解：危险截面在 A 处，其上之内力分量为： 弯矩： M y = FP1 a ， M z = FP2 H 扭矩： M x = FP2 a 轴力： FNx = FP1 在截面上垂直与 M 方向的垂直线 ab 与圆环截 求得 M y 与 M z 的矢量和 M 过截面中心， 面边界交于 a、b 两点，这两点分别受最大拉应力和最大压应力。但由于轴向压力的作用，最 大压应力值大于最大拉应力值，故 b 点为危险点，其应力状态如图所示。 10－7 试求图 a 和 b 中所示之二杆横截面上最大正应力及其比值。 解： （a）为拉弯组合
7
y
y
A
O
0.795
B
14.526
+13.73MPa
z
(a)
O O
+14.43MPa
(b)
C
y
A
C
B B
y
A
O O
B
z
12.6mm
14.1mm
zC
−15.32MPa
16.55MPa
zC
z
(c)
(d)
习题 10－9 解图
∴
+ σ max
= 14.526 − 0.795 = 13.73 MPa
− σ max = −14.526 − 0.795 = −15.32 MPa
Ebh
由此得
2 FP 6e
e=
10－9
ε1 − ε 2 h × ε1 + ε 2 6
图中所示为承受纵向荷载的人骨受力简图。试：
1．假定骨骼为实心圆截面，确定横截面 B－B 上的应力分布； 2．假定骨骼中心部分(其直径为骨骼外直径的一半)由海绵状骨质所组成，忽略海绵状承受 应力的能力，确定横截面 B－B 上的应力分布；
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工程力学
（静力学与材料力学）
习题详细解答
（教师用书） (第 10 章) 范钦珊 唐静静
2006-12-18
1
第10章
组合变形与变形杆件的强度计算
10－1 根据杆件横截面正应力分析过程， 中性轴在什么情形下才会通过截面形心？试分析 下列答案中哪一个是正确的。 （A）My = 0 或 Mz = 0， FN ≠ 0 ； （B）My = Mz = 0， FN ≠ 0 ； （C）My = 0，Mz = 0， FN ≠ 0 ； （D） M y ≠ 0 或 M z ≠ 0 ， FN = 0 。 正确答案是 D 。 解：只要轴力 FN x ≠ 0 ， 则截面形心处其拉压正应力一定不为零， 而其弯曲正应力一定为零， 这样使其合正应力一定不为零，所以其中性轴一定不通过截面形心，所以答案选（D） 。 关于中性轴位置，有以下几种论述，试判断哪一种是正确的。 （A）中性轴不一定在截面内，但如果在截面内它一定通过形心； （B）中性轴只能在截面内并且必须通过截面形心； （C）中性轴只能在截面内，但不一定通过截面形心； （D）中性轴不一定在截面内，而且也不一定通过截面形心。 正确答案是 D 。 解：中性轴上正应力必须为零。由上题结论中性轴不一定过截面形心；另外当轴力引起的 拉（压）应力的绝对值大于弯矩引起的最大压（拉）应力的绝对值时，中性轴均不在截面内， 所以答案选（D） 。 并且垂 10－3 图示悬臂梁中， 集中力 FP1 和 FP2 分别作用在铅垂对称面和水平对称面内， 直于梁的轴线，如图所示。已知 FP1＝1.6 kN，FP2＝800 N，l＝1 m，许用应力 σ ＝160 MPa。 试确定以下两种情形下梁的横截面尺寸： 1．截面为矩形，h＝2b； 2．截面为圆形。 10－2
2
b≥
2．截面为圆形
3
3 × 2.4 × 103 = 0.0356 m=35.6 mm 160 × 106
M y = FP2l = 1600N × 1m=1600N ⋅ m M z = FP1 × 2l = 800N × 2m=1600N ⋅ m
2 M = My + M z2 = 16002 + 16002 = 2262.7 N ⋅ m
习题 10－9 图
3．确定 1、2 两种情形下，骨骼在横截面 B－B 上最大压应力之比。
FN 445 ×106 解：1． σ N1 = − = = −0.795 MPa A1 π × 26.7 2 4
σ M max =
Mz 445 × 61 × 10 −3 = 14.526 MPa = W z1 π× 26.7 3 −9 × 10 32
10－10
正方形截面杆一端固定，另一端自由，中间部分开有切槽。杆自由端受有平行于
杆轴线的纵向力 FP。若已知 FP＝1 kN，杆各部分尺寸如图中所示。试求：杆内横截面上的最大 正应力，并指出其作用位置。
