机变量X的分布率为P|0；00303，则E(X) =-0.2 ________ ,2E(3X 5)= 13.4 ________________ 。
4.已知随机变量X的分布列为P ( X=m )= 1 , m = 2,4,…,18,20 ”则E( X ) = ___________5.对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为P I，第二台仪器发生故障的概率为P2 •令X表示测试中发生故障的仪器数，则E x A P1 P2二、计算题1.连续型随机变量X的概率密度为af(x)= kx穿",「0)又知E(X)=0.75，求k 和 a 的值。
0 其它解：由［3 (x dx = Jkx a dx = 1,得_^=1,. o a 1又E(X)匚0.75，则有xf xdx 二：x kx a dx =0・75,得—= 0.75,0 a 2故由上两式解得k=3,a=2・2.对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。
如果发现次品，则立即停止检查而认为这批产品不合格；如果连续检查5个产品，都是合格品，则也停止检查而认为这批产品合格。
设每批产品的次品率为p,求每批产品抽查样品的平均数。
解：设随机变量X表示每批产品抽查的样品数，则：P( X =m ) = pq m」(m =1,2,3,4);P( X = 5) = pq4 q5二q4 ( p q = 1)・•・X的概率分布表如下:EX = p 2pq 3pq2 4 pq3 5q4 = 5 TO p 10 p2_5p3 p43 •设二维随机变量X, Y的联合密度函数为I 21 2 2 .f(x，y)J匸x y X —y —1[0其它1)求EX，EY 及EXY ；2)求X 与Y 的边缘密度函数;y21 2 7 -当 0 E y 乞1 时，fY (y )= J f (x,y dx= J -—x ydx = — y 2; Qq 74 2当 y 1 或y 0时，f Yy = 0.概率论与数理统计作业9 (§ 3.4〜§ 3.7 )解：1 ) EX■be_xf x，ydxdy=1 1_1dxxgydy-4拧 x — di ；J Q Q J Q QJ yf(x,yjdxdy= [ dxf—- -J xy ^x 2ydy 二4 E XY 戶J* 21 1 7 :xyf x,y dxdy 二 jx 严 气 x 2ydy 二x '-x 9dx = 0;2) 当 x说 121 2 21 # 26当x _1时, 21 2 6x - x fx(x )=丿 8 I 0,fXx= 0・,)X 兰一、填空题1.设随机变量X i , X2 , X3相互独立，其中X i在［0, 6］上服从均匀分布，X2服从e(2), X3服从参数为=3的泊松分布，记Y = X i -2X2 3X3，贝0 D(Y)= 462.随机变量X,Y相互独立，又X〜P(2)Y〜B‘8,£］则EX -2Y =_-2__ , D X -2Y = 8・3.随机变量X〜B(10,0.6),Y〜P(0.6),相关系数，Cov(X,Y)= 0.3 .R(X,Y)=丄4 ~"4、若X ~ B( n,p),且E(X)=12 , D(X)=8，贝n = 36：、选择题1.设随机变量X和Y的方差存在且不等于0,则D(X Y)二 D X D Y 是X 和Y 的 ______ BA)不相关的充分条件，但不是必要条件；B) 独立的必要条件，但不是充分条件；C)不相关的必要条件，但不是充分条件；D)独立的充分必要条件2.设X ~ P()，且 E (X -1) X -2 =1，贝V = A __________A) 1, B) 2, C) 3, D) 03.设X!,X2,X3相互独立同服从参数一3的泊松分布，令丫J(X i X2 X3),贝V3E(Y2)= __________________ CA) 1. B) 9. C)10. D) 6.4.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X与Y的相关系数等于(A )。
A) i B) 0 C) 1/2D) 15.设随机变量D(X)=2 , D(Y)=2 ,而且X与丫不相关，令U二aX Y , V二X bY，且U与V也不相关，则有(C )A) a =b =0 ；B) a=b = O ； C ) a b=0 ；D ) ab = 0 .6 .若认丫表示二维随机变量X, Y的相关系数，则“P X,Y|=1”是""存在常数a、b(b/)使得P2 = a + bx}=1 ”的(C )A）必要条件，但非充分条件；B）充分条件，但非必要条件；C）充分必要条件；D）既非充分条件，也非必要条件.三、计算题1、一批零件中有9个合格品与3个废品，安装机器时从这批零件中任取1个，如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的方差.解：设X表示取得合格品以前已取出的废品数，则X=0，1, 2, 3；P（x=k）= ppLP12概率分布表如下EX =0.3,EX,DX 二EX - EX 3510.319.22 11002、设随机变量X的概率密度为令 x = sint,dx 二 costdtDX=EXS 2 o 2sintX# *1f(x) = * 兀Jl —x 2|X| ：：1，求D(X)1)EX1,x —: ----- dx 二 0; 二、1 - x 2EX 21X 2一12dx = 2 x 2-1-x 2"12dx,3.二维随机变量(X,Y )在区域R : 0 Zx “,0 ’y “ 上服从均匀分布，求：(1)数学期望EX及EY ； ( 2)方差DX及DY ； ( 3)协方差cov(X,Y) 及相关系数R(X,Y)。
