高二数学推理与证明试题答案及解析1.观察以下等式：sin230°＋cos260°＋sin 30°·cos 60°＝，sin240°＋cos270°＋sin 40°·cos 70°＝，sin215°＋cos245°＋sin 15°·cos 45°＝.…写出反映一般规律的等式，并给予证明．【答案】sin2α＋cos2(α＋30°)＋ sin α·cos(α＋30°)＝【解析】反映一般规律的等式是(表述形式不唯一)：sin2α＋cos2(α＋30°)＋ sin α·cos(α＋30°)＝.证明如下：sin2α＋cos2(α＋30°)＋sin α·cos(α＋30°)＝sin2α＋(cos α·cos 30°－sin α·sin 30°)2＋sin α·(cos αcos 30°－sin α·sin 30°)＝sin2α＋2＋sin α ·cos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＋sin2α－sin α·cos α＋sin α·cos α－sin2α＝(sin2α＋cos2α)＝.2.观察下列恒等式：∵∴tanα－＝－①∴tan2α－＝－②tan4α－＝－③由此可知：tan＋2tan＋4tan－＝()A．－2B．－4C．－6D．－8【答案】D【解析】根据题意，由于观察下列恒等式：∵∴tanα－＝－①∴tan2α－＝－②tan4α－＝－③由此可知：tan＋2tan＋4tan－=2tan＋4tan-= -8tan=-8，故答案为D.【考点】归纳推理点评：主要是考查了归纳推理的运用，属于基础题。
3.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面都为正三角形的什么位置？（）A．正三角形的顶点B．正三角形的中心C．正三角形各边的中点D．无法确定【答案】B【解析】根据题意，由于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出：正四面体的内切球切于四面都为正三角形的中心，故可知答案为B.【考点】类比推理点评：主要是考查了类比推理的运用，属于基础题。
4.已知：，.由以上两式，可以类比得到：_____.【答案】【解析】由，.可类比得到，7个奇数的和等于。
即。
【考点】类比推理点评：简单题，类比推理是由特殊到特殊的推理.注意观察得到“结论性的”东西。
5.用反证法证明命题“若a、b∈N，ab能被2整除，则a，b中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是。
【答案】a，b都不能被2整除。
【解析】反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被2整除”的反面是：“a，b都不能被2整除”，故应假设 a，b都不能被2整除，故答案为a，b都不能被2整除。
【考点】反证法点评：本题考查用反证法证明命题，应假设命题的反面成立．6.有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：第1组含有一个数{1}，第2组含两个数{3,5}；第3组含三个数{7,9,11}；…试观察每组内各数之和与其组的编号数n的关系为()．A．等于n2B．等于n3C．等于n4D．等于n(n＋1)【答案】B【解析】由题意，1=13，3+5=23，7+9+11=33，故可得每组内各数之和与其组的编号数n的关系为n3，故选B．【考点】归纳推理点评：简单题，通过归纳所给条件的共同特点，得出一般规律。
7.下列推理是归纳推理的是（）A．A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,得P的轨迹为椭圆B．由a1=a,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2+y2=r2的面积πr2,猜想出椭圆的面积S=πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇【答案】B【解析】A项是给出椭圆的定义，故不受归纳推理；C、D两项是类比推理。
故选B。
【考点】归纳推理点评：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.8.已知a，b，c都是正数，则三数（）A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2【答案】D【解析】假设，则而，所以矛盾，则三数至少有一个不小于2。
故选D。
【考点】反证法点评：反证法是先假设结论的反面成立，再进行反驳。
当结论无法从正面得到证明时，常用此种方法。
9.用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝ (n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1，左端需要增加的代数式为（）A．2k＋1B．2(2k＋1)C．D．【答案】B【解析】从n＝k到n＝k＋1，右边从变为，增加的代数式是2(2k＋1)。
故选B。
【考点】数学归纳法点评：本题用到的数学归纳法，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
若要证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤：（1）证明当n取第一个值时命题成立。
对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当n=k（k≥，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥），命题P(n）都成立。
