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应用概率统计期末复习题及答案

第七章课后习题答案7.2 设总体12~(12,4),,,,n X N X X X 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率. 解:由于~(12,4)X N ,~(0,1)X N7.3 设总体~(0,0.09),X N 从中抽取10n =的简单随机样本,求1021 1.44i i P X =⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∑.解:由于~(0,0.09),X N 所以~(0,0.09),i X N 故~(0,1)0.3i i X X N σ--=所以10221()~(10)0.3ii X χ=∑所以{}101022211 1.441.44()160.10.30.09i i i i X P X P P χ==⎧⎫⎧⎫>=>=>=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭∑∑7.4 设总体2~(,),X N μσ12,,,n X X X 为简单随机样本, X 为样本均值,2S 为样本方差,问2X U n μσ⎛⎫-= ⎪⎝⎭服从什么分布?解:222X X X U n μσ⎛⎫⎛⎫-=== ⎪⎝⎭,由于2~(,)X N μσ,~(0,1)X N,故22~(1)X U χ⎛⎫=。

7.6 设总体2~(,),X N μσ2~(,)Y N μσ且相互独立,从,X Y 中分别抽取1210,15n n ==的简单随机样本,它们的样本方差分别为2212,S S ,求2212(40)P S S ->。

解: 222221121222(40)(4)4S P S S P S S P S ⎛⎫->=>=> ⎪⎝⎭由于2~(,),X N μσ2~(,)Y N μσ且相互独立所以2122~(101,151)SFS--,又由于0.01(9,14) 4.03F=即()40.01 P F>=第八章课后习题答案8.1 设总体X 的密度函数为(1),()010,C x x C f x C x C 为已知,θθθθ-+⎧>=>>⎨≤⎩。

12,,,n X X X 为简单随机样本,(1)求θ的矩估计量。

(2)求θ的极大似然估计量。

解:(1)(1)[1(1)]()()CCCE X xf x dx x C xdx Cx dx θθθθμθθ+∞+∞+∞-+-+====⎰⎰⎰故XX Cθ=-。

(2) 似然函数 取对数方程两侧对θ求导得1ln ln ln ni i d L nn C x d θθ==+-∑ 令1ln ln ln 0ni i d L nn C x d θθ==+-=∑ 得 1ln ln nii nx n Cθ==-∑即极大似然估计量为1ln ln nii nXn Cθ==-∑8.4 设总体X 的密度函数为10,()00,xx e x f x x ααλλα--⎧>⎪=⎨≤⎪⎩其中0α>是已知常数,0λ>是未知参数,12,,,n X X X 为简单随机样本,求λ的极大似然估计量。

解:似然函数 取对数方程两侧对λ求导得1ln n i i d L n x d αλλ==-∑令1ln 0n i i d L n x d αλλ==-=∑ 得 1ni i nx αλ==∑即极大似然估计量为1nii nXαλ==∑8.6 设某种清漆的9个样品,其干燥时间(单位:h )分别为6.0,5.7,5.8,6.5,7.0,6.3,5.6,6.1,5.0设干燥时间2~(,),T N μσ就下面两种情况μ的置信度为0.95的双侧置信区间。

(1)0.6()h σ= (2)σ未知解:由已知可得26,0.574,0.33x s s ===(1)由于0.6σ=,9n =,0.05α=,0.025 1.96z =取统计量~(0,1)X Z N =所以μ的置信区间为22(X z X z αα-+即0.60.6(6 1.96,6 1.96)(5.608,6.392)33-⨯+⨯= (2)σ未知,9n =,0.05α=,0.574s =故取统计量2~(1)T t n α=- ,0.025(8) 2.306t =所以置信区间为22(((X t n X t n αα--+- 8.8 随机的抽取某种炮弹9发做实验。