解：由题设得 f x，2,0 0三x三1,0三y 込xEX 1 x 2xf x,ydxdy = 2 0 dx 0 xdy =3 ;EX9i EY2二-hoEY「一:1 x 1yf x,ydxdy = 2 °dx 0 ydy 二=：2 1 x 2 1x f x,y dxd^20dx0xd^2=：2 1 x 2 1_. y f X,y dxdy = 2 °dx 0 y dy*DX = EX 2—(EX f =丄；DY = EY2—(EY f =丄.18 181 x 1E XY 二：：xyf x,ydxdy = 2 0 dx 0 xydy = 4 .2cov X ,Y = E XY - EX EY1;364.设(X,Y)的联合概率分布如下表所示,计算X 与 丫的相关系数，并判断X 与Y 是否独立？解:X -1 01313P(X i )8 4 8Y -1 01R X,Y 二cov X ,Y、DX DY(0,0), (-1,1),(一冷),(2,0)且相应的概率依次为6冷，冷，求X 与Y 的相关系数,并判断X 与Y 是否独立？解：由题设得EX =0,EY =0,EX — 3 3 /’EY ?二3 38 8 4 8 83 3 DX ,DY .3=4, J 1111 E XY =丄 一1 一11=0.8 8 8 8Rxm5. (X , Y )只取下列数组中的值：p -1,-1EX EX DX2 5/12 0 01336' 3710827512961336’RX”f13 5 13-- 1 -------- ----- --------- *36 12 36 二35 275221275二0.804.12 3635p—x—fO「面,X,Y不独立6・两个随机变量(X，丫),已知D(X)=25，D(Y)=36，R(X,Y)=0.4，计算D(X Y)与D(X -Y).解. D(X +Y )=DX +DY +2cov(X,Y )=DX +DY +2R(X,Y 25 36 2 0.4 5 6 = 85;概率统计作业10 (§ 3.8〜§ 4.2 )1.随机变量X的方差为2,则根据切比雪夫不等式估计P( X -E(X 住2) 解：P(X —EX >2)<-42.利用切比雪夫不等式估计随机变量与数学期望的差的绝对值大于三倍标准差的概率.解：P(X_EXE哆十0.1111.3.为了确定事件A的概率，进行10000次重复独立试验，利用切比雪夫不等式估计：用事件A 在10000次实验中发生的频率作为事件A的概率的近似值时，误差小于0.01的概率.解：设事件A在每次试验中发生的概率为p，在这10000次试验中发生了X次，则EX=np=10000p=10000p,DX=1000Op(1-p),因此，所求事件的概率为/ X 、DXP£°.01戶P Q X -10000 p C1OO)=P(X—Ex y oo)王1—荷/—PO _p)=1 _ p + p2冷p?』754、填空题1 )设X ~ N 3,42，则 E X 2二25 ・2)随机变量X ~ N 20,22，若PX,冷，则a= 2^・3)X,Y服从相同分布N --,2，则E〔aX bY aX -bY a2 - b2二2」2.4)设随机变量X ~ N(2, ‘),且P(2 ：：X < 4) =0.3 ,则P(X 0.25)已知连续随机变量X的概率密度函数为f(x)=1e#22，则X的数学期望为 1 , X的方差为05.5. 设随机变量X服从正态分布N （1, 22）,查表求：(1) p X 2.2 ;( 2) p —1.6zX5.8;(4)p X _4.56.1） 测量误差的绝对值不超过 30的概率； 2） 连续独立测量3次，至少有一次误差的绝对 值不超过30的概率. 解：1 ）由题设X ~ N 20,402p(X <30)=6 30-20]-Q(-30-20〕=①(0.25)-①(-1.25) I 40丿I 40丿 '‘(3)P X <3.5 ；解：1 p X2.2 = G『2 2-1、 笃」1 =f 5.8-1、乐 ----- 丨-① < 2丿=G 2.4 -—1.3 =0.89502 p -1.6 乞 X 5.8 二： 广 3.5-1=:> 1.25 -1 亠 ©2.25f -1 6-1 )1.6 1l = e(2.4)-①(-C 3 5-1、于严仁25）-%2.25）广4 56 1、 (4 )p (X 34.56)=1-p (|X | 兰 4.56)=1-『 . -=1 - !：」1.78 -：」-2.78 1=2- ： 1.78 -门 2.78 =0.0402.-4.56-126.设测量两地的距离时带有随机误差X,其概率密度为f （x ）==[ e 锻，八:::： •求40 2：=：，0.25 -1 亠41.25 二0.4931;2)设Y表示连续独立测量3次，“误差的绝对值不超过30”所发生的次数，贝M Y〜B (3, 0.4931),所求为pY_17 = 1-pY=0 = ^1- 0.49313 = 1 - 0.50693 f Y y=0.8698.二2y2，“八1；0, y >1 或y c 0.。