-年全国高考文科导数大题官方解答————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2012--2017全国卷高考真题导数大题1．（2012新课标全国卷1文21，本小题满分12分）设函数()2xf x e ax =--． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，且当0x >时，()()10x k f x x '-++>，求k 的最大值． 解：（Ⅰ）()f x 定义域为(,)-∞+∞，()xf x e a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，)0f x '>（， 所以()f x 在(,ln )a -∞，单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增； （Ⅱ）由于1a =，所以()()1()(1)1xx k f x x x k e x '-++=--++， 故当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1(0)1x x k x x e +<+>-，① 令1()1x x g x x e +=+-，则221(2)()1(1)(1)x x x xx xe e e x g x e e ----'=+=--， 由（Ⅰ）知，函数()2xh x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >， 所以()h x 在(0,)+∞存在唯一零点，故()g x '在(0,)+∞存在唯一零点， 设此零点为α，则(1,2)α∈，当(0,)x α∈时，()0g x '<；当(,)x α∈+∞时，)0g x '>（， 所以()g x 在(0,)+∞的最小值是()g α，又()0g α'=，可得2e αα=+，所以()1(2,3)g αα=+∈， 由于①等价于()k g α<，故整数k 的最大值为2．2．（2013新课标全国卷1文21，本小题满分12分）已知函数2()()4xf x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+．（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值． 解：（Ⅰ）2()()24f x e ax a b x '=++--，由此得(0)4f =，1(0)4f =，故4b =，8a b += 从而4a =，4b =；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2)4(1)4x f x e x x x =+--（， 1()4(2)244(2)().2x x f x e x x x e '=+--=+-令()0f x '=得，ln 2x =或2x =-，从而当(,2)(ln 2,)x ∈-∞--+∞U 时，()0f x '>；当(2,ln 2)x ∈--时，)0f x '<（，故()f x 在(,2)-∞-，(ln 2,)-+∞单调递增，在(2,ln 2)--单调递减， 当2x =-时，函数()f x 取得极大值，极大值是2(2)4(1)f e --=-．3．（2013新课标Ⅱ卷文21，本小题满分12分）己知函数2()xf x x e -=． （Ⅰ）求()f x 的极小值和极大值；（Ⅱ）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围． 解：（Ⅰ）()f x 定义域是(,)-∞+∞，()(2)xf x e x x -'=--，①当(,0)x ∈-∞或(2,)x ∈+∞时，)0f x '<（；当(0,2)x ∈时，()0f x '>， 所以故()f x 在(,0)-∞，(2,)+∞单调递减，在(0,2)单调递增， 故当0x =时，()f x 取得极小值，极小值是(0)0f =， 当2x =时，()f x 取得极大值，极大值是2(2)2f e -=， （Ⅱ）设切点是(,())t f t ，则l 的方程是()()()y f t x t f t '=-+，所以l 在x 轴上截距是()2()23()22f t t m t t t t f t t t =-=+=-++'--， 由已知和①得，(,0)t ∈-∞U (2,)+∞， 令2()h x x x=+，则当(0,)x ∈+∞时，()h x 的取值范围为[22,)+∞， 当(,2)x ∈-∞-时，()h x 的取值范围为(,3)-∞-，所以(,0)t ∈-∞U (2,)+∞时，()m t 的取值范围为(,3)-∞-U [22,)+∞， 综上，l 在x 轴上截距的取值范围(,3)-∞-U [22,)+∞．4．（2014新课标全国卷1文21，本小题满分12分）设函数21()ln (1)2a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为0．（Ⅰ）求b ；（Ⅱ）若存在01x ≥，使得0()1af x a <-，求a 的取值范围． 解：（Ⅰ）'()(1)af x a x b x=+--，由题设知(1)0f '=，解得1b =． （Ⅱ）()f x 的定义域为(0,)+∞，由（Ⅰ）知，21()ln 2a f x a x x x -=+-，1()(1)1()(1)1a a af x a x x x x x a-'=+--=---（Ⅰ）若12a ≤，则11aa≤-，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞单调递增，所以，存在01x ≥，使得0()1a f x a <-的充要条件为(1)1af a <-， 即1121a aa --<-，解得2121a --<<-． （Ⅱ）若112a <<，则11a a >-，故当(1,)1ax a ∈-时，()0f x '<； 当(,)1a x a ∈+∞-时，()0f x '>，()f x 在(1,)1a a -单调递减，在(,)1a a+∞-单调递增．所以，存在01x ≥，使得0()1a f x a <-的充要条件为()11a af a a <--，而2()ln 112(1)11a a a a a f a a a a a a =++>-----，所以不合题意． （ⅡⅠ）若1a >，则11(1)1221a a af a ---=-=<-． 综上，a 的取值范围是(21,21)(1,)---+∞U ．5．（2014新课标Ⅱ卷文21，本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-．（Ⅰ）求a ；（Ⅱ）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点． 