函数的单调性
一、考纲要求：
函数的基本性质B
二、复习目标：
1.理解函数的单调性
2.能判断或证明函数的单调性
三、重点难点：
判断或证明函数的单调性
四、要点梳理：
函数单调性的定义：设函数()f x 的定义域为A ，区间I A ⊆，
如果对于区间I 上的任意两个值12,x x ，当__________时，都有_____________，称()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的增区间
如果对于区间I 上的任意两个值12,x x ，当__________时，都有_____________，称()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的减区间
五、基础自测：
1．（必修1第37页第7题）判断下列说法是否正确：
（1）若定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 是R 上的单调增函数；
（2）若定义在R 上的函数()f x 满足(2)(1)f f >，则函数()f x 在R 上不是单调减函数；
（3）若定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调增函数，在区间[0,)+∞上是单调增函数，则函数()f x 在R 上是单调增函数；
（4）若定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调增函数，在区间(0,)+∞上是单调增函数，则函数()f x 在R 上是单调增函数．
2、下列函数 （1）2()(1)f x x =- （2）()x f x e = （3）()ln(1)f x x =+ （4） 111y x =-
- （5）||y x x =在(,0)x ∈-∞是减函数的序号是_________________
4．(1) 函数32()15336f x x x x =--+的单调递增区间为 ．
(2) 函数20.7log (32)y x x =-+的单调减区间是____________________
5、若2()2f x x a x =-+与1()2
ax g x x +=
+在区间(2,)-+∞上是减函数，则a 的取值范围是_______________ 六、典例精讲:
例1 （1）判断函数()
f x =
（2）判断函数1()ln
1x f x x
-=+的单调性，并证明你的结论．
例2（1）若函数2()(1)2(1)1f x x x λλ=-++-+在区间[1,1]-是增函数，求实数λ的范围．
（2）函数9()log (8)a f x x x =+-在[)1,+∞是增函数，求a 的取值范围
例3．已知函数()f x 对任意x ，y ∈R ，总有()()()f x f y f x y +=+，且当0x >时，()0f x <， ，求证：()f x 是R 上的减函数．
变式：已知()f x 是定义在[]1,1-的奇函数，且(1)1f =，当[],1,1
a b ∈-时，0a b +≠时，有
()()0f a f b a b
+>+，判断()f x 在[]1,1-上是增函数还是减函数，并证明你的结论
七、反思感悟：
1、判断函数单调性的常见方法：（1）图像法 （2）定义法 （3）导数法
2、复合函数单调性的判断：同增异减法
八、千思百练：
1．函数1()f x x x
=-的单调增区间为 ． 2、设函数()f x 是减函数，且()0f x >，下列函数中为增函数的是_________ (1)1
()y f x =- (2)12log ()
y f x = (3)()2f x y = (4)[]2
()y f x = (5)32()y x f x =-
3．函数()f x 是R 上的减函数，a ∈R ，记2()m f a =，(1)n f a =-，则m ，n 的大小关系是 ．
4、（必修1第37页第7题）函数21()21
x x f x -=+的单调区间是_______________________ 5、（必修1第55页第12题）对于任意的12,,x x R ∈若函数1
()()2x
f x =，则 1212()()()22
f x f x x x f ++与的大小关系是__________________ 6．函数(31)4,1,()lo
g ,1a
a x a x f x x x -+<⎧=⎨⎩≥是R 上的减函数，那么a 的取值范围是 ． 7、若函数[]()log (2)01a f x ax =-在，上是减函数，则a 的取值范围是 ．
8、已知函数11()(0)f x a a x
=
->． （1）用函数的单调性定义证明()f x 在(0,)+∞上是单调增函数； （2）若()f x 的定义域、值域都是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，求实数a 的值．
9、已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且对任意的正实数,x y ，都有()()(),1()0,(4)1f xy f x f y x f x f =+>>=又当时，
（1）求1(1),()16
f f （2）求证：函数()f x 在(0,)+∞上是单调增函数 (3) 解不等式：()(3)1f x f x +-≤
10*、已知函数2
()2
x f x x =-（2x R x ∈≠且） （1）求()f x 的单调区间 （2）若函数2()2g x x ax =-与函数()f x 在[]0,1x ∈上有相同的值域，求a 的值 （3）设1a ≥，函数[]32
()35,0,1h x x a x a x =-+∈，若对于任意[]0,1x ∈，总存在[]00,1x ∈，使得0()()h x f x =成立，求a 的取值范围。