函数的单调性导学案
学习目标
1．理解函数单调性概念；
2．掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性；
3．提高观察、抽象的能力．
学习重点
1．理解函数单调性概念；
2．掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性。
学习难点
掌握判断函数单调性的方法，会证明一些简单函数在某个区间上的单调性学习导航
一．学习探究
1.作出一次函数f(x)=x和二次函数f(x)=x2的图像并观察，说说当x增大时图像的升降情况。
(1)f(x)=x的图像
(2)f(x)=x2的图像在y轴的左侧，在y轴的右
侧。
(3)图像的“上升”“下降”反映了函数的一个基本性质：。
2.以二次函数f(x)=x2为例，结合其图像和下表，发现：
（1）函数f(x)=x2的图像在y轴左侧是，即在区间（-∞，0）上，随着x的增大，相应的f(x)反而。
可以描述为：在区间（-∞，0）
上，任取两个x
1,x
2
，得到f(x
1
)=x
1
2,f(x
2
)=x
2
2,当x
1
＜x
2
时，总有。
这
时就说函数f(x)=x2在区间（-∞，0）上是函数。
（2）函数f(x)=x2的图像在y轴右侧是，即在区间（0，+∞）上，随着x的增大，相应的f(x)也随着。
可以描述为：在区间（0，+∞）
上，任取两个x
1,x
2
，得到f(x
1
)=x
1
2,f(x
2
)=x
2
2,当x
1
＜x
2
时，总有。
这时
就说函数f(x)=x2在区间（0，+∞）上是函数。
二．基本概念
1．单调增函数的定义（如图④）：
单调减函数的定义（如图⑤）:
3.单调区间:
注意：⑴“任意”、“都有”等关键词；
⑵. 单调性、单调区间是有区别的；
④ ⑤
三．典例分析
例1. 右图是定义在[-3,7]上的函数y=f(x), 根据图像说出函数的单调区间，以及在每一 个单调区间上，它是增函数还是减函数？
⑥
例2. 物理学中的玻意耳定律为正常数k V
k
p (
）告诉我们，对于一定量的的气体，当体积V 减小时，压强p 将增大，试用函数的单调性证明之。
证明函数在某区间上单调的方法和步骤：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 例3.下列说法正确的是（ ）
A ．定义在),(b a 上的函数)(x f ，若存在21x x <时，有)()(21x f x f <，那么)(x f 在
),(b a 上是增函数
B ．定义在),(b a 上的函数)(x f ,若有无穷多对21,x x ∈),(b a 使得21x x <时，有
)()(21x f x f <，那么)(x f 在),(b a 上是增函数
C.若函数)(x f 在区间1I 上是增函数，在区间2I 上是增函数,那么)(x f 在2
1I I ⋃上也一定为增函数
D ．若函数)(x f 在区间I 上是增函数且)()(21x f x f <（21,x x ∈I ），那么21x x < 例4.画出反比例函数x
y 1
=
的图像。
（1）求函数的定义域.I （2）它在定义域I 上的单调性是怎样的？证明你的结论。
四、反馈训练:
1.设)(x f 是定义在[- 6,11]上的函数。
如果)(x f 在区间[- 6,-2]上递减，在区间[- 2,11]上递增，画出)(x f 的一个大致图像，从图像上可以发现)2(-f 是函数
)(x f 的一个 。
2.画出下列函数的图像，并根据图像说出函数)(x f y =的单调区间，以及在各单调区间上
函数)(x f y =是增函数还是减函数。
（1）652--=x x y （2）29x y -=
3．探究一次函数)(R x b mx y ∈+=的单调性，并证明你的结论。
4.证明：函数1)(2+=x x f 在)0,(-∞上是减函数。
5.课本第38页第1，2，3题。
五、课外作业
1、证明函数x x f 1
1)(-=在)0,(-∞上是增函数。
2、讨论函数21)(++=x ax x f )21
(≠a 在),2(+∞-上的单调性.
六、课堂小结 知识： 方法：
七、学习评价
※自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ） A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
八、课后反思 答案：
讨论函数21)(++=
x ax x f )21
(≠a 在),2(+∞-上的单调性. 解：1
()2ax f x x +=+
2122
1212ax a a
x a x ++-=
+-=+
+
设122x x -<<，则
2121(2)(2)0,0x x x x -->->
∴21()()f x f x -
211221121222
()
(12)
(2)(2)
a a
x x x x a x x --=
-
---=---
∵
1221()
0(2)(2)
x x x x -<--
当12a <
时，21()()f x f x <，此时函数21)(++=x ax x f )21(≠a 在),2(+∞-上是单调减函数； 当12a >时，21()()f x f x >，此时函数21)(++=x ax x f )2
1(≠a 在),2(+∞-上是单调增函数。