直角三角形的定理及知识要点
一、补充定理
直角三角形的定理
1、直角三角形两锐角互余。

2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

30角所对的直角边等于斜边的一半。

4、直角三角形中0
直角三角形的逆定理
1、两锐角互余的三角形是直角三角形。

2、一条边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。

30。

4、直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边的对角为0
等腰三角形的定理
1、三角形中等边对等角。

2、三线合一：等腰三角形底边的中线、底边的高、顶角的平分线三线合为一线。

60。

3、等边三角形三内角都是0
逆定理
1、三角形中等角对等边。

等边三角形的判定
60的三角形是等边三角形。

1、有两个角等于0
2、三个角相等的三角形是等边三角形。

60的等腰三角形是等边三角形。

3、有一个角是0
二、常见的图形及规律
1、Rt△ABC中，若∠A=30°, ∠C=90°, 则
BC:AC:AB=2。

2、Rt△ABC中，若∠A=45°, ∠C=90°, 则
BC:AC:AB=
三、常见的勾股数
（一）3、4、5序列 6.8.10 5 12 13
三、最短路线问题
1、在圆柱体（底面半径为r，高为h）中，从A到B的最短路线为AB
2、在长方体（长为a，宽为b，高为h）中，
（1）当a=h时，A到D的最短路线为AD=
（2）当a ≠ h 时，若a>h ，则A 到D 的最短路线为
AD =
若a<h ，则A 到D 的最短路线为AD
3、从A 经l 到B 的最短路线为AM+MB=AB 1
八年级数学《线段的垂直平分线与角平分线》知识点
1、线段垂直平分线的性质
（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
的距离相等.
定理的数学表示：如图1，∵ CD ⊥AB ，且AD ＝BD
∴ AC ＝BC.
定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.
2、线段垂直平分线的判定定理：
到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 定理的数学表示：如图2，∵ AC ＝BC
∴ 点C 在线段AB 的垂直平分线m 上.
定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.
3、关于线段垂直平分线性质定理的推论
（1）关于三角形三边垂直平分线的性质：
三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点．．．．．的距离相等.
性质的作用：证明三角形内的线段相等.
（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：
若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部； 若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；
图1
图2
若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部. 反之，也成立。

4、角平分线的性质定理：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理的数学表示：如图4，
∵ OE 是∠AOB 的平分线，F 是OE 上一点，且CF ⊥OA 于点C ，DF ⊥OB 于点D ， ∴ CF ＝DF.
定理的作用：①证明两条线段相等；②用于几何作图问题； 角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
5、角平分线性质定理的逆定理：
角平分线的判定定理：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 定理的数学表示：如图5，
∵点P 在∠AOB 的内部，且PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，且PC ＝PD ， ∴点P 在∠AOB 的平分线上.
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线
注意角平分线的性质定理与判定定理的区别和联系.
6、关于三角形三条角平分线的定理：
（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：
三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. 定理的数学表示：如图6，如果AP 、BQ 、CR 分别是△ABC 的内角∠BAC 、 ∠ABC 、∠ACB 的平分线，那么：
① AP 、BQ 、CR 相交于一点I ；
② 若ID 、IE 、IF 分别垂直于BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，则DI ＝EI ＝FI. 定理的作用：①用于证明三角形内的线段相等；②用于实际中的几何作图问题. （2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：
三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部.这个交点叫做三角形的内心（即内切圆的圆心）.
7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：
（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线； （3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.
图4。