10.当时，（1）求（2）猜想与的关系，并用数学归纳法证明。
【答案】（1），，，（2）=，理由见解析【解析】解：（1），，（2）猜想：即：（n∈N*）下面用数学归纳法证明n=1时，已证S1=T1假设n=k时，Sk =Tk（k≥1，k∈N*），即：则由①，②可知，对任意n∈N*，Sn =Tn都成立.【考点】数学归纳法点评：本题用到的数学归纳法，在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立。
若要证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤：（1）证明当n取第一个值时命题成立。
对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当n=k（k≥，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
综合（1）（2），对一切自然数n（≥），命题P(n）都成立。
11.因为对数函数y=是减函数（大前提），而y=是对数函数（小前提），所以y=是减函数（结论）”。
上面推理是（）A．大前提错，导致结论错。
B．小前提错，导致结论错C．推理形式错，导致结论错。
D．大前提和小前提都错，导致结论错。
【答案】A【解析】解：当a＞1时，对数函数y=loga x是增函数，当0＜a＜1时，对数函数y=logax是减函数，故推理的大前提是错误的,故选A．【考点】演绎推理点评：本题考查演绎推理，考查三段论，属于基础题．12.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误【答案】A【解析】由于平行于平面的直线可与平面内的直线异面，所以“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线”错误，因而大前提错误。
故选A。
【考点】演绎推理点评：演绎推理包括三部分：大前提、小前提和结论，大前提是原理，必须保证大前提正确，结论才会正确。
13.用反证法证明：如果，那么。
【答案】如下【解析】证明：假设，则容易看出，下面证明.要证明：成立，只需证：成立，只需证：成立，上式显然成立，故有成立.综上，，与已知条件矛盾.因此，.【考点】反证法点评：反证法是从要证明的结论的反面入手，当否定了反面，正面就能成立。
当问题从正面无法解决时，常用反证法。
14.观察下列各式：，，，，，，则A．28B．123C．76D．199【答案】B【解析】观察各式的和：1,3,4,7,11呈现的规律是钱2个数的和等于下一个数，依次类推后面的数为18,29,47,76,123【考点】归纳推理点评：归纳题目要根据已知条件观察其规律，依据规律推测某一项的值15.下面说法正确的有 ( )（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。
A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实和推理的形式是否正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论。
解：演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，故（1）正确，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决与前提是否真实，推理的形式是否正确，故（2）不正确，演绎推理一般模式是“三段论”形式，即大前提小前提和结论，故（3）正确，演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形有关，（4）正确，总上可知有3个结论是正确的，故选C【考点】演绎推理点评：本题考查演绎推理的意义，演绎推理是由一般性的结论推出特殊性命题的一种推理模式，演绎推理的前提与结论之间有一种蕴含关系16.如果复数在复平面内的对应点在第二象限，则A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，由于复数在复平面内的对应点在第二象限，则实部小于零，虚部大于零，则可知,选D【考点】复数的几何意义点评：理解复数的概念与坐标的对应关系是解题的关键，属于基础题。
17.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）A．假设三内角都不大于60度B．假设三内角都大于60度C．假设三内角至多有一个大于60度D．假设三内角至多有两个大于60度【答案】B【解析】反证法首先假设所要证明的结论的反面成立，本题中内角中至少有一个不大于60度的反面是三内角都大于60度，因此应反设三内角都大于60度【考点】反证法点评：反证法解证明题的步骤：1，假设要证明的结论的反面成立，2，由假设出发推出与已知或定理发生矛盾的结果，3，否定假设即说明原结论成立18.根据下边给出的数塔猜测1234569+8=（）19+2=11129+3=1111239+4=111112349+5=11111A．1111110B．1111111C．1111112D．1111113【答案】C【解析】根据已知条件可知，19+2=11，129+3=111，1239+4=1111，12349+5=11111，则结论中前面都是1，而且加上几就是几个1，那么可知1234569+8=1111112，故选C.【考点】合情推理点评：主要是利用合情推理来归纳猜想结论，属于基础题。