《数学分析》之九第九章定积分（14+4学时）教学大纲教学要求：1．理解Riemann定积分的定义及其几何意义2．了解上和与下和及其有关性质3．理解函数可积的充要条件，了解Riemann可积函数类4．熟练掌握定积分的主要运算性质以及相关的不等式5．了解积分第一中值定理6．掌握变上限积分及其性质7．熟练掌握Newton-Leibniz公式，定积分换元法，分部积分法教学内容：问题的引入（曲边梯形的面积及变速直线运动的路程），定积分定义，几何意义，可积的必要条件，上和、下和及其性质，可积的充分条件，可积函数类，定积分的性质，积分中值定理，微积分学基本定理，牛顿一莱布尼兹公式，定积分的换元法及分部法。

第页此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页第页=i 1。

则称函数)(x f 在[b a .]上可积或黎曼可积。

数J 称为函数)(x f 在[b a .]上的定积分或黎曼积分，记作：⎰=badxx f J )(其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，[b a .]称为积分区间，dxx f )(称为被积式，b a ,分别称为积分的下限和上限。

定积分的几何意义；连续函数定积分存在（见定理9.3） 三、举例: 例1 已知函数在区间上可积 .用定义求积分.解 取 等分区间作为分法 nb x T i =∆, 取.=.由函数)(x f 在区间],0[b 上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 .例2 已知函数211)(x x f +=在区间]1,0[上可积 ,用定义求积分 .解 分法与介点集选法如例1 , 有.上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分.四、小结：指出本讲要点定积分的概念（几何意义）；定积分的问题背景；若定积分存在，按定义计算定积分的值时，分割与介点的选取，可取特殊点，解题步骤（回顾例1）。

作业：课后1. 2.（1）（2）第 页时间 ---------月---------日 星期----------------- 课 题§ 2 Newton — Leibniz 公式（2学时）教学目的 深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. 教学重点 能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分 教学难点应用定积分计算形式的极限课 型 理论课 教学媒体教法选择 讲 练 结 合教 学 过 程教法运用及板书要点一、复习定积分的定义，分割；积分和（黎曼和）；极限存在（可积）； 定积分的几何意义； 注：定积分⎰b adxx f )(的值只与被积函数)(x f 及积分区间[b a .]有关，而与积分变量所用的符号无关。

二、定积分的计算 （1），按定义计算 （2）应用下列定理Th9.1 （ N — L 公式 ）若函数)(x f y =在【a ，b 】上连续，且存在原函数)(x F ，即),()(x f x F ='],[b a x ∈，则)(x f y = 在【a ，b 】上可积，且b a bax F a F b F dx x f |)()()()(=-=⎰这个公式称作（ N — L 公式 ）( 证明思路 函数函数)(x f y =在【a ，b 】上连续，则一致连续) （根据定积分定义与极限定义证明）证明：（略） 例1求;;例2利用（ N — L 公式 ） 求下列定积分 1）N n dx x ban ∈⎰,，2）,⎰b a x dxe3）,12⎰b a dxx4）,sin⎰b a xdx5）,42⎰-badxxx例3 求.小结：1.利用N-L公式求定积分的步骤。

2.利用定积分定义计算形如的极限时，找被积函数的方法；利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的形式。

练习p.207 第二题作业p206,1.2第页时间---------月---------日星期-----------------课题§3可积条件（2学时）（一）教学目的理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件，熟悉证明可积性的问题的思路和方法.教学重点掌握可积的充要条件教学难点函数可积性问题的证明；课型理论课教学媒体教法选择讲授教学过程教法运用及板书要点一、必要条件:定理9.2 若函数f(x) [a,b]，f(x)在区间[a,b]上有界.证明方法：反证法回顾f(x)在区间[a,b]上无界的定义，回顾定积分定义中的两个“任意”（插入点任意，介点选取任意）给出证明：例1 讨论Dirichlet函数D(x)在区间[0,1]上的可积性.强调可积与函数有界之间的关系二、充要条件:1.思路与方案:思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和, 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法及介点无关的条件.复习极限的双逼原理方案: 定义上和S(T)和下和s(T). 研究它们的性质和当时有相同极限的充要条件 ..设T={ix ∆n i ,,2,1Λ=}为对[a ,b]的任一分割。

由 f(x) 在[a ,b]上有界知，它在每个i x ∆上存在上、下确界：ix x i x f M ∆∈=)(sup ,ix x i x f m ∆∈=)(inf ,n i ,,2,1Λ=.作和∑=∆=ni ii x M T S 1)(，∑=∆=ni ii x m T s 1)(，分别称为 f(x)关于分割T 的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）任给i i x ∆∈ξ，n i ,2,1Λ=，显然有)()()(T S x f T s i i ≤∆≤∑ξ.说明：与积分和相比，达布和只与分割T 有关，而与点i ξ的取法无关。

