不等式的基本知识 1（一）不等式与不等关系 21、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质： 3(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>, 4 (3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>,(同向可加) 5 (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0, 6 bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(同向同正可乘) 7 (5) 倒数法则：ba ab b a 110,<⇒>> 8 (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且9 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 102、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号11——结论） 123、应用不等式性质证明不等式 13（二）解不等式 141、一元二次不等式的解法 15一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：16 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，17 ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 180>∆ 0=∆ 0<∆二次函数c bx ax y ++=2 （0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2一元二次方程 ()的根002>=++a c bx ax 有两相异实根)(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R的解集)0(02><++a c bx ax {}21x x x x << ∅ ∅2、简单的一元高次不等式的解法： 19标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次20项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通21过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，22写出不等式的解集。

()()()如：x x x +--<11202323243、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分25并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求26解。

解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

27 ()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ 284、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最29值问题 30若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >31 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <3233 （三）线性规划34 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域35 二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有36 点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）37 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法38 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，39 所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从40 Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C 41≠0时，常把原点作为此特殊点）423、线性规划的有关概念： 43①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约44束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． 45②线性目标函数： 46关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析47式，叫线性目标函数． 48③线性规划问题： 49一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线50性规划问题． 51④可行解、可行域和最优解： 52满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 53由所有可行解组成的集合叫做可行域． 54使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 554、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： 56（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； 57（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； 58（3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标59函数的最优解 60 （四）基本不等式2a b ab +≤ 611．若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.622．如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a 63 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号. 64 3．如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;65 如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S . 66注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数67的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最68大”． 69（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 70714.常用不等式有：（12222211a b a b ab a b++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运72 算结构选用) ；（2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，73取等号）；（3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m+<+（糖水的浓度问题）。

7475不等式主要题型讲解 76（一） 不等式与不等关系 77题型一：不等式的性质 781. 对于实数c b a ,,中，给出下列命题： 79 ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22；80③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 11,0<<<则若； 81 ⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； 82 ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11,a b a b >>若，则0,0a b ><。

83其中正确的命题是______ 84题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式） 858687（二） 解不等式 88题型三：解不等式89 2. 解不等式 9091929394953. 解不等式2(1)(2)0x x -+≥。

969798991001014. 解不等式25123x x x -<--- 1021031041051061075. 不等式2120ax bx ++>的解集为{x|-1＜x ＜2}，则a =_____, b=_______ 1081091101111121136. 关于x 的不等式0>-b ax 的解集为),1(+∞，则关于x 的不等式02>-+x b ax 的解集114为 1151161171181191207. 解关于x 的不等式2(1)10ax a x -++< 121122123124125126127题型四：恒成立问题128 8. 关于x 的不等式 a x 2+ a x +1＞0 恒成立，则a 的取值范围是129_____________ 1301311321331349. 若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.13513613713813914010. 已知0,0x y >>且191x y +=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

141 1421431441451461472a b + 148题型五：求最值 14911. （直接用）求下列函数的值域150 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x151 15215315415515612. （配凑项与系数） 157（1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

158159160161162163164165（2）当时，求(82)y x x =-的最大值。

166167168169170171172173 求函数224y x =+的值域。

174 17517617717817918018113. （条件不等式） 182（1） 若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 . 183184185186187（2） 已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。

188 189190191192193194195（四）线性规划196 题型八：目标函数求最值197 14. 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+≤-+0,087032y x y x y x ，求目标函数y x k +=3的最大值 198199200201202203204205206207208。