对数运算与对数函数已知底数和指数求幂的运算称为指数运算.如求23=？那么当已知底数和幂，求指数的 运算则称为对数运算.指数运算与对数运算互为逆运算.【对数运算的相关问题】1.定义. 若a b =N(a>0且a ≠1,N >0)，则称b 是以a 为底N 的对数.记作b=log a N ，其中a 叫做底数，N 叫做真数.2指数式与对数式的互化如图1.10—1所示.②互换规则：底数不变，指数 与对数互换，幂与真数互换. 3.对数恒等式：①. ②.证明:①设log a N=b (1)，则a b =N (2)，将(1)代入(2)得. ②设a b =N(3)，则b=log a N(4)，将(3)代入(4)得.此结论说明任何一个实数b 都可以用一个对数表示.说明：为什么零与负数无对数？为什么要求指数、对数的底数 a >0且a ≠1？由a b =N ，N >0说明b=log a N 中的真数必须大于0.∴ 零与负数无对数. 又∵ 由1b=1知b 的取值是无法确定的,再如在实数范围内是无意义的.故底数a >0且a ≠1.例1.化简下列各式：(1). (2).解: (1)原式=31×=3×6=18. (2)原式=.4.对数运算性质 如果 (1).(2)=.(3)．5.换底公式及推论 ①换底公式：.②推论1：.a b =N b=log a N ⇔ 指数式← →对数式 底数指数 对数 幂 真数 ①.指数式与对数式 的互化. 图1.10—1③推论2：．例2.已知f(x)是R上以2为周期的奇函数，当x∈[0,1]时f(x)=2x，求f(log0.523)的值. 解：∵f(x)是R上以2为周期的奇函数，∴f(log0.523)=f()=f(-log223)=-f(log223-4)= -f(),又∵当x∈[0，1]时f(x)=2x，∴f(log0.523)= .例3.求值.(1).(2)lg52++lg5lg20+lg22.解:(1)法1.原式=lo()=lo2= lo()3=3.法2.原式=(2)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+lg22=2(lg2+lg5)+(lg2+lg5)2=3.例4.(1)已知log189=a，18b=5. 求log3645.(2)若26a=33b=62c..求证：3ab-2ac=bc.(3)若.求的值.解:(1)法1.由log189=a,得a=log18又由18b=5,得b=log185, ∴log3645=法2. log189=a,得，再由b=log185=∴log3645=(2)设26a=33b=62c.=k>0，则6a=log2k，∴6log k2，同理，3log k 3，2log k 6，∴(3)由说明：(1)第一题的解法2更具有一般性.其一般方法是将底数、真数、幂都分解成质因数幂的形式，以其中一个质因数3为底，求出以另两个质因数2和5为真数的对数，再将所求式都换成以3为底的对数，化简即可.对于此题我们也可以都转换为以2或5为底，同样可行.读者不妨试试.(2)在利用对数的运算性质进行变形时，要注意从左到右会使真数的取值范围缩小，而从右到左则会使真数的取值范围扩大.因此，在变形时要注意保持其等价性， 如上述(3).想一想①：1.设a 、b 同号，且a 2-2ab -9b 2=0，求lg(a 2+ab -6b 2)-lg(a 2+4ab+15b 2)的值．2.化简(1) (lg2)3+(lg5)3+3lg2•lg5. (2)(log 25+log 4)(log 52+log 25).3.若a ，b ，c 是不为1的正数，a x =b y =c z 且 1x +1y +1z=0. 求证: abc=1.【对数函数的图像及性质】1.定义：形如y=log a x(a>0且a≠1)的函数叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是{x|x >0,x ∈R},值域为R.请问，下列函数中哪些是对数函数：(1)y=log 2(x+1)；(2)y=2log 3x ； (3)y=log 4x+1；； (4)y=log 4x 2； (5)y=log x x .； (6)y=log (2a -1)x(a>)答案：只有(6)是对数函数.2.对数函数与指数函数的关系：它们互为反函数，其图像关于直线y=x 对称.3.图像与性质列表a>1 0<a<1图像定义域 x ∈(0，+∞) 值 域 y ∈(-∞，+∞) 性 质(1)过定点(1，0)(2)对称性,既不是中心对称图形，也不是轴对称图形.(3)单调性 (0，+∞)是增函数. (0，+∞)是减函数.说明：1.函数y=log a x 与函数y=lo的图像关于x 轴对称，且a 的值越大图像越靠近x 轴(越陡).2.在同一直角坐标系中若给出了多条对数函数的图像，确定其底数大小时，可作直线y=1， 其底数大小从左向右依次增大.y xyo1xo 1例5.