1-3．一粒子按规律32395x =t -t -t +沿x 轴运动，试分别求出该粒子沿x 轴正向运动；沿x 轴负向运动；加速运动；减速运动的时间间隔。

[解] 由运动方程59323+--=t t t x 可得质点的速度()()133963d d 2x +-=--==t t t t txv (1) 粒子的加速度 ()16d d -==t tva (2)由式(1)可看出 当t >3s 时，v >0，粒子沿x 轴正向运动； 当t <3s 时，v <0，粒子沿x 轴负向运动。

由式(2)可看出 当t >1s 时，a >0，粒子的加速度沿x 轴正方向； 当t <1s 时，a <0，粒子的加速度沿x 轴负方向。

因为粒子的加速度与速度同方向时，粒子加速运动，反向时，减速运动，所以，当t >3s 或0<t <1s 间隔内粒子加速运动，在1s<t <3s 间隔内粒子减速运动。

1-4．一质点的运动学方程为2x t =，()21y t =-(m)。

试求：(1)质点的轨迹方程；(2)在2t =s 时，质点的速度和加速度。

[解] (1) 由质点的运动方程 2t x = (1)()21-=t y (2)消去参数t ，可得质点的轨迹方程2)1(-=x y(2) 由(1)、(2)对时间t 求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度 t t x v 2d d x ==()12d d y -==t tyv 所以 ()j i j i v 122y x -+=+=t t v v (3)2d d 22x ==t x a 2d d 22y ==tya 所以 j i a 22+= (4)把t =2s 代入式(3)、(4)，可得该时刻质点的速度和加速度。

j i v 24+= j i a 22+=1-5．质点的运动学方程为t A x ωsin =，t B y ωcos =，其中A 、B 、ω为正常数，质点的轨道为一椭圆。

试证明质点的加速度矢量恒指向椭圆的中心。

[证明] 由质点的运动方程 t A x ωs i n = (1)t B y ωc o s = (2)对时间t 求二阶导数，得质点的加速度 t A t x a ωωsin d d 222x -== t B tya ωωcos d d 222y -== 所以加速度矢量为 ()r j i a 22cos sin ωωωω-=+-=t B t A可得加速度矢量恒指向原点——椭圆中心。

1-6．质点的运动学方程为()j i r 222t t -+= (m)，试求： (1) 质点的轨道方程；(2) 2s =t 时质点的速度和加速度。

[解] (1) 由质点的运动方程，可得 t x 2= 22t y -=消去参数t ，可得轨道方程2412x y -= (2) 由速度、加速度定义式，有j i r v t t 22d /d -==j r a 2d /d 22-==t将t=2s 代入上两式，得j i v 42-= j a 2-=1-7．已知质点的运动学方程为cos x r t ω=，t r y ωsin =，z =ct ，其中r 、ω、c 均为常量。

试求：(1)质点作什么运动? (2)其速度和加速度； (3)运动学方程的矢量式。

[解] (1) 质点的运动方程 t r x ωc o s = (1)t r y ωsin = (2)ct z = (3)由(1)、(2)消去参数t 得 222r y x =+此方程表示以原点为圆心以r 为半径的圆，即质点的轨迹在xoy 平面上的投影为圆。

由式(2)可以看出，质点以速率c 沿z 轴匀速运动。

综上可知，质点绕z 轴作螺旋运动。

(2) 由式(1)、(2)、(3)两边对时间t 求导数可得质点的速度t r t xv ωωsin d d x -==t r t y v ωωcos d d y ==c t z v ==d d z所以 k j i k j i v c t r t r v v v ++-=++=ωωωωcos sin z y x 由式(1)、(2)、(3)两边对时间求二阶导数，可得质点的加速度tr t xa ωωcos d d 222x -==t r ty a ωωsin d d 222y -==0z =a所以 j i k j i a t r t r a a a ωωωωsin cos 22z y x --=++= (3) 由式(1)、(2)、(3)得运动方程的矢量式k j i k j i r ct t r t r z y x ++=++=ωωsin cos1-8．质点沿x 轴运动，已知228t v +=，当8=t s 时，质点在原点左边52m 处(向右为x 轴正向)。

试求：(1)质点的加速度和运动学方程； (2)质点的初速度和初位置； (3)分析质点的运动性质。

[解] (1) 质点的加速度 t t v a 4/d d ==又 t x v /d d = 所以 t v x d d = 对上式两边积分，得⎰⎰⎰+==t t t v x d )28(d d 2所以 c t t x ++=3)3/2(8由题知 528328838-=+⨯+⨯==c xt m 所以 c = 31457m因而质点的运动方程为 332831457t t x ++-=(2) m/s 802820=⨯+=vm 314570-=x(3) 质点沿x 轴正方向作变加速直线运动，初速度为8m ⋅s -1，初位置为-45731m. 1-9．一物体沿x 轴运动，其加速度与位置的关系为x a 62+=，且物体在0x =处的速度为10m ⋅s -1。