求得炮口速度的样本标准差11(/)S m s =,设炮口速度服从正态分布2(,),N μσ求炮口速度的均方差2σ的置信度为0.95的双侧置信区间。

解:均值μ未知,9n =,2(1)8121968n s -=⨯=,0.05α= 查表得20.025(8)17.535χ=,20.975(8) 2.18χ= 取统计量2222(1)~(1)n S n χχσ-=-,故置信下限为220.025(1)96855.2(8)17.535n s χ-==,置信上限为220.975(1)968444(8) 2.18n s χ-==所以2σ的置信区间为(55.2,444)8.11 研究两种燃料的燃烧率,设两者分别服从正态分布21(,0.05),N μ22(,0.05),N μ取样本容量1220n n ==的两组独立样本求得燃烧率的样本均值分别为18,24,求两种燃料燃烧率总体均值差12()μμ-的置信度为0.99的双侧置信区间.解:已知21~(,0.05),X N μ22~(,0.05),Y N μ1220n n ==,18x =, 24y =, 0.01α=故去统计量Z =,由于0.0050.005() 2.58z t =∞=,所以 2.580.041δ==≈ 故置信区间为(-6.041,5.959)8.12 两化验员甲、乙各自独立的用相同的方法对某种聚合物的含氯量各做10次测量,分别求得测定值的样本方差为210.5419s =,220.6065s =,设测定值总体分别服从正态分布211(,),N μσ222(,),N μσ试求方差比2212()σ的置信度为0.95的双侧置信区间.解:已知210.5419s =,220.6065s =,1210n n ==,0.05α=取统计量22122212S SFσσ=,由于0.0252(9,9)(9,9) 4.03F Fα==故置信下限为22221212120.02520.222(1,1)(9,9)s s s sF n n Fα==--置信上限为2211210.02522222(1,1)(9,9) 3.601 s sF n n Fs sα--==所以置信区间为(0.222,3.601)第九章课后习题答案9.1 假定某厂生产一种钢索,其断裂强度5(10)X Pa 服从正态分布2(,40),N μ从中抽取容量为9的样本,测得断裂强度值为793, 782, 795, 802, 797, 775, 768, 798, 809据此样本值能否认为这批钢索的平均断裂强度为580010Pa ⨯(0.05α=)解:已知791x =,2~(,40),X N μ 9n =, 0.05α=取统计量~(0,1)X Z N =,故7918000.675403z -== 由于0.025 1.96z =,且27918000.675403z z α-==<又因为0H 的拒绝域是2z z α>所以接受0H ,拒绝1H .即可以认为平均断裂强度为580010Pa ⨯.9.3 某地区从1975年新生的女孩中随机抽取20个,测量体重,算得这20个女孩的平均体重为3160g ,样本标准差为300g ,而根据1975年以前的统计资料知,新生女孩的平均体重为3140g ,问1975年的新生女孩与以前的新生女孩比较,平均体重有无显着性的差异?假定新生女孩体重服从正态分布,给出0.05α=. 解:由已知3160,300x s ==,20n =,0.05α=取统计量2~(1)X T t n α=-, 所以0.02520.298 2.0930(19)(19)T t t α=<==,不在拒绝域2(19)T t α>中, 故接受0H ,拒绝1H .即体重无明显差异.9.5 现要求一种元件的使用寿命不得低于1000h ,今从一批这种元件中随机的抽取25件,测定寿命,算得寿命的平均值为950h ,已知该种元件的寿命2~(,),X N μσ已知100σ=,试在检验水平0.05α=的条件下,确定这批元件是否合格?解:已知 25n =,950x =,100σ=,0.05α=取统计量~(0,1)Z N=,故9501000 2.51005Z -==- 由于0.05 1.645z z α==,且95010002.5 1.6451005Z z α-==-<-=-又因为0H 的拒绝域是Z z α<-,所以拒绝0H ,接受1H . 即认为这批元件不合格.9.8 某厂生产的铜丝,要求其拉断力的方差不超过216()kg ,今从某日生产的铜丝中随机的抽取9根,测得其拉断力为(单位:kg )289 , 286 , 285 , 284 , 286 , 285 , 286 , 298 , 292设拉断力总体服从正态分布,问该日生产的铜丝的拉断力的方差是否合乎标准?(0.05α=).解:由已知有9n =,287.9x =, 4.51s =,220.36s =,0.05α=有假设 20:16H σ≤ 21:16H σ>取统计量222(1)820.3610.1816n S χσ-⨯==≈ 查表得 220.05(8)(8)15.507αχχ==,由于 22(8)αχχ<又因为 0H 的拒绝域是22(1)n αχχ>- 所以接受0H , 拒绝1H ,即认为是合乎标准的。

9.11 某厂使用两种不同的原料A,B 生产同一类型产品,各在一周内的产品中取样进行分析比较.取使用原料A 生产的产品的样品220件,测得平均重量 2.46A x kg =,样本的标准差0.57A s kg =;取使用原料B 生产的产品的样品205件,测得平均重量2.55B x kg =,样本的标准差0.48B s kg =.设两总体分别服从21(,),N μσ22(,),N μσ两样本独立.问使用原料A 与使用原料B 生产的产品的平均重量有无显着差别?(0.05α=)解:由已知得0.57A s =,220A n =, 2.46A x =,0.48B s =,205B n =, 2.55B x =,0.05α=有假设01212:-=0H 或 μμμμ= 11212:-0H 或 μμμμ≠≠故取统计量U 1.898X Y ==≈查表得0.02521.96z z α==, 其中2U 1.898 1.96z α≈<=0H 的拒绝域是2U z α>所以接受0H , 拒绝1H ,即平均重量无明显差异。