2. Darboux 和:以下总设函数f(x)在区间[a,b]上有界. 并设,其中和分别是函数f(x)在区间[a,b]上的下确界和上确界Darboux 和定义：指出Darboux 和未必是积分和 . 但Darboux 和由分法 唯一确定.分别用S(T)、s(T)和 记相应于分法T 的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和 是数集(多值) . 但总有 s(T)S(T)因此有.和的几何意义 .*3. Darboux 和的性质:分点增加，上和不增，下和不减.定理9.3（可积准则）函数f 在],[b a 上可积的充要条件是：对任意的0>ε，总存在相应的分割T ，使得ε<-)()(T s T S（本定理的证明，参见§6） 定理9.3的几何意义设i i i m M -=ω,并称为)(x f 在i x ∆上的振幅，有必要时记为fi ω。

则有ini i x T s T S ∆=-∑=1)()(ω。

定理9.3' 函数)(x f 在],[b a 上可积⇔对0>∀ε，T ∃，使得εω<∆∑=ini i x1。

不等式ε<-)()(T s T S 或εω<∆∑=ini i x1的几何意义：若函数f(x)在 [a,b]上可积，则p.209图9-7中包围曲线)(x f y =的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分的细；反之亦然。

三、小结：可积的必要条件与可积准则可积函数的充分条件（证明函数可积的思路和方法）当函数f(x)在区间[a,b]上含某些点的小区间上振幅作不到任意小时, 可试用f(x)在区间 [a,b]上的振幅 作的估计 , 有. 此时, 倘能用总长小于,否则f(x)为常值函数的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的端点作为分法 的一部分分点，在区间 [a,b]的其余部分作分割，使在每个小区间上有<,对如此构造的分法, 有<.作业：p212 1 和2第页此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页推论2设函数)(xf在区间],[ba上有界且其间断点仅有有限个聚点, 则函数)(xf在区间],[ba上可积.例判断题: 闭区间上仅有一个间断点的函数必可积. ( ) 闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积. ( )3. 闭区间上的单调函数必可积：定理9.6 若函数)(xfy=是],[ba上的单调函数，则函数)(xfy=在],[ba上可积。

证明思路：（证明过程）例2 用两种方法证明在[0,1]上可积.例3 证明黎曼函数1,(,)1,()00,1(0,1)qx p q q pq pf xx⎧==>⎪=⎨⎪=⎩和内的无理点在区间【0，1】内可积，且1()0f x dx=⎰小结：常见的可积函数类（三类）证明可积函数的方法作业: p212 3此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页第页说明：当1)(≡xg时，即为积分第一中值定理。

注：事实上，积分第一中值定理和推广的积分第一中值定理中的点ξ必能),(ba∈ξ。

二. 举例: 例1 设. 试证明:⎰∑=∆=→baiiniiTfgdxxgf)()(lim1||||ηξ.其中和是内的任二点, { }, .例2 比较积分的大小.设但. 证明>0.证明不等式.证明分析所证不等式为只要证明在上成立不等式,且等号不恒成立, 则由性质4和上例得所证不等式.例4.小结：积分的性质定理 和 积分中值定理 课后习题处理：P ．219 1. 5. 作业：p 。

219 2. 3。

注记:1、积分的性质较多,分类记忆方法比较好.2、P 217注意2中的2,10,()1,0 1.xx x x F x e x -⎧--≤<=⎨-+≤≥⎩这里 )(x F 取1xe--+是因为P 207题3要求()F x 连续.第 页第 页时间 ---------月---------日 星期----------------- 课 题 §5 微积分基本定理.定积分计算（续）（2学时）（一）教学目的掌握变上限的定积分和它的分析性质. 了解积分第二中值定理及其推论.能熟练的用换元积分法和分部积分法计算定积分.教学重点 变上限的定积分和它的分析性质, 用换元积分法和分部积分法计算定积分 教学难点 变上限的定积分和它的分析性质的应用. 课 型 理论+实践 教学媒体教法选择 讲授+练习教 学 过 程教法运用及板书要点一. 变限积分与原函数的存在性 引入：由定积分计算引出 .1.变限积分:设)(x f 在],[b a 上可积，则对],[b a x ∈∀，)(x f 在],[x a 上也可积，于是，由⎰=Φxa dtt f x )()(， ],[b a x ∈定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为变上限的定积分。

类似地，可定义变下限的定积分：⎰=ψbxdtt f x )()(，],[b a x ∈)(x Φ和)(x ψ统称为变限积分。