定积分的简单应用【学习目标】1.会用定积分求平面图形的面积。

2.会用定积分求变速直线运动的路程3.会用定积分求变力作功问题。

【要点梳理】要点一、应用定积分求曲边梯形的面积1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积：()[()()]b baaS f x dx f x g x dx ==-⎰⎰2.如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积：()()[()()]bb baaaS f x dx f x dx g x f x dx ==-=-⎰⎰⎰3．由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积：()caS f x dx =+⎰()bcf x dx ⎰＝()c af x dx -⎰＋()bcf x dx ⎰.4. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =，x b =()a b <围成图形的面积：1212[()()]()()b b baaaS f x f x dx f x dx f x dx =-=-⎰⎰⎰要点诠释：研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积；② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）；要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤（1）画出图形；（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； （4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。

要点三、定积分在物理中的应用① 速直线运动的路程作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间[,]a b 上的定积分，即()baS v t dt =⎰.②变力作功物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W =()baF x dx ⎰.要点诠释：1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情况是解决问题的关键。

应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。

2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。

【典型例题】类型一、求平面图形的面积【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例1】例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.【思路点拨】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

【解析】 201y xx x y x⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1）， 面积S=1120xdx x dx =-⎰⎰，所以13112320021211d d 33333S x x x x x x ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰【总结升华】1. 两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

2. 在直角坐标系下求平面图形的面积的四个步骤： ⑴．作图象；⑵．求交点，定积分上、下限； ⑶．用定积分表示所求的面积； ⑷．微积分基本定理求定积分。

举一反三：【变式1】（2015 天津）曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 .【答案】16【解析】已知两条曲线交于点（0，0）和（1，1），且在此两点之间直线在抛物线上方，因此1122300111()236S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰。

【变式2】求曲线x y 2log =与曲线)(log x y -=42以及x 轴所围成的图形面积。

【答案】所求图形的面积为dy dy y f y g S y ⎰⎰⨯-=-11224)()()(【＝e e y y 210224224log |)log -=⨯-=（例2． 计算由直线y=x ―3和抛物线y 2=4x 所围成的平面图形的面积。

【思路点拨】画出简图，结合图形确定积分区间。

【解析】 画出直线y=x ―3和曲线y 2=4x 。

则所求平面图形的面积为如图1-5-3-7所示的阴影部分面积，解方程组234y x y x=-⎧⎨=⎩得交点A （1，―2），B （9，6）。

又直线y=x ―3与x 轴交于点D （3，0），过A 、D 作x 轴的垂线把阴影分割成 S 1、S 2、S 3、S 4四部分，则根据定积分的几何意义有1234S S S S S =+++3913313d [2(3)]d 2d (3)d x x x x x x x x x =+-+-+-⎰⎰⎰⎰9313333222221003441413333232x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32448149491327273399333232322⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅-+-⋅++--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 4143(1843)22133=-++=。

【总结升华】 从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与两个曲线三角形面积的差，进而可以用定积分求出面积。

为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求出直线与曲线的交点的横坐标。

举一反三：【变式1】(2015春 哈尔滨校级期末)由直线0,,2y x e y x ===及曲线2y x=所围成的封闭的图形的面积为（ ）A.32ln 2+B.3C.223e - D.e 【答案】由题意，直线0,,2y x e y x ===及曲线2y x=所围成的封闭的图形如图：直线2y x =与曲线2y x =的交点为（1,2）， 所以阴影部分的面积为：121010122|2ln |3e exdx dx x x x+=+=⎰⎰，故选B 。

【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例2】 【变式2】计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S.【答案】作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为上图阴影部分的面积．解方程组2,4y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得直线4y x =-与曲线2y x =的交点的坐标为（8,4) .直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2488442[2(4)]xdx xdx x dx =+--⎰⎰⎰334828220442222140||(4)|3323x x x =+-=. 类型二、求变速直线运动的路程例3．物体A 以速度231v t =+在一直线上运动，在此直线上与物体A 出发的同时，物体B在物体A 的正前方5m 处以10v t =的速度与A 同向运动，问当两物体何时相遇？相遇时物体A 的走过的路程是多少？（时间单位为：s ，速度单位为：m/s ） 【思路点拨】对速度函数积分即可得物体A 所走过的路程，从而根据题意建立方程进行求解。

【解析】设A 追上B 时,所用的时间为0t 依题意有B 5A S S =+即20(31)105t t t dx tdx +=+⎰⎰，3200055t t t +=+，22000(1)5(1)t t t +=+，0t =5 (s)所以 A S =2055t +=130 (m)因此5秒后两物体相遇，此时物体A 走过了130米。

【总结升华】利用定积分解决物理问题，分清运动过程中的变化情况是解决问题的关键。

应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。

举一反三：【变式】一辆汽车的速度-时间曲线如图1-5-3-9，求该汽车在这1 min 内行驶的路程。

【答案】由图象可得3 [0,10)()30 [10,40)1.590 [40,60]t t v t t t t ∈⎧⎪=∈⎨⎪-+∈⎩，由变速直线运动的路程公式可得10406010403d 30d ( 1.590)d S t t t t t =++-+⎰⎰⎰6010402210040333090135024t t t t ⎛⎫=++-+= ⎪⎝⎭。

故该汽车在1 min 内行驶的路程是1350 m 。

类型三、求变力做功例4. 一物体在变力236()(N)F x x =作用下沿坐标平面内x 辆正方向由x=8处运动到x=18处，求力()F x 做的功。

【思路点拨】对变力F 进行定积分即可得变力所作的功。

【解析】 如右图，阴影部分的面积即()F x 所做的功。

1818128836d 36S x x x -==-⎰1195(3618)(368)(2)22--⎛⎫=-⋅--⋅=---= ⎪⎝⎭， ∴()F x 做的功5J 2W =。

【总结升华】求变力作功问题，一般利用定积分加以解决，但要注意寻找积分变量与积分区间。

举一反三：【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例5】 【变式】求证： 把质量为m （单位kg ）的物体从地球的表面升高h （单位：m ）处所做的功W = G ·()Mmhk k h +，其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径．【答案】 根据万有引力定律，知道对于两个距离为r ，质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力f 为f = G ·122m m r ，其中G 为引力常数． 则当质量为m 物体距离地面高度为x （0≤x ≤h ）时，地心对它有引力f (x ) = G ·2()Mmk x +故该物体从地面升到h 处所做的功为0()h W f x =⎰d x =20()h Mm G k x ⋅+⎰·d x = GMm 21()h k x +⎰dx = GMm 01()|hk x -+ =11()()MnhGMm G k h k k k h -+=⋅++． 类型四、定积分的综合应用例5. 在曲线y=x 2（x ≥0）上某一点A 处作一切线，使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112，求： （1）切点A 的坐标。

（2）过切点A 的切线方程。

【思路点拨】切线的斜率即是函数在切点处的导数值,再由积分式算出围成图形的面积。

【解析】 如图，设切点A （x 0，y 0），由y ＇=2x 知过A 点的切线方程为y ―y 0=2x 0(x ―x 0)，即2002y x x x =-。