解：（Ⅰ）26()3f x x x a =-'+，(0)f a '=，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为2y ax =+ 由题设22a-=-，所以1a =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1a =，故32()32f x x x x =-++ 设32()()23(1)4g x f x kx x x k x =-+=-+-+， 由题设知10k ->，当0x ≤时，2()26(1)0g x x x k '=-+->，()g x 单调递增，(1)10g k -=-<，(0)40g =>，所以()0g x =在(,0]-∞有唯一实根，当0x >时，因为(1)0k x ->，所以32()34g x x x >-+， 令32()34h x x x =-+，()3(2)h x x x '=-，()h x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增，所以()()(2)0g x h x h >≥=， 所以()0g x =在(0,)+∞没有实根，综上()0g x =在R 有唯一实根，即曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．6. （2015新课标全国卷1文21，本小题满分12分）设函数()2ln xf x ea x =-.（1）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （2）证明：当0a >时()22lnf x a a a≥+. 解：（I ）()f x 的定义域为()0+¥，，()2()=20x af x e x x¢->.当0a £时,()0f x ¢>，()f x ¢没有零点； 当0a >时，因为2x e 单调递增，ax -单调递增，所以()f x ¢在()0+¥，单调递增.又()0f a ¢>,当b 满足04a b <<且14b <时，(b)0f ¢<,故当0a >时，()f x ¢存在唯一零点.（II ）由（I ），可设()f x ¢在()0+¥，的唯一零点为0x ，当()00x x Î，时，()0f x ¢<;当()0+x x 违，时，()0f x ¢>. 故()f x 在()00x ，单调递减，在()0+x ¥，单调递增，所以当0x x=时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x . 由于0202=0x a ex -，所以00022()=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a++?. 故当0a >时，2()2lnf x a a a?. 考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.7. （2016新课标全国卷1文21，本小题满分12分）已知函数.2)1()2()(-+-=x a e x x f x(I)讨论)(x f 的单调性； (II)若)(x f 有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）()0,+∞解：（Ⅰ）()()()()()'12112.x x f x x e a x x e a =-+-=-+（i ）设0a ≥，则当(),1x ∈-∞时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增. （ii ）设0a <，由()'0f x =得x=1或x=ln （-2a ）.①若2ea =-，则()()()'1x f x x e e =--，所以()f x 在(),-∞+∞单调递增. ②若2ea >-，则ln （-2a ）＜1,故当()()(),ln 21,x a ∈-∞-+∞U 时，()'0f x >；当()()ln 2,1x a ∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增，在()()ln 2,1a -单调递减.③若2ea <-，则()21ln a ->，故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞U 时，()'0f x >，当()()1,ln 2x a ∈-时，()'0f x <，所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增，在()()1,ln 2a -单调递减.（Ⅱ）（i ）设0a >，则由（I ）知，()f x 在(),1-∞单调递减，在()1,+∞单调递增. 又()()12f e f a =-=，，取b 满足b ＜0且ln 22b a<， 则()()()23321022a f b b a b a b b ⎛⎫>-+-=->⎪⎝⎭，所以()f x 有两个零点. （ii ）设a=0，则()()2xf x x e =-所以()f x 有一个零点.（iii ）设a ＜0，若2ea ≥-，则由（I ）知，()f x 在()1,+∞单调递增. 又当1x ≤时，()f x ＜0，故()f x 不存在两个零点；若2ea <-，则由（I ）知，()f x 在()()1,ln 2a -单调递减，在()()ln 2,a -+∞单调递增.又当1x ≤时()f x ＜0，故()f x 不存在两个零点.综上，a 的取值范围为()0,+∞.8. （2017新课标全国卷1文21，本小题满分12分）已知函数()f x =e x (e x ﹣a )﹣a 2x ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥，求a 的取值范围．解：（12分）（1）函数()f x 的定义域为(,)-∞+∞，22()2(2)()x x x x f x e ae a e a e a '=--=+-，①若0a =，则2()xf x e =，在(,)-∞+∞单调递增.②若0a >，则由()0f x '=得ln x a =.当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增. ③若0a <，则由()0f x '=得ln()2a x =-.当(,ln())2a x ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln(),)2a x ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 在(,ln())2a -∞-单调递减，在(ln(),)2a-+∞单调递增.（2）①若0a =，则2()xf x e =，所以()0f x ≥.②若0a >，则由（1）得，当ln x a =时，()f x 取得最小值，最小值为2(ln )ln f a a a =-.从而当且仅当2ln 0a a -≥，即1a ≤时，()0f x ≥.③若0a <，则由（1）得，当ln()2ax =-时，()f x 取得最小值，最小值为23(ln())[ln()]242a a f a -=--.从而当且仅当23[ln()]042aa --≥，即342e a ≥-时()0f x ≥. 综上，a 的取值范围为34[2e ,1]-.。