知识网数学归纳法、数列的极限与运算1．数学归纳法：(1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法.归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法.①不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法.②完全归纳法: 根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律, 用数学归纳法证明结论.(2)数学归纳法步骤:①验证当n取第一个n时结论()P n成立;②由假设当n k=（,k N k n+∈≥）时,结论()P k成立，证明当1n k=+时,结论(1)P k+成立;根据①②对一切自然数n n≥时，()P n都成立.2.数列的极限(1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列{}n a的项n a无限地趋近于某个常数a(即na a-无限地接近于),那么就说数列{}na以a为极限,或者说a是数列{}na的极限.记为limnna a→∞=或当n→∞时，na a→.(2)数列极限的运算法则: 如果{}n a、{}n b的极限存在，且lim,limn nn na ab b→∞→∞==，那么lim()n nna b a b→∞±=±；lim();n nna b a b→∞⋅=⋅lim(0)nnna abb b→∞=≠特别地，如果C是常数，那么lim()lim limn nn n nC a C a Ca→∞→∞→∞⋅=⋅=.⑶几个常用极限: ①limnC C→∞=（C 为常数）②lim0nan→∞=k（,a k 均为常数且N*∈k）③（1)1lim0(1)(1或1)不存在nnqq qq q④首项为1a，公比为q（1q<）的无穷等比数列的各项和为lim1nnaSq→∞=-.注：⑴并不是每一个无穷数列都有极限.⑵四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.数学归纳法、数列的极限与运算例 1. 某个命题与正整数有关，若当)(*Nkkn∈=时该命题成立，那么可推得当=n1+k时该命题也成立，现已知当5=n时该命题不成立，那么可推得（）(A)当6=n时，该命题不成立(B)当6=n时，该命题成立(C)当4=n时，该命题成立(D)当4=n时，该命题不成立例2.用数学归纳法证明:“)1(111212≠--=++++++aaaaaann”在验证1=n时，左端计算所得的项为 ( ) (A)1 (B)a+1 (C)21aa++ (D)321aaa+++例3.2221lim2nnn→∞-+等于( ) (A)2 (B)－2 (C)－21(D)21例4. 等差数列中，若nnSLim∞→存在，则这样的数列( )(A)有且仅有一个(B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个(D)不存在例5.lim(1)nn n n→∞+-等于( ) (A)13(B)0 (C)12(D)不存在例6.若2012(2)n nnx a a x a x a x+=++++，12n nA a a a=+++，则2lim83nnnAA→∞-=+( )(A)31-(B)111(C)41(D)81-例7. 在二项式(13)nx+和(25)nx+的展开式中，各项系数之和记为,,n na b n是正整数，则2lim34n nnn na ba b→∞--=.例8. 已知无穷等比数列{}n a的首项Na∈1，公比为q，且nnaaaSNq+++=∈21,1，且3lim=∞→nnS，则=+21aa_____ .例9. 已知数列{na}前n项和11(1)n n nS bab=-+-+, 其中b是与n无关的常数，且0＜b＜1，若limnnS→∞=存在，则limnnS→∞=________．例10.若数列{na}的通项21na n=-，设数列{nb}的通项11nnba=+，又记nT是数列{nb}的前n项的积．（Ⅰ）求1T，2T，3T的值；（Ⅱ）试比较nT与1+na的大小，并证明你的结论．例 1.D 2.C 例 3.A 例 4.A例 5.C将分子局部有理化，原式=11lim lim21111n nnn nn→∞→∞==++++例6.A例7.12例8.38例9.1 例10(见后面)导数例21. f(x)=ax3+3x2+2,若(1)4f'-=,则a的值等于( )(A)319(B)316(C)313(D)310例22. f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)、g(x)满足f ′(x)＝g′(x)，则( )(A)f(x)=g(x) (B)f(x)－g(x)为常数函数(C)f(x)=g(x)=0 (D)f(x)+g(x)为常数函数例23. 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数y=f'(x)的图象可能为( )例24. 已知曲线S:y=3x－x3及点(2,2)P-,则过点P可向S引切线的条数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3例25. 函数cos siny x x x=-在下面哪个区间内是增函数（）3()(,)22Aππ()(,2)Bππ35()(,)22Cππ()(2,3)Dππ例26. y=2x3－3x2+a的极大值为6，那么a等于( )(A)6 (B)0 (C)5 (D)1例27. 函数f(x)＝x3－3x+1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是( )(A)1，－1 (B)3，-17 (C)1，－17 (D)9，－19例28.设l1为曲线y1=si nx在点(0，0)处的切线，l2为曲线y2=cos x在点(2π,0)处的切线，则l1与l2的夹角为___________.例29. 设函数f(x)=x3+ax2+bx－1，若当x=1时，有极值为1，则函数g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为.例30.已知函数32()(,)f x x ax b a b R=-++∈（Ⅰ）若函数)(xf图像上任意一点处的切线的斜率小于1，求证：33a-<<；（Ⅱ）若[]0,1x∈，函数()y f x=图像上任意一点处的切线的斜率为k，试讨论1k≤的充要条件。

