每0.3s放射粒子数为9个。
二项分布的泊松逼近
在二项分布的计算中，当n很大时，计算相当 复杂，为了简化计算，我们来讨论泊松定理.
定理2.4.1泊(泊松松定定理理：) 在独立试验中，以pn代表事件 A在试验中出现的概率，它与试验次数有关，如果
lim
n
npn



0，
则有b(k; n,
pn )

k

n

o(1) ]n n
n(n 1)(n k 1)
nk [1 o(1)]k
nn

[
o(1)]k k!
[1

n

o(1) ]n n
1(1
1 n
)
(1

) k 1 n
[1 o(1)]k
当n 时,
nn
b(k; n,
pn
)

k
k!
e
二项分布的泊松逼近：
μ=nπ =1000 ×0.0018=1.8
(三)Poisson分布的图形
μ=0.6 μ=6
μ=2 μ=14
(四)Poisson分布的性质
1. Poisson分布的方差等于均数，即 σ2=μ。
2. Poisson分布的可加性。
• 对于服从Poisson分布的 m个相互独立的随机 变量Xl，X2，…, Xm它们之和X1+X2+…+Xm也服 从Poisson分布，且均数为m个随机变量的均数 之和。
波松定理
Pk P(xn k ) Cnk pnk (1 pn )nk , k 1,2,, n
设npn 0，为常数，则有
li
k)

( ) k
k!
e ,
k 1,2,, n
Pk

n! ( )k (1
k!(n k)! n
)nk
泊松资料
Siméon Poisson
Born: 21 June 1781 in Pithiviers, France
Died: 25 April 1840 in Sceaux (near Paris), France
(二)Poisson分布的定义poisson distribution
如果在足够多的n次独立Bernouli试验中，随机变量 X所有可能的取值为0，l，2，…，取各个取值的概率为 ：
3、当λ≥20，Poisson分布近似正态分布。
[例2] 某放射性物质每0.1 s放射粒子数服从均数 为2.2的Poisson分布，现随机取3次观测结果为2 ，3及4个粒子数，请问每0.3 s放射粒子数为多 少?
利用Poisson分布的可加性原理得到，
Xl+X2+X3=2+3+4=9个
均值为2.2+2.2+2.2=6.6
（一）Poisson的适用条件 (Poisson distribution)是一种离散分布，常用于研 究单位时间或单位时间(空间)内某罕见事件的发生次数：
①在单位容积充分摇匀的水中的细菌数； ②野外单位空间中的某种昆虫数； ③一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数； ④一定时间内，到车站等候公共汽车的人数； ⑤一定页数的书刊上出现的错别字个数。
即该放射物质每30min平均脉冲数(个) 的95％可信区间为(322.8，397.2)。
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(2)查表法 如果X≤50时，样本资料 呈Poisson分布，可查阅正态分布表。
[例]对某地区居民饮用水进行卫生学检测中， 随机抽查1 mL水样，培养大肠杆菌2个，试估计 该地区水中平均每毫升所含大肠杆菌的95％和 99％可信区间。 本例，X=2<50，查附表4，95％可信区间为(0.2 ，7.2)；99％可信区间为(0.1，9.3)。
1
(六）Poisson分布的应用
一)总体均数的估计 1. 点估计： • 直接用单位时间(空间或人群)内随机事件
发生数X(即样本均数)作为总体均数μ的 估计值。
2. 区间估计
（1）正态近似法（X>50） 当Poisson分布的观察单位为n=1时：
当Poisson分布的观察单位为n>l时 ：
[例]用计数器测得某放射物质半小时内 发出的脉冲数为360个，试估计该放射物 质每30min平均脉冲数的95％可信区间。
二项分布 n很大, p 很小 泊松分布
在生物学、医学、工业统计、保险科学及公 用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的，例如地 震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等, 都服从泊松分布。
商场接待的顾客数 电话呼唤次数 交通事故次数
[例1] 若某非传染性疾病的患病率为18／万 ，试根据Poisson分布原理求1 000人中发 生 k=0，1，2阳性数概率。
k!
e-
.
证明 由
1
pn

n

o(1), n
1
1 pn 1 n n o(1)
b(k; n,
pn
)

k
n! !(n
k)!
(
pn
)k
(1

pn
)nk
n! [ 1 o(1)]k[1 o(1))nk
k!(n k)! n n
nn

[
o(1)]k k!
[1
P( X k) k e ， k 0,1,2,..., n
k!
•则称X服从参数为λ的Poisson分布，记为X~P(λ)。其中 X为单位时间(或面积、容积等)某稀有事件发生数，e= 2.7183，λ是Poisson分布的总体均数。
•也就是，若某现象发生的概率小，而样本例数多时，则 二项分布逼近Poisson分布。
第八章 交通流理论
第一节 交通流参数的统计分布 一、分析交通流参数分布的作用 二、交通参数及其分布 三、离散型分布的基础 四、交通参数的二项分布 五、交通参数的负二项分布 六、交通参数的泊松分布
本节需要掌握：
一、概念：
1_泊松分布
二、规律：
泊松分布的应用
六、交通参数的泊松分布
在二项分布的计算中，我们讨论到，当n很大时，试验的特定 结果发生的概率p很小时，计算相当复杂，为了简化计算，我们来 讨论二项分布的近似计算定理—泊松分布。此分布是由法国数学家 泊松1837年引入的。
n
n(n 1)(n 2)(n k 1) ( )k (1 )n (1 )k
k!
n
n
n

k
k!
1 (1
1 ) (1 n
2 ) (1 n
k
n1)
(1

n
)n (1
)k
n

lim
n
P
(
xn

k)

k
k!
e
1
e