研究生课程实验报告课程名称：线性系统实验名称：平面二级倒立摆实验班级：12S0441学号：12S104057姓名：白俊林实验时间：2012 年12 月21 日控制科学与工程教学实验中心1.实验目的1)熟悉Matlab/Simulink仿真；2)掌握LQR控制器设计和调节；3)理解控制理论在实际中的应用。

倒立摆研究的意义是，作为一个实验装置，它形象直观，简单，而且参数和形状易于改变；但它又是一个高阶次、多变量、非线性、强耦合、不确定的绝对不稳定系统的被控系统，必须采用十分有效的控制手段才能使之稳定。

因此，许多新的控制理论，都通过倒立摆试验对理论加以实物验证，然后在应用到实际工程中去。

因此，倒立摆成为控制理论中经久不衰的研究课题，是验证各种控制算法的一个优秀平台，故通过设计倒立摆的控制器，可以对控制学科中的控制理论有一个学习和实践机会。

2.实验内容1）建立直线二级倒立摆数学模型对直线二级倒立摆进行数学建模，并将非线性数学模型在一定条件下化简成线性数学模型。

对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建立模型存在一定的困难，但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。

对于直线二级倒立摆，由于其复杂程度，在这里利用拉格朗日方程推导运动学方程。

由于模型的动力学方程中存在三角函数，因此方程是非线性的，通过小角度线性化处理，将动力学非线性方程变成线性方程，便于后续的工作的进行。

2）系统的MATLAB仿真依据建立的数学模型，通过MATLAB仿真得出系统的开环特性，采取相应的控制策略，设计控制器，再加入到系统的闭环中，验证控制器的作用，并进一步调试。

控制系统设计过程中需要分析内容主要包括得出原未加控制器时系统的极点分布，系统的能观性，能控性。

3）LQR控制器设计与调节实验利用线性二次型最优（LQR）调节器MATLAB仿真设计的参数结果对平面二阶倒立摆进行实际控制实验，参数微调得到较好的控制效果，记录实验曲线。

4）改变控制对象的模型参数实验调整摆杆位置，将摆杆1朝下，摆杆2朝上修改模型参数、起摆条件和控制参数，重复3的内容。

3.实验步骤1）倒立摆系统模型在忽略了空气流动，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车、匀质杆和质量块组成的系统，如图1所示。