求证：函数f(x)=log a x(0<a<1)，在(0，+∞)上是减函数.证明:设任意的x 1，x 2∈(0，+∞),且x 1<x 2.∵ f(x 1)-f(x 2)=log a , 又∵0<x 1<x 2， ∴，由0<a<1，知f(x 1)-f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2).由定义知函数f(x)=log a x(0<a<1)，在(0，+∞)上是减函数.例6.对于函数f(x)=lo (x 2-2ax+3)，解答下述问题：(1)若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围；(3)若函数在[-1，+∞)内有意义，求实数a 的取值范围； (4)若函数的定义域为(-∞，1)(3，+∞)，求实数a 的值；解:(1)由已知x 2-2ax+3>0对任意的x ∈R 恒成立，令u(x)= x 2-2ax+3，则函数y=f(x)的图像恒在x 轴的上方，∴ < 0,.(2)若函数y=f(x)的值域为R ，则u(x)= x 2-2ax+3必须取遍所有的正数，由于u(x)=x 2-2ax+3轴至少有一个交点. ∴≥0,(3)由函数在内有意义， ∴ u (x)=x 2-2ax+3>0对任意的 x ∈恒成立，即u (x)=x 2-的图像在上恒在x 轴的上方. 如图1.11—2.∴.(4)若函数的定义域为，即不等式x 2-2ax+3>0的解为 ∴u(x)= x 2-2ax+3的两个零点为1和3，由韦达定理知a=2.想一想②：1.函数y=log a (x+2)+3必过定点 .2.若函数f(x)=ln(a x -a -x )(a>1)，当x ∈(1，+∞)时，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围.4.对数函数单调性的应用①比较大小例7.(1)比较大小：①log 316与4log 52； ②lo与lo； ③0.42，log 20.6，20.75.(2)已知f(x)=1+log x 3，g(x)=2log x 2，(x 0且x ≠1)，比较f(x)与g(x)的大小. 解:(1)① ∵ log 316>log 39=2，而4log 52=log 524=log 516<log 525=2. ∴ log 316>4log 52. ②∵ lo > lo，lo< lo=1， ∴ lo> lo. 或 由lo=log 23>log 22=1，lo =log 32<log 33=1，∴ lo> lo.③∵ 0<0.42=0.16<1，log 20.6<0，而20.75>1. ∴ log 20.6<0.42<20.75.yx o-1 · 图1.10—2yxo-1 ·(2)∵f(x)-g(x)=1+log x3-2log x2=log x.①当0<x<1时，0<<1，∴f(x)>g(x).②当1<x≤时，0<<1，∴f(x)≤g(x). ③当x>时，>1，∴f(x)>g(x).综上所述知，当0<x<1或x>时，f(x)>g(x).当1<x≤时，f(x)≤g(x).(当且仅当x=时取等号).②求函数的值域或最值例8.(1)已知2lo.求函数y=的最值.(2)求函数f(x)=lo g2(x-1)+g2(p-x)的值域.解:(1)由2lo，.又∵y=(log2x-1)(log2x-2)=log22x-3log2x+2，∴y min=(x=)；y max=2(x=8).(2)此函数的定义域由给定.由于函数的定义域不能为空集，∴，(1)当1，即时，上单调递减，∴，值域为.(2)当1<，即p>3时，值域为.(3)当，即p<-1时，不满足p>1.综上所述知，当时，值域为；当p>3时，值域为.③讨论函数的单调性例9.(1)若函数f(x)=log a(2-ax)在区间[0,1]上单减，则a∈( ).A.(1,2).B.(0，1).C.(0，2).D.[2,+∞).(2)求函数y=log2(x2-x-2)的单减区间.解:(1)令f(x)=log a u，u=2-ax>0，∵函数f(x)=log a(2-ax)在区间[0,1]上单减，且a>0, ∴u=2-ax是x的减函数，则f(x)=log a u是u的增函数，∴ a>1.又∵f(x)=log a(2-ax)在区间[0,1]有意义，∴故应选A.(2)令y=log2u，u= x2-x-2>0，∵y=log2u是u的增函数，∴当u= x2-x-2>0单减时，函数y=log2(x2-x-2)的单减. 故函数y=log2(x2-x-2)的单减区间为(-∞,-1).④解不等式例10.(1)若log a<1,则实数a的取值范围是.(2)设a＞0且a≠1，解不等式解:(1)原不等式可化为log a<log a a，当a>1时，当0<a<1时，综上所述知a∈(0,)∪(1,+∞).