第十章课后习题答案10.1 设有3台机器生产规格相同的铝合金薄板.现从生产出的薄板中各取5块,测出厚度值,如下表设各测量值服从同方差的正态分布,试分析各机器生产的薄板厚度有无显着差异(0.05α=)?解: 原假设0123:H μμμ==对立假设1:i jH μμ≠3a = , 5i n = , 15n =0.12453T S = , 0.10533A S = , 0.01920E T A S S S =-= T S ,A S ,E S 的自由度分别为14 , 2 , 12 方差分析表为:方差来源 平方和 自由度 均方 F 比 因素A 0.10533 2 0.05267 32.92 误差E 0.01920 12 0.00160 总和T 0.12453 14由于0.05α=,查表得0.05(1,)(2,12) 3.89F a n a F α--== 又因为 0.0532.92 3.89(2,12)F F =>=故拒绝原假设0H ,接受1H ,说明薄板厚度有明显差异.10.4 设有一熟练工人,用4种不同的机器在6种不同的运转速度下生产同一种零件.各自记录1小时内生产的零件数,列在下表中.(小数点后的数是根据最后1个零件完成的程度定出的)设各水平搭配下产量总体服从同方差的正态分布,试分析机器、运转速度对产量有无显着影响(0.05α=)解:此题为双因素无交互作用的试验 原假设012340123456:0:0A B H H ααααββββββ==========对立假设11:0:0A i B j H i H j至少一个至少一个αβ≠≠这里有3a = 6b = 24ab =83.3383T S = , 16.3783A S = , 42.8083B S = , 24.1517E S = T S ,A S ,B S ,E S 的自由度分别为23,3,5,15 方差分析表为方差来源 平方和 自由度 均方 F 比 机器A 16.3783 3 5.45944 3.39 速度B 42.8083 5 8.56167 5.32 误差E 24.1517 15 1.61011 总和T 83.3383 23由于0.05α= , 查表得0.05(3,15) 3.29F = , 0.05(5,15) 2.9F =又因为 3.39 3.29A F =>, 5.32 2.9B F => 故不同的机器不同的运转速度对产量有显着影响.10.5 取3种不同的导弹系统,4种不同类型的推进器,对某种燃料进行燃烧试验.每种组合下重复试验2次,测得燃烧速度的数值表如下表设各水平搭配下燃烧速度总体服从同方差的正态分布,试分析导弹系统、推进器类型及它们的交互作用对然烧速度有无显着影响(0.05α=)?解:此题为双因素有交互作用的试验原假设 0123012340:0:0:01,2,31,2,3,4A B AB ij H H H i j αααββββγ==========备择假设 111:0:0:0A i B j AB ij H iH jH i j至少一个至少一个至少一对,αβγ≠≠≠这里有3a =, 4b =, 2n = , 24abn =91.6783T S =,14.5233A S =,40.0817B S =,22.1633A B S ⨯=,14.9100E S = T S ,A S ,B S ,A B S ⨯,E S 的自由度分别为23,2,3,6,12 方差分析表为方差来源 平方和 自由度 均方 F 比 因素A 14.5233 2 7.2617 5.84 因素B 40.0817 3 13.3606 10.75 交互作用 22.1633 6 3.6939 2.97 误差E 14.9100 12 1.2425 合计T 91.6783 23由已知0.05α=,查表得0.05(2,12) 3.89F =,0.05(3,12) 3.49F =,0.05(6,12) 3.00F =又因为 5.84 3.89A F =>,10.75 3.49B F =>, 2.973A B F ⨯=< 故导弹系统、推进器对燃烧速度有影响,交互作用无显着影响.第十一章课后习题答案11.1 一种物质吸附另一种物质的能力与温度有关.在不同温度下吸附的重量Y ,测得结果列于下表中.设对于给定x ,Y 为正态变量,方差与x 无关.试求吸附量Y 关于温度x 的一元回归方程.解: 其中9n =,由此得 3.36667x =,10.1222y =,2(1)8 1.637513.1xx x S n s =-=⨯=,2(1)814.3114.4yy y S n s =-=⨯=则 38.3867ˆ 2.930313.1xy xx S b S ===故y 关于温度x 的一元回归方程为ˆ0.2568 2.9303yx =+ 11.2 合成纤维抽丝工段第一导丝盘的速度是影响丝的质量的重要参数,今发现它和电流的周波有密切关系,生产中测量数据如下表设对周波x ,速度Y 是正态变量,方差与x 无关,求速度Y 关于周波x 的一元回归方程,并对回归方程进行显着性检验,求出050.5x =处y 的预报值0ˆy和预报区间(0.05α=).解: (1)其中10n =,由此得49.61x =,16.86y =,20.221x s =,20.027y s =2(1)90.221 1.989xx x S n s =-=⨯=,则 0.674ˆ0.33891.989xy xxS bS ==≈ ˆˆ0.0471ay bx =-= 故y 关于x 的一元回归方程为ˆ0.04710.3389yx =+(2)由于 1.989xx S =,ˆ0.3389b= 故22ˆ()(0.3389) 1.9890.2284xxS b S 回==⨯= yy S 的自由度为9,e Q 的自由度为8 故方差分析表为方差来源 平方和 自由度 均方 F 比 回 归 0.22839 1 0.22839 117.08 残差误差 0.01561 8 0.00195 合 计 0.24400 9由于0.05α=,0.05117.08 5.32(1,8)F F =>=,故回归效果显着(3)预设值00.04710.338950.517.16345y =+⨯=(4)由于0.025(8) 2.306t =,49.61x =,050.549.610.89x x -=-=20.0156ˆ0.019528e Q n σ===-,ˆ0.044σ=故0()(50.5) 2.3060.12419x δδ==⨯=所以预报区间为(17.16345-0.12419,17.6345+0.12419)即为(17.03926,17.28764)。

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