4
cos2α= - 5 ，求sin(α-β)的值；
13
（2）已知tan α=
1 2
，tan
β
=
13，且α ∈ （0， ）π2 ,
β ∈（π， 3）π ，求α+β的值。
2
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★ 典例精析
例 6. 已知sinα +cosα= - 1 ，且0 <α < π，
3
求sin2α和cos2α的值；
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学考复习 必修4
第十二课
三角恒等变换
★ 考点点击
内容
学习目标
两角和与差的 正弦、余弦和 正切公式
简单的三角恒 等变换
理解两角和与差的正弦、余弦、正切公式， 理解二倍角的正弦、余弦、正切公式。
理解运用相关公式进行简单的三角恒等变 换。
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★ 要点扫描
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
★ 典例精析
例7. 已知平面向量a =3( ,-1)， b=(sin2x,cos2x)，设函数 f(x)= a ·b. （1） 若f(x)= 0，且0 <α < π ，求x的值； （2） 求函数f(x)取最大值时，平面向量a 与b的夹角大小 。
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故选 C。
要善于正用、逆用、变用公式。如：sinαcosα=
1 2
sin
2
，cosα=
sin2 2sin
,
1 2sin
cos
(sin
cos )2
,
cos2
sin 2
cos2
,
2tan 1- tan 2
tan 2
，
1
cos2
2 c os2
,1 cos2
2sin2
， cos2
1 cos2 , 2
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★ 典例精析
例
设
a
1 2
cos 6
3 2
sin
6
,b
2 tan13 1 tan2 13
, c sin 50 2 cos 25
,
则有（
）
A. a>b>c B. a<b<c
C. a<c<b
D. b<c<a
解: 由于 a sin 300 cos 6 cos 300 sin 6 sin 240, b sin 260, c sin 250,
C(α＋β) S(α＋β)
T(α＋β)
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★ 要点扫描
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 降角—升次
sin2α=
2sinαcosβ
.
cos2α = co 2ssi2 n= 2co2 s1= 12si2n.
2 tan
tan2α=
1 tan2
常用变形: 1cos2
. 1cos2
升角—降次
．
4
5
Hale Waihona Puke ∴ cos（α+β）=－ 5 ，sin（α－β）= 13 ．
∴ sin2α = sin［（α+β）+（α－β）］
= sin（α+β）cos（α－β）+cos（α+β）sin（α－β）
3 12
45
56
=（－ 5 ）·13 +（－ 5 ）·13 =－ 65 ．
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★ 典例精析
例 （1）已知α、β均为钝角，且cos(α+β)= - ，1
tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)等。
s
in
2
1
cos 2
2
，
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★ 典例精析
例
已知
π 2
＜β＜α＜
3π 4
，cos（α－β）=
12 13
，sin（α+β）=－
3 5
，
求 sin2α 的值。
π
解：由于 2
＜β＜α＜
3π 4
，可得到
π＜α+β＜
3π 2
π
，0＜α－β＜ 4
sin(α±β) = cos(α±β) =
tan(α±β) =
sinαcosβ±cosαsinβ
.
c o s c o s s in s in .
tantan
1 tantan .
常用变形，如：tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)
这6个公式的联系为：
T(α－β)
C(α－β) S(α－β)
cos2α =
2 ， sin2α=
2.
辅助角公式
asinx+bcosx = a2b2sin x() （其中 tan b ）。 a
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★ 要点扫描
3．简单的三角恒等变换
（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形， 不变其质。 （2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、 计算或证明的目的。 （3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和 二倍角的正弦、余弦、正切公式。 （4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变 换途径。