(2)令log a x=t，则得当0<a<1时，由指数函数的单调性，有4-t2<1-2t , t2-2t-3＞0, (t+1)(t-3)＞0, t<-1，或t>3,从而log a x<-1或log a x>3，解得x>或x<a3.当a>1时，则有4-t2>1-2t, t2-2t-3<0,(t+1)(t-3)<0, -1<t<3.从而 -1<log a x<3，解得<x<a3.综上所述知，当0<a<1时，x∈当a>1时，x∈(). 想一想③：1.若log a >1，求实数a 的取值范围.2.函数f(x)=log 0.5|x 2+2x -3|的单增区间是( ).3.解不等式log (x+1)(x 2-x -2)>1.【与图像、方程有关的综合问题】例11.(1)若定义在R 上的偶函数f(x)满足：f(x)=f(x+2)，且当x ∈[0，1]时，f(x)=x.则函数y=f(x)-log 3|x|的零点个数为( ).A.4.B.3.C.2.D.1. (2)若方程x+log 2x=5与x+2x =5的根分别为，则=( ). (3)对于函数f(x)=log 2(x -1)，当x 1，x 2均大于1时，你能得出[f(x 1)+f(x 2)].解:(1)∵ 当x ∈[0,1]时，f(x)=x ，又y=f(x)是定义在R 上 的偶函数，且周期为2，故可得函数y=f(x)的图像， 如图1.10—3所示.由于函数y=f(x)-log 3|x|的零点即为 函数y=f(x)与y=log 3|x|图像交点的横坐标，结合图 像易知两图像有四个不同的交点.故应选A.(2)由x+log 2x=5得log 2x=5-x.再由x+2x =5得2x=5-x.在同一直角坐标系中同时作出函数y=log 2x 、y=2x、 y=5-x 的图像，如图1.10—4.其中为函数y=log 2x与y=5-x 的图像交点的横坐标；为函数y=2x与y=5-x的图像交点的横坐标.由于函数y=log 2x 与y=2x、的图像都关于直线y=x 对称，易求得 =5. (3)作出函数的图像，如图1.10—5所示.对于任意的x 1、x 2由梯形中位线的性质，结合图像易知想一想④：1.方程log 2(x+4)=3x 的根的个数为( ).2.不等式log 2(-x)＜x+1的解集为( ).3.类比上例(3)，对于f(x)=3x 你能得出怎样的结论.习题1.101.若log 2[]= log 3[]= log 5[]=0，则x 、y 、z 的大小关系是( ).A.z<x<y.B.x<y<z.C.y<z<x.D.z<y<x. 2.若y= -log 2(x 2-ax -a)在区间()上是增函数，则实数a 的取值范围是( ). A.[2-2，2]. B.[ 2-2，2). C.( 2-2，2]. D.( 2-2，2).3.已知函数y =lo (ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则实数a 的取值范围( ). A.a>1.B.0≤a<1.C.0<a<1.D.0≤a ≤1.xy o图1.10—455xyo 1 2 3 -2 -3 -1图1.10—3xy ox 1x 22)()(21x f x f +221x x +f(x 2f(x 1))2(21x xf +4.函数y=(lo x)2－lo x2＋5在2≤x≤4时的值域为．5.已知lg2=a，lg3=b，将用a ，b表示为.6.已知函数f(x)=log2(x2-2)的定义域为[a，b]，值域为[1，log214]，求ab的值.7.已知f(x)=x2＋(lga＋2)x＋lgb，f(－1)=－2，当x∈R时f(x)≥2x恒成立，求实数a的值，并求此时f(x)的最小值？8.设0<x<1，a>0且a≠1，试比较|log a(1－x)|与|log a(1＋x)|的大小．9.已知函数f(x)=log a(a－a x)(a>1).求函数的定义域和值域.10.在对数函数y=log2x的图像上(如图1.10—6)，有A、B、C三点，它们的横坐标依次为a、a＋1、a＋2，其中a≥1，求△ABC面积的最大值．11.设a，b，c分别是方程2x= 的实数根，则有( ).A.a<b<c.B.c<b<a.C.b<a<c.D.c<a<b.12.设a=log54，b=(log53)2，c=log45. 则( ).A.a<c<b.B.b<c<a. C,a<b<c. D.b<a<c.13.函数f(x)=ln(x-)的图像只可能是( ).14.已知函数f(x)=则函数y=f(1-x)的大致图像是( ).【参考答案】想一想①：1. -.2.(1)1.(2)3.略想一想②：1.(-1,3).2.由已知函数f(x)=ln(a x-a-x)(a>1),当x∈(1，+∞)时是增函数，∴ x∈(1，+∞)时，f(x)>0恒成立，只需f(1)≥0即可. 由ln(a-a-1) ≥0， a-a-1≥1，解得a.想一想③：1. ().2.(-∞,-3)，[-1,1).3.x∈(3，+∞).想一想④：图1.10—6。