图1 直线两级倒立摆物理模型下面利用拉格朗日方程推导运动学方程 。

拉格朗日方程为： ()()(),,,L q q T q q V q q =-&&&(1)i d L Lf dt qq δδδδ-=& (2)123M m m m T T T T T =+++(3) 111m mm T T T '''=+ (4) 222m mm T T T '''=+ (5)212M T Mx =& (6)()()2211111122211111111sin sin 1211cos 22m d x l d l T m dt dt m x m l x m l θθθθθ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫ ⎪'=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+&&&& (7)222221111111111112236mp T J m l m l ωθθ⎛⎫''=== ⎪⎝⎭(8)则'''2221111111111112cos 23m m m T T T m x m l x m l θθθ=+=-+&&&&(9)同样可以求出()()22'112211222222221112222111222(2sin sin (2cos cos )1122112cos cos 2sin sin 22m d x l l d l l Tm m dt dt m x l l m l l θθθθθθθθθθθθ--+⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--++&&&&&(10)''2222222222222211112236m T J m l m l ωωθ⎛⎫=== ⎪⎝⎭& (11)()()()'''22222111222222221122121221122cos cos 21444cos 23m m m T T T m x x l l m l l l l θθθθθθθθθθ=+=-+⎛⎫+++- ⎪⎝⎭&&&&&&&& (12)2211113322233111311(2sin )(2cos )1212cos 22m d x l d l T m dt dt m x m l x m l θθθθθ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+&&&& (13)因此，可以得到系统的总动能为：()()()1232222111111112211122222222112212122122233111311112cos 223122cos cos 21444cos 2312cos 22M m m m T T T T T Mx m x m l x m l m x x l l m l l l l m x m l x m l θθθθθθθθθθθθθθθθ=+++=+-++-+⎛⎫+++- ⎪⎝⎭+-+&&&&&&&&&&&&&&&&& (14)系统的总势能为：()12311131121122cos 2cos 2cos cos m m m V V V V m gl m gl m g l l θθθθ=++=+++ (15)从而拉格朗日算子：()()()2222111111112211122222222112212122122233111311111311211112cos 223122cos cos 21444cos 2312cos 2cos 22cos 2cos L T VMx m x m l x m l m x x l l m l l l l m x m l x m l m gl m gl m g l θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ=-=+-++-+⎛⎫+++- ⎪⎝⎭+-+---&&&&&&&&&&&&&&&&&()22cos l θ+(16)由于因为在广义坐标 21,θθ上均无外力作用，有以下等式成立：110d L Ldt θθ⎛⎫∂∂-= ⎪∂∂⎝⎭& (17)220d L Ldt θθ⎛⎫∂∂-= ⎪∂∂⎝⎭& (18)展开（17），（18）式，分别得到（19），（20）式2222121231122221123116sin()4(3())3(2cos()(2())(sin cos ))0m l m m m l m l m m m g x θθθθθθθθθ-+++---++++=&&&&&&&(19)22111222112123sin 6sin()46cos()3cos 0g l l l x θθθθθθθθθ---++--=&&&&&&&(20)将（19），（20）式对21,θθ&&&&求解代数方程，得到以下两式111213122122221121212212211213121222112321(3(2sin 4sin 4sin 3cos()sin 6cos()sin()4sin()2cos 4cos 4cos 3cos()cos ))/(2(412129cos (gm gm m g m g m l m l m x m x m x m x l m m m m θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ=---+-+--+----+----+-&&&&&&&&&&&&2)))θ(21)22221231221112222212122221212311222222212312212124((3())(3sin 6sin()3cos )92cos()(6sin()3(2())(sin cos )))/316((3())4cos ())9m m m m l l g l x m l l m l m m m g x m m m m l l m l l θθθθθθθθθθθθθθθ=--++----+---+++-+++-&&&&&&&&(22)表示成以下形式：111212(,,,,,,)f x x x θθθθθ=&&&&&&& (23)221212(,,,,,,)f x x x θθθθθ=&&&&&&&(24)取平衡位置时各变量的初值为零，1212(,,,,,,)(0,0,0,0,0,0,0)0A x x x θθθθ===&&&&&(25)将（23）式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令:11100A f K x=∂==∂ (26)1231120112313(244)2(4312)A gm gm gm f K m m m l θ=---∂==∂---(27)121302123192(4312)A f m gK m m m l θ=∂==∂---(28)11400A f K x=∂==∂& (29)115010A f K θ=∂==∂& (30)116020A f K θ=∂==∂&(31)123117012313(24)2(4312)A m m m f K xm m m l =---∂==∂---&& (32)带入（21）式，得到线性化之后的公式112113217K K K x θθθ=++&&&&(33)将（24）式在平衡位置进行泰勒级数展开，并线性化，令22100A f K x=∂==∂ (34)123222012212322(2())164(3())9A g m m m f K m l m m m l θ=++∂==∂-++(35)123223022212324(3())163(4(3()))9A g m m m f K m l m m m l θ=++∂==-∂-++(36)22400A f K x=∂==∂& (37)225010A f K θ=∂==∂& (38)226020A f K θ=∂==∂&(39)123123227022123242(2())(3()3164(3())9A m m m m m m f K xm l m m m l =++-++∂==∂-++&& (40) 带入（22）式，得到222123227K K K x θθθ=++&&&&(41)即：112113217K K K x θθθ=++&&&& (42)222123227K K K x θθθ=++&&&&(43)现在得到了两个线性微分方程，由于我们采用加速度作为输入，因此还需加上一个方程u x =&& (44)取状态变量如下：1213245162x x x x x x x x θθθθ=⎧⎪=⎪⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎪=⎪⎩&&&(45) 由（33），（41），（42）式得到状态空间方程如下：112233445121351762223627000100000001000000010000000100000000x x x x x x u x x x K K x K x K K x K ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&&&&&(46) 其中直线两级倒立摆系统参数为：M 小车质量 2.32kg1m 摆杆1质量 0.04kg2m 摆杆2质量 0.132kg3m 质量块质量 0.208kg1θ 摆杆1与垂直向上方向的夹角2θ 摆杆2与垂直向上方向的夹角1l 摆杆1到转动中心质心的距离 0.09m2l 摆杆1到转动中心质心的距离 0.27mF 作用在系统上的外力由以上方程，将以下参数代入12312 1.320.040.1320.2089.80.090.27M m m m g l l =⎧⎪=⎪⎪=⎪=⎨⎪=⎪=⎪⎪=⎩(47) 求出各个K 值：12221323172777.0642-38.5321-21.192737.81865.7012-0.0728K K K K K K ======(48) 得到状态矩阵为：A =0 0 0 1.00000 00 0 0 01.0000 00 0 0 00 1.00000 0 0 00 86.6907 -21.6172 0 0 00 -40.3112 39.4500 0 0 0B =1.00006.6402-0.0877C =1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1D=[0 0 0 0 0 0]'2）根据建模结果仔细计算并寻找合适的理论控制器参数。