求物体的速度与位置的关系。

[解] xvvt x x v t v a d d d d d d d d ===x a v v d d =对上式两边积分得 ()⎰⎰⎰+==xxvx x x a v v 010d 62d d2221(10)=232v x x -+ 得 100462++=x x v1-10．在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为Bv g a -=，其中g 为重力加速度，B 为与物体的质量、形状及媒质有关的常数，并设0=t 时物体的初速度为零。

试求： (1)物体的速度随时间变化的关系式；(2)当加速度为零时的速度(称为收尾速度)值。

[解] (1) 由t v a /d d =得t Bvg vd d =-两边积分，得⎰⎰=-t Bvg vd d即 c Bt Bv g ln )ln(+-=- 由t =0时v =0 得c=g所以，物体的速率随时间变化的关系为：)1(Bt e Bgv --=(2) 当a =0时 有 a =g-Bv =0 （或以∞=t 代入） 由此得收尾速率v=g/B1-11．一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动，其加速ky a -=，其中k 为常数，y 是离开平衡位置的坐标值，并设0y 处物体的速度为0v ，试求速度v 与y 的函数关系。

[解] 由 yv v t y y v t v a d d d d d d d d ===y a v v d d =对上式两边积分⎰⎰⎰-==yy y y vvd d d y ky y a v v即()()2022022121y y k v v --=- 故速度v 与y 的函数关系为()220202y y k v v -+=1-12．一艘正以速率0v 匀速行驶的舰艇，在发动机关闭之后匀减速行驶。

其加速度的大小与速度的平方成正比，即2a kv =-，其中k 为正常数。

试求舰艇在关闭发动机后行驶x 距离时速度的大小。

[解] xvvt x x v t v a d d d d d d d d ===v avx d d =对上式两边积分⎰⎰⎰-==v v v v x kv v v a v x 00d d d 0化简得ln 1v v k x -= 所以kx e v v -=01-13．一粒子沿抛物线轨道2y x =运动，且知x v =-13m s ⋅。

试求粒子在2m 3x =处的速度和加速度。

[解] 由粒子的轨道方程 2x y = 对时间t 求导数 x y 2d d 2d d xv txx t y v ===(1) 再对时间t 求导数，并考虑到x v 是恒量2xy 2d d v tv a ==(2) 把32=x m 代入式(1)得 s m 43322y =⨯⨯=v所以，粒子在32=x m 处的速度为 -1222x 2x s m 543⋅=+=+=v v v与x 轴正方向之间的夹角85334arctg arctgx y'=== v v θ 由式(2)得粒子在32=x m 处的加速度为 -22s m 1832⋅=⨯=a加速度方向沿y 轴的正方向。

1-14．一物体作斜抛运动，抛射角为α，初速度为0v ，轨迹为一抛物线(习题1-14图)。

试分别求抛物线顶点A 及下落点B 处的曲率半径。

[解] 物体在A 点的速度设为A v ，法向加速度为nA a ，曲率半径为A ρ，由题图显然有αcos 0A v v = (1)习题1-14图ynA a =g (2)A n A2Aa v =ρ (3)联立上述三式得 gv αρ220A c o s =物体在B 点的速度设为B v ，法向加速度为nB a ，曲率半径为B ρ，由题图显然有0B v v = (4) αcos nB g a = (5)nB B2Ba v =ρ (6)联立上述三式得 αρcos 20B g v =1-15．一物体作如习题1-15图所示的抛体运动，测得轨道点A 处的速度大小为v ，其方向与水平线的夹角为30︒，试求点A 的切向加速度和该处的曲率半径。

[解] 设A 点处物体的切向加速度为t a ，法向加速度为n a ，曲率半径为ρ，则 n t a a g +=由图知 g g a 5.030sin 0t -=-= 2/330cos 0n g g a ==又 n 2a v =ρ 所以 g v g v a v 3322/322n 2===ρ 1-16．在一个转动的齿轮上，一个齿尖P 沿半径为R 的圆周运动，其路程随时间的变化规律为2012s v t bt =+，其中0v 和b 都是正常量。

试求t 时刻齿尖P 的速度及加速度的大小。

[解] 设时刻t 齿尖P 的速率为v ， 切向加速度t a ，法向加速度n a ，则Rbt v R v a bt v a bt v t s v /)(/d /d d /d 202n t 0+====+==所以，t 时刻齿尖P 的加速度为习题1-15图y24022n 2t /)(R bt v b a a a ++=+=1-17．火车在曲率半径400m =R 的圆弧轨道上行驶，已知火车的切向加速度-20.2m s t a =⋅，求火车的瞬时速率为-110m s ⋅时的法向加速度和加速度。