马尔科夫预测案例 一、 市场占有率的预测 例1：在北京地区销售鲜牛奶主要由三个厂家提供。分别用1，2，3表示。去年12月份对2000名消费者进行调查。购买厂家1，2和3产品的消费者分别为800，600和600。同时得到转移频率矩阵为：
3202402403601806036060180N
其中第一行表示，在12月份购买厂家1产品的800个消费者中，有320名消费者继续购买厂家1的 产品。转向购买厂家2和3产品的消费者都是240人。N的第二行与第三行的含义同第一行。 （1） 试对三个厂家1~7月份的市场占有率进行预测。 （2） 试求均衡状态时，各厂家的市场占有率。 解：（1）用800，600和600分别除以2000，得到去年12月份各厂家的市
场占有率，即初始分布0(0.4,0.3,0.3)p。 用800，600和600分别去除矩阵N的第一行、第二行和第三行的各元素，得状态转移矩阵：
0.40.30.30.60.30.10.60.10.3P
于是，第k月的绝对分布，或第 月的市场占有率为： 00()(1,2,3,,7)kkPpPkpP
1k时，10.40.30.30.40.30.30.60.30.10.520.240.240.60.10.3p 2k时，220.40.30.30.520.240.240.4960.2520.252pPP 3k时, 330.40.30.30.4960.2520.2520.50080.24960.2496pPP
类似的可以计算出4p，5p，6p和7p。 现将计算结果绘制成市场占有率变动表，如表所示：
月份（i） 三个厂家的市场占有率
1ip
2ip3ip1 0.52 0.24 0.24 2 0.496 0.252 0.252 3 0.5008 0.2496 0.2496 4 0.49984 0.25008 0.25008 5 0.500032 0.249984 0.249984 6 0.5 0.25 0.25 7 0.5 0.25 0.25
从表中可以看到，厂家1的市场占有率随时间的推移逐渐稳定在50%，而厂家2和厂家3的市场占有率随都逐渐稳定在25%.
由于转移概率矩阵P是正规矩阵，因此P有唯一的均衡点。由本例可知，0.50.250.25。由定理可知，0lim0.50.250.25kkpP，即随着
时间的推移，三个厂家的市场占有率逐渐趋于稳定。当市场达到均衡状态时，各厂家的市场占有率分别为50%、25%和25%。 由表可以看出，第三个月时，市场已经基本达到均衡状态，此时，各厂家的市场占有率与均衡状态时的市场占有率的误差已不足千分之一。
例2：飞跃、金星、凯歌、英雄电视机厂生产的电视机同时在某市销售，由于产品质量、价格、经营管理水平、服务态度、质量等因素影响，每月订户都有变化。根据8、9月份的变化，预测本年后三个月各厂家的用户占有率。 （1）调查目前的用户占有及变动情况 8月1日的订户到9月1日发生变化的情况 表7.5 8、9月各厂订户 厂 家 飞跃（Ⅰ） 金星（Ⅱ） 凯歌（Ⅲ） 英雄（Ⅳ） 8月份订户 9月1日失去订户 9月1日保留订户 9月1日订户保留率
545 65 480 88.1% 495 55 440 88.9% 417 52 365 87.5% 382 54 328 85.9%
7.6 8、9月各厂订户的变动 厂 家 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 8月用户占有数 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 480 24 18 15 30 440 20 25 20 16 365 14 15 15 14 328 545 495 417 382 9月用户占有数 537 515 415 372 1839
9月份四厂总用户为1839，各厂家的用户占有率分别为：0.292,0.280,0.226,0.202①初始状态向量 S(0)=（0.292 0.280 0.226 0.202） （2）计算用户转移概率 飞跃厂、金星厂同理可以计算得到凯歌厂。将以上计算结果写成矩阵就是8~9月的一步转移概率矩阵P （3）预测 若本年后三个月各月之间用户阵移概率不变，则可以采用（7.5）式的数学模型预测。 10月各厂的用户占有率为S(1)=S(0)·P 0.881 0.055 0.037 0.027 =（0.292 0.280 0.226 0.202） 0.049 0.889 0.032 0.030 0.043 0.048 0.875 0.034 0.039 0.065 0.037 0.859 =(0.289 0.289 0.225 0.197) 11月各厂用户占有率为 S(2)=S(1)·P
