(t
2
2)i
(t
3
/
6)
j
对(tt)求导d 得r(速t)度 方(2程t)i：
(
t
2
/
2)
j
dt
再对 t 求导得加速度方程：
d (t)
a(t)
(2)i (t) j
dt
24
大学物理学
(t
)
(2t
)i
(t
2
/
2)
j
第一章 质点运动学
a(t) (2)i (t) j
t
=2s
时的速度和角位移：s rq
速率与角速度： d s r
dt
加速度与角加速度： at
d
dt
r
an
2
r
r2
41
大学物理学
第一章 质点运动学
例1.7 一细杆可绕通过其一端的水平轴在竖直
平面内转动。当杆与水平线夹角为θ时，
杆上任意一点的角加速度为 3g cosq
，l为杆长。试求：
2l
z
一般情况下，s r
当Δt
→
0
时，
d
s
d
r
14
大学物理学
三、速度
第一章 质点运动学
1.平均速r度
r2
r1
t t2 t1
方向同位矢增量
r
一致
A
y
r
r1 O
B
r2
x
大小：
r
z
t
描述质点一段时间 Δt 内
位置变化的快慢及方向
15
大学物理学
2. 瞬时速度（速度）
lim
r d r
平均速度； ⑶ t = 2 s时的速度。
解： ⑴
x y
t t2
4
2
2
消去 t
轨道方程：
( x 2)2
y
2
4
位矢：
r(t)
xi
y
t2
j (t 2) i (
2) j
4
18
大学物理学
第一章 质点运动学
y(m)
⑵
t
=
0
时 ，
r0 2 i 2 j
t=
4
s
时 ，
r4 6 i 6 j
意 态的物理量。
是描述运动过程的物
义
理量。
决 与坐标原点的选取有 与坐标原点无关，但
定 关。
与参考系有关。
因
素
13
大学物理学
第一章 质点运动学
★位移与路程的区别
位移
r
是矢量。反映
在Δt 时间内，质点位
A
s
y
B
置的变化，不关心中间
r
过程。
路程 s是标量。反映
O
x
在Δt 时间内，质点实 际走过的轨道长度。
D太地≈1.5×108 km
R地≈6.4×103 km
地球能否看成质点？ 公转 √
自转 ×
6
大学物理学
第一章 质点运动学
1.2 质点运动的描述
一、位置矢量 运动方程
1. 位置矢量（位矢）
在 直角坐 标系Oxyz
中，
r xi y jzk
y P ( x, y, z )
r
O
x
位矢的大小
r r
x2 y2 z2
速率 d s r d q r
q
dt dt
q
角加速度 d
dt
O
rx
36
大学物理学
第一章 质点运动学
匀速率圆周运动
匀变速率圆周运动
0
常量
常量 q q0 t
匀变速率直线运动
0 t
q
q0
0
t
1
2
t2
2 02 2q q0
a 常量
0 a t
x
x0
0
t
1 2
a
始条件，求速度或运动方程。
a(t), 0
(t), r0
积分 积分
t
(t) 0
a(t)d t
0
t
r (t) r0
(t)d t
0
26
大学物理学
第一章 质点运动学
例 1.3 已知质点的运动方程为
r(t) (Rcos t)i (Rsin t) j
， 其中R 、
ω为常数。求： ⑴ 质点运动的轨道方程；
0
0
0
得： 0ek t
y 33
大学物理学
第一章 质点运动学
由
y
dy dt
d y d t (0ek t ) d t
两边积分：
y
d y
0
t 0
( 0e k
t
)
d
t
得：
y 0 (1 ek t )
k
υ 0
0ekt
y
0
k
y 0 (1 ek t )
k
O 1k
t O 1k
t 34
得：
x
x0
0
t
1 2
a
t2
30
大学物理学
第一章 质点运动学
例1.5
质点在X-Y平面内以初速度
0
作斜上抛
解运运：动动质，方点程的0。与加水速平度方为向a的 夹角g为j θ。y求r：0 质a q点0的
由
d a d t
t
两边积分： d a d t
（
O a
x 为常矢量）
得：
0
0 a
t
0 g t j
⑴ 杆自静止由θ0=π/6 开始
转至θ=π/3 时，杆上任意
x2
y
第一章 质点运动学
x
10
大学物理学
第一章 质点运动学
二、位移
质点在 Δt = t2 – t1 时间间 隔内，位矢改变了
r r2 r1
在直角坐标系中，
r1
A
r (t1)
y
r r1 O
r x i y j z k
z
r2 r (t2 )
B
r2
x
其中 x x2 x1 ...... 描述质点一段时间
y
z
( x, y, z )
O
第一章 质点运动学
以篮板为 参考系， 并以篮板 左下角为 坐标原点 建立直角 坐标系。
x 直角坐标系
4
大学物理学
(ρ,θ) ρθ
O
x
第一章 质点运动学
(s)
s
O
平面极坐标系
自然坐标系
还有球坐标系、柱坐标系等。
5
大学物理学
第一章 质点运动学
二、质点
——只有质量而没有大小和形状的几何点
t2
2 02 2ax x0
37
大学物理学
第一章 质点运动学
二、圆周运动的自然坐标描述
1. 自然坐标系
et
沿质点的运动轨道建立 et
的坐标系。
质点的位置 s ：
en en
s O
切用向质单点位到矢坐量标et原：点O的轨迹的长度来表示。 沿质点所在点 的轨道切线方向。
法向单位矢量 en ：
垂直于在同一点的切向单位矢量而指向曲线
位移：
r r4 r0
1
x y
t t2
4
2
2
r
r4
r0
4i 4 j
平均速度：
O r
1
i
j
x(m)
t
19
大学物理学
⑶ 运动方程对
y(m)
时间(t求) 导d：r(t )
dt
i
t
j
2
t = 2 s 时，
1
2 i j
O
第一章 质点运动学
x y
t t2
4
2
2
r
2
1
第一章 质点运动学
1 y2
q a
O
x
z
<90°速率增大
q =90°速率不变 描述质点某一瞬时速度变
化趋势的快慢及方向 >90°速率减小
22
大学物理学
第一章 质点运动学
由速度方程对时间求导即可得加速度方程。
a(t
)
d
(t
)
dt
a
dx
i
dy
j
dz
k
d t d t d t
3.
加速度的大小
en
en
r
en
39
大学物理学
d
a
dt
d
d t et
d et
dt
第一章 质点运动学
d 2
d t et r en
切向加速度
at
d
dt
et
描述速度大小变化
法向加速度
an
2
r
en
a at an
描述速度方向变化
a
at2 an2
d
dt
2
2
r
2
40
大学物理学
4. 线量与角量的关系
大学物理学
第一章 质点运动学
1.3 圆周运动 一、圆周运动的角量描述
1. 平面极坐标系与直角坐标系
y
x r cosq
y
r
sinq
r
q
O
x
35
大学物理学
2. 圆周运动的角量描述
第一章 质点运动学
角位置 q q (t ) 角位移 q q2 q1