直线与圆相关的最值问题常用的处理方法圆的轨迹问题在江苏高考中是常考的内容之一，常常与向量、直线相结合考查，有一定的难度，题型从填空题到解答题不固定。

【母题】（2018年苏州市第一中学高二上期中考试）平面直角坐标系xOy 中，若直线032:=+--k y kx l 上存在点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1:22=+y x O 依次交于B A 、，满足AB PA =，则k 的取值范围为 .一、与圆相关的最值问题的联系点1.1 与距离有关的最值问题在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会出现一些最值问题，如距离最小，最大等.这些问题常常联系到平面几何知识，利用数形结合思想可直接得到相关结论，解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.常见的结论有：（1）圆外一点A 到圆上距离最近为AO r -，最远为AO r +；（2）过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；（3）直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离d r +，最近为d r -； （4）过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积. （5）直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；（6）两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.【例1】 已知圆C 的方程为：)0()2()3(222>=-+-r r y x ，若直线33=+y x 上存在一点P ，在圆C 上总存在不同的两点N M ,，使得点M 是线段PN 的中点，则圆C 的半径r 的取值范围为 .【变式1】（2015届淮安高三三模第14题）在平面直角坐标系中，圆，圆．若圆上存在一点，使得过点可作一条射线与圆依次交于点，，满足，则半径的取值范围是_______.【变式2】 过点()1,2M 的直线l 与圆C ：()()223425x y -+-=交于,A B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程是 ．【变式3】（2015江苏高考第10题）在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。

1.2 与面积相关的最值问题与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解.【例2】 在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为 ．【变式1】设，若直线与轴相交于点，与轴相交于点，且与圆相交所得弦的长为，为坐标原点，则面积的最小值为 ．二、与圆相关的最值问题常用的处理方法x y O 1C :()()221625x y ++-=2C :()()2221730x y r -+-=2C P P 1C A B 2PA =AB r ,m n R ∈10mx ny +-=x A y B l 224x y +=2O ABO ∆2.1 数形结合法处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解.【例3】已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求：(1)yx 的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．【变式1】（2017江苏高考第13题）在平面直角坐标系中,点在圆上,若则点的横坐标的取值范围是 .【变式2】（江苏2012、12）坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ．2.2 隐形圆1、有些题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题中，要通过分析、转化、发现圆（或圆的方程），从而利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题。

2、常见解题策略（1）利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆；（2）动点P 与两定点B A ,连线的张角是︒90（01=⋅-=⋅→→PB PA k k PB PA 或）确定隐形圆； （3）两定点B A ,与动点P 满足)(R PB PA ∈=⋅→→λλ确定隐形圆；xOy (12,0),(0,6),A B -P 2250O x y +=：20,PA PB ⋅≤P（4）两定点B A ,与动点P 满足)0(22>=+λλPB PA 确定隐形圆；（5）两定点B A ,与动点P 满足)1,0(≠>=λλλPBPA确定隐形圆； （6）由圆周角的性质确定隐形圆。

【例4】已知B 、A 是圆1:221=+y x C 上的动点，3=AB ，P 是圆1)4()3(:222=-+-y x C 上的动点，则→→+PB PA 的取值范围为 .【变式1】已知圆4)4(:22=-+y x C 和点)2,2(Q ，过点)3,0(P 作直线l 交于B 、A 两点，则→→+QB QA 的取值范围为 .【变式2】若2, AB AC ==，则ABC S ∆的最大值 ．【变式3】在ABC 中，已知AB AC =，D 是AB 中点，若2CD =，则ABC 面积的最大值是 ．【变式4】已知平面直角坐标系上一点(2,0)Q 和圆22:(2)4C x y ++=，动点P 到圆C 的切线长与PQ 的，求动点P 的轨迹方程．【变式5】已知圆221:(2)4C x y -+=及222:(2)4C x y ++=．点P 是平面直角坐标系xOy 内一点，过点P 分别作两圆1C ，2C 的切线，切线长分别为,m n ，若mnP 的轨迹方程．【变式6】已知圆()222:0O x y r r +=>和圆()()22:4318C x y -++=，对于圆O 上任意一点P ，圆C上均存在两点,A B ，使得0PA PB <，则r 的取值范围是 ．【变式7】已知圆()222:0O x y r r +=>，直线4x y +=与坐标轴分别交于,A B 两点，若圆O 上存在点P ，使得10PA PB =，则r 的取值范围是 ．【变式8】在平面直角坐标系xoy 中，过点()1,0A -向直线:20l mx y m +-+=作垂线，垂足为M ，则点M 到点()2,3N 的距离的最大值为 ．【变式9】在平面直角坐标系xoy 中，若与点()2,2A 的距离为1且与点(),0B m 的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围为 ．【变式10】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:40C x y x +-=及点(1,0)A -，(1,2)B ．在圆C 上是否存在点P ，使得2212PA PB +=？若存在，求点P 的个数；若不存在，说明理由．【变式11】（江苏2013、17）如图，在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在上．xOy )3,0(A 42:-=x y l C 1l（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程； （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．【变式12】（2017南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行． （1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈5.7446≈） （2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．课后练习1、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1)2()(:22=+-+-a y a x C ，点)2,0(A ，若圆C 上存在点M ，满足1022=+MO MA ，则实数a 的取值范围为 ．C 1-=x y A C C M MO MA 2=C a 领海 AB北30° 公海l2、 已知圆1:22=+y x O 吗，则圆1)4()(:22=+-+-a y a x M ，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为B A 、，使得︒=∠60APB ，则实数a 的取值范围为 ．3、在平面直角坐标系xOy 中，已知点)1,2(),0,1(Q P -，直线0:=++c bx ax l ，其中实数c b a ,,成等差数列，若点P 在直线l 上的射影为H ，则线段QH 的取值范围为 ．4、设圆916:22=+y x O ，直线083:=-+y x l ，点l A ∈，使得圆O 上存在点B ，且︒=∠30OAB （O 为坐标原点），则点A 的横坐标的取值范围为 ．5、已知圆1:22=+y x C ,点),(00y x P 是直线0423:=-+y x l 上的动点,若圆C 上总存在不同的两点B A ,,使得OP OB OA =+,则0x 的取值范围为 .6、已知直线:90l x y +-=和圆22:228810M x y x y +---=，点A 在直线l 上，,B C 为圆M 上两点，在ABC ∆中，45BAC ∠=︒，AB 过圆心M ，则点A 的横坐标的取值范围为 ．7、已知圆1)2(:22=+-y x C ，直线01=++y x 上存在点P 使得经过P 直线l 与圆C 交于B A ,两点，且点A 为PB 中点，则点P 的横坐标0x 的取值范围为 ．8、在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为 ．9、在平面直角坐标系xOy 中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =，则实数k 的最小值为 ．。