8
A
Mz
y
C
10
My
z
5
习题 10－10 图
(a)
解： A = 5 ×10 ×10
Wy =
Wz =
a FP ⋅ FP 4 = 4 ⋅ FP σa = + 3 3 2 3 a2 a × a a( a) 2 2 6
（b）为单向拉伸
σb =
FP a2
5
∴
σa 4 = σb 3
习题 10－7 图
10－ 8 承受偏心拉力的矩形截面杆如图所示。今用实验法测得杆左右两侧的纵向应变 ε1 和 ε 2 。证明偏心距 e与 ε1 、 ε 2 之间满足下列关系：
m = 7.02
N 2.5 = 7.02 = 1.463kN ⋅ m n 12
FP1 =
m 1.463 × 2 = = 7.32kN D1 / 2 0.4
9
FP 2 =
m 1.463 × 2 = = 5.85kN D2 / 2 0.5
从内力图上可以看出 D以左截面为危险截面其上之弯矩和扭矩分别为
2 M = My + M z2 = 0.78 2 + 0.244 2 = 0.817 kN ⋅ m
＝85.3MPa< [σ ]
所以，选择 No.16 工字钢，梁的强度是安全的。 10－ 5 钩头螺栓受力简化如图所示。已知螺栓材料之许用应力 [σ ] = 120 MPa 。求此螺栓 所能承受的许可预紧力[FP]
FP
习题 10－5 图
解：在预紧力 FP作用下，钩头螺栓横截面上的内力分量为：
F N ＝ FP M＝ FPe
σ max =
所以，选择 No.16 工字钢。 No.16 工字钢的横截面面积与弯曲截面系数分别为：
A = 26.1cm 2 = 26.1×10−4 m 2 , W = 141cm3 = 141×10−6 m3
再校核弯曲与压缩载荷共同作用时的强度
σA =
FN M + A W 19052 22 × 103 × 2 = + 26.1× 10−4 4 × 141×10−6 = 7.3 ×106 Pa +78 ×106 Pa
FN = FBC cos30D = 19052 N
2. 强度设计 首先按照弯曲强度设计，然后再对弯曲与压缩载荷共同作用时的强度进行校核。
M max ≤ [σ ] , W FPl 22 ×103 N × 2m = 110 ×10－6 m3＝110 cm3 W≥ 4 = 6 [σ ] 4 ×160 ×10 Pa
8 × 20 4(1 + ) 20
= 4.19 kN
10－ 6 标语牌由钢管支撑，如图所示。若标语牌的重量为 FP1 ，作用在标语牌上的水平风 力为 FP2 ，试分析此钢管的受力，指出危险截面和危险点的位置，并画出危险点的应力状态。
FP2
FP1
横截面
σ τ
上表面
b
σ
a
τ
习题 10－6 图
习题 10－6 解图
M x = 1.463kN ⋅ m
应用最大剪应力理论
σ r 3 = σ + 4τ =
2 2
2 M2 +Mx
W
=
2 2 Mx +My + M z2
W
=
32 1.463 2 + 0.817 2 ≤ [σ ] πd 3
于是有
d ≥3
32 × 1.676 3 32 × 1.676 = = 0.0658m = 65.8mm π [σ ] π 60 × 10 −3
e=
ε1 − ε 2 h × ε1 + ε 2 6
FP
FP F M P = FP e
FP
M = FP e
FP
习题 10－8 图 习题 10－8 解图
解：1，2 两处均为单向应力状态，其正应力分别为： 1 处：
σ=
FP 6F e F 6e + P2 = P (1 + ) b × h bh bh h
6
ε1 =
截面上的最大拉应力为 :
4
σ max =
应用
σ max ≤ [σ ] ，由上式得
FP ≤
FN M 4 FP 32 FP e 4 FP 8e + = + = (1 + ) 2 3 2 A W d πd πd πd
πd 2 [σ ]
8e 4(1 + ) d
=
π 20 2 × 10 −6 × 120 × 10 3
沿 y 方向应力分布如图（c）所示，中性轴为 zc。 2． σ N 2 = FN = −
A2
445 × 106 26.7 2 ⎤ ⎡ π ⎢ 26.7 2 − ( ) ⎥ 2 ⎣ ⎦ 4
Mz 1 W z1 (1 − ( ) 4 ) 2
=
− 4 × 445 × 106 = −0.795 × 4 = −1.06 MPa 3 1 π× 26.7 2 (1 − ) 4
−6
= 50 ×10 −6 m2