数学基础知识与典型例题(第十一章函数极限与导数)答案例10. [解]（1）21na n=-,∴11111112211T ba==+=+=⨯-21221182(1)2(1)2213T b ba=⋅=⋅+=+=⨯-,31233818116(1)(1)332315T b b ba=⋅⋅=+=+=⨯-（2）由（1）中可猜想得T n＞1+na；只须证明对于*n N∈111(11)(1)(1)(1)213521nn+++++-设n=1时，左=1+1=2，右=3，∵2＞3，故原不等式成立；假设n=k（k≥1）时，原不等式成立，即12)1211()511)(311)(11(+>-++++kk，当n=k+1时，不等式左边为11111(11)(1)(1)(1)[1]21(1)35212(1)121kk k k+++++++-+-+12121(1)2)21kk kk+++=++,不等式的右边为32+k，只须得出)22(1212+++kkk＞32+k，事实上2212)kk⎫++⎪⎪⎝⎭－(223k+=22484(483)21k k k kk++-+++=121k+＞0，故)22(1212+++kkk＞32+k成立，从而1111(11)(1)(1)(1)[1]35212(1)1k k+++++-+-＞32+k。

即n=k+1时不等式也成立,∴对于n∈N,则有111(11)(1)(1)(1)213521nn+++++-.例20. 解：x＝0是此分段函数的分界点，而lim()xf x→存在的充要条件是lim()xf x-→与lim()xf x+→都存在且相等。

∴lim()xf x-→＝lim(cos1)xx-→+＝2，lim()xf x+→＝lim(sin)xa xb b+→+=，∴当b＝2，a取任意实数时，lim()xf x→存在，其值为2.例21.D 例22.B 例23.D例24. C设S上的切点00(,)x y求导数得斜率，过点P可求得:200(1)(2)0x x+-=.例25.B 例26.A例27.B 例28. 90°例29. [ 1，35](写开区间也可以)例30.本题考查（1）导数的几何意义（2）恒成立问题中参数取值范围的求法.（3）分析问题解决问题的能力.需要学生熟练掌握求最值的方法.解：（1）依题意，由32()f x x ax b=-++，则2()32f x x ax'=-+.又函数)(xf图像上任意一点切线的斜率小于1，即2()321f x x ax'=-+<亦即23210x ax-+>对任意的x R∈恒成立. 故24120a∆=-<，即33a<<（2）由题可知，原问题等价于2()321f x x ax'=-+≤对[]0,1x∈恒成立.当0x=时，显然有(0)01f'=≤，故当(0,1]x∈时21321x ax--+≤≤,从而11323x a xx x-+≤≤（※）对(0,1]x∈恒成立. 令11()3,()3u x x v x xx x=-=+.则可知1()3u x xx=-在(0,1]上递增，故max()(1)2u x u==1()323v x xx=+≥3(0,1]x，故min()23v x=要使（※）恒成立只须max min()2()u x a v x≤≤，即13a≤1k≤在[]0,1x∈的充要条件.。