0.881 0.055 0.037 0.027 = (0.289 0.289 0.225 0.197) 0.049 0.889 0.032 0.030 0.043 0.048 0.875 0.034 0.039 0.065 0.037 0.859 =(0.286 0.297 0.224 0.193) 12月各厂用户占有率为 S(3)=S(2)·P= (0.286 0.297 0.224 0.193)·P =(0.284 0.303 0.223 0.190) 预测结果表明，如果各厂家占有用户的变化依上述规律进行，到该年底，原来用户占有率比较接近的四个厂家将产生很大差异。金星厂的用户占有率将明显高于其他厂，由9月份的第二位跃进居第一位，而英雄厂则大大低于其他厂。
二、 人力资源预测 例：某高校为编制师资发展规划，需要预测未来教师队伍的结构。现在对教师状况进行如下分类：青年，中年，老年和流退（流失或退休）。根据历史资料，各类教师（按一年为一期）的转移概率矩阵为：0.80.1500.0500.750.20.05000.80.20001P 目前青年教师400人，中年教师360人，老年教师300人。试分析3年后教师的结构以及为保持编制不变，3年内应进多少硕士和博士毕业生充实教师队伍。
解：设目前的教师结构为04003603000n，则一年后教师结构为：
1032033031298nnP，流退人员98人，为保持编制不变，第一年学校
需进98人，此时青年教师为320+98=418人。教师结构为：1
*4183303120n。
两年后教师结构为：21*4183303120334310316100nnPP 第二年流退100人，因此第二年需进100名硕士和博士毕业生，此时青年教师为334+100=434人。教师结构为2*4343103160n。
三年后教师结构为：32*4343103160347298315100nnPP 第三年流退100人，因此第三年需进100名硕士和博士毕业生，此时青年教师为347+100=447人，教师结构为3*4472983150n。 综上所述，3年内需进硕士和博士毕业生298名。三年后教师结构为：青年教师447人，中年教师298名，老年教师315名。
三、项目选址问题 例：某汽车修理公司在北京市有甲、乙、丙3个修理厂，由于公司注重对员工的技术培训，树立顾客至上、信誉第一的理念，采用先进管理模式，所以公司在本行业具有良好的形象，形成了一定规模的、稳定的客户群。对客户的调查显示，
客户在甲、乙、丙3个修理厂之间的转移概率为：0.80.200.200.80.20.20.6P 由于公司的原因，公司目前打算只对其中的一个维修厂进行改造，并扩大规模。试分析应选择那个维修厂。
解：由于20.680.320.320.160.200.160.160.480.52P的所有元素都大于0，所以P是正规矩阵。
因此P存在唯一的概率向量123。 解线性方程组：123(1)01TTP 即123123231230.20.20.200.20.200.80.401 得唯一解：111263 由此可以看出，长期趋势表明，当公司的客户在3个维修厂之间的转移达到均衡状态时，大约有50%的客户在甲厂维修，大约有16.67%的客户在乙厂维修，大约有33.33%的客户在丙厂维修，因此应选甲厂进行项目投资。
四、最佳经营策略选择 例：北京地区销售鲜牛奶是由3个厂家提供的，该地区客户总数为100万户，假设厂家从每个客户那里每年平均获利50元。厂家2的市场调查显示，状态转移概率矩阵为：
0.40.30.30.60.30.10.60.30.1P
均衡状态下市场占有率分别为50%，25%和25%,厂家2认为应采取积极的营销策略，提高市场占有率，为此设计了两套方案。 方案一旨在吸引老客户。方案一的实施需花费约450万元，实施方案后估计转移
概率矩阵为：10.40.30.30.30.700.60.10.3P 方案二希望吸引厂家1和厂家3的客户，方案的实施需花费大约400万元。实施方案后，估计转移概率矩阵为：20.30.50.20.60.30.10.40.50.1P试选择最佳方案。
解：方案一，显然21P的所有元素都大于0，所以1P为正规矩阵。故1P有唯一的固定点123(,,)。
解线性方程组：123(1)01TTP