初二数学竞赛测试题 班级 姓名_____________________ 一、选择题(每小题4分，共32分)1．如果a ＞b,则2a －b 一定是（ C ）A 、负数B 、非负数C 、正数D 、非正数。

2．已知x ﹥0,y ﹤0,∣x ∣﹤∣y ∣,则x+y 是（ C ）A 、零B 、正数C 、负数D 、不确定。

3．如图，△ABC 中，∠B=∠C ，D 在BC 边上， ∠BAD=500，在AC 上取一点E ，使得∠ADE=∠AED ，则∠EDC 的度数为（ B ）A 、150B 、250C 、300D 、5004．满足等式2003200320032003=+--+xy y x x y y x的正整数对（x,y ）的个数是（ ）A 、1B 、2C 、3D 、45．今有四个命题：①若两实数的和与积都是奇数，则这两数都是奇数。

②若两实数的和与积都是偶数，则这两数都是偶数。

③若两实数的和与积都是有理数，则这两数都是有理数。

④若两实数的和与积都是无理数，则这两数都是无理数。

其中正确命题个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、46．若M=3x 2-8xy+9y 2-4x+6y+13（x,y 是实数），则M 的值一定是（ ）A 、正数B 、负数C 、零D 、整数7．设A=48)41001441431(222+++-+-⨯ 则与A 最接近的正整数是（ ）A 、18B 、20C 、24D 、258.如果关于x 的方程k(k+1) (k-2)x 2－2(k+1) (k+2)x+k+2=0,只有一个实数解,则实数k 可取不同的值的个数为( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)5.二.填空题(每小题5 分共30分)9．如图,有一块矩形ABCD,AB=8,AD=6.将纸片折叠,使得AD 边落在AB 边上,折痕为AE,再将△AED 沿DE 向上翻折,AE 与BC 的交点为F,则△CEF 的面积为 .10．关于x 的方程∣∣x-2 ∣－1∣=a 有三个整数解，则a 的值是 .11．已知关于x 的方程a 2x 2－(3a 2－8a)x+2a 2－13a+15=0(其中a 是非负整数)，至少有一个整数根，那么a= .12．若关于x 的方程13213+-=++x x ax x 有增根x=－1,则a= . 13．已知三个质数a,b,c 满足a+b+c+abc=99,那么a c cb b a -+-+-= .14.在一个圆形时钟的表面,OA 表示秒针,OB 表示分针(O 为两针的旋转中心).若现在时间恰好是12点整,则经过 秒钟后,△OAB 的面积第一次达到最大.三、解答题：15．如图已知△ABC 中，∠ACB=900, AC=BC ，CD ∥AB ，BD=AB ，求∠D 的度数。

（13分）16.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠D=900,BC=CD=12, ∠ABE=450,若AE=10,求CE的长. （15分）17.欣欣农工公司生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨的利润涨至7500元。

欣欣农工公司收获这种蔬菜140吨，该公司的生产能力是如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16 吨，如果进行精加工，每天可以加工6 吨，但两种加工方式不能同时进行。

受季节等条件限制，公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕，因此，公司研制了三种可行方案：(1)将蔬菜全部进行粗加工；(2)尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售。

(3)将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好用15天完成。

你认为选择哪种方案获利最多？为什么? （15分）18．已知,如图,梯形ABCD中,AD∥BC,以腰AB、CD为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF，设线段AD的垂直平分线 交线段EF于点M.求证:M是EF的中点. （15分）参考答案：一、 CCBB4.左边因式分解：（0)2003)(2003=++-y x xy ， 而2003++y x >0,所以02003=-xy ,xy=2003,因为2003是质数，必有x=1,y=2003或x=2003,y=15.A6.AM=2(x-2y)2+(x-2)2+(y+3)2≥0且x-2y,x-2,+3不同时为0，所以M>07.D ．对于正整数n ≥3,有)2121(41412+--=-n n n 所以 A=48)41001441431(222+++-+-⨯ =48)]10216151()981211[(41 ++-+++⨯ =12)]1021101110019914131211[(----+++⨯ =25-12)102110111001991(+++⨯ 因为12)102110111001991(+++⨯<12994⨯<21 所以与A 最接近的数为25. 8.C k=0,k=21,△=0,得k=-2,k=-52. 9.由折叠过程可知：DE=AD=6，∠DAE=∠CEF=450，所以△CEF 是等腰直角三角形，且CE=8-6=2，所以S △CEF =2；10.1；11、1，3，5；12、3；13、三质数不可能都是奇数，则必有一个为偶质数2；若a=2，代入得b+c+2bc=97,同理b,c 不可能都奇，若b=2,则c=19,所以原式为34；14、设OA 边上的高为h ，则h ≤OB,当OA ⊥OB 时，等号成立，此时△OAB 的面积最大；设t 秒时，OA 与OB 第一次垂直，又因为秒针1秒钟旋转6度，分针1秒钟旋转0.1度，于是（6-0．1）t=90，解得：t=591515. 15、解：作DE ⊥CD 于E ，CF ⊥AB 则DE=CF=21AB=21BD ，故∠D=300。

16．延长DA 至，使BM ⊥BE ，过B 作BG ⊥AM ，G 为垂足，知四边形BCDG 为正方形，所以BC=BG ，∠CBE=∠GBM∴Rt △BEC ≌Rt △BMG ∴BM=BE ，∠ABE=∠ABM=450∴△ABEC ≌△ABM ∴AM=AE=10设CE=x ，则AG=10-x ，AD=12-（10-x ）=2+x,DE=12-xAE 2=AD 2+DE 2 ∴100=(2+x)2+(12-x)2 即x 2-10x+24=0解得；x 1=4, x 2=6 ∴CE=4或6。

17．解(1)设将蔬菜全部进行粗加工,获利W 1元则W 1=140⨯4500=630000元.(2)设尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售, 获利W 2元。

则W 2=15⨯6⨯7500+(140-15⨯6) ⨯1000=72500元.(3) 设蔬菜进行精加工x 天，其余蔬菜进行粗加工y 天,获利W 3元则⎩⎨⎧=+=+14016615y x y x 解得:⎩⎨⎧==510y x W 3=5⨯16⨯4500+10⨯6⨯7500=855000元故选择方案三获利最多.18．作EP ⊥DA ，FQ ⊥DA ，AK ⊥BC ，DR ⊥BC ，可知AK=DR ，AS=SD 。

Rt △ABK ≌Rt △AEP AP=AK同理：Rt △DRC ≌Rt △DQF DR=DQ S 是PQ 的中点PS=QS ∵EP ∥SM ∥QF ∴EM=MF 即M 是EF 的中点。

初二数学竞赛试题 一选择题（每小题5分，共45分）1．a.b.c 是正整数，a ＞b 且a 2-ab-ac+bc=7.则a-c 等于(D )A. -1B. –1或-7 C . 1 D . 1或72. 已知a ≠0. b ≠0且a 1+b1=4 则b ab a b ab a 323434-+-++等于（ B ） A ．411- B. 1019- C. 0 D. 1019 3．对于非负数a 1.a 2…a 5满足M=(a 1+a 2+a 3+a 4)(a 2+a 3+a 4+a 5)N=(a 1+a 2+a 3+a 4+a 5)(a 2+a 3+a 4) ,则（B ）A. M ＞NB. M ≥NC. M ＜ND. M ≤N4．下列各图是纸箱厂剩下的废纸片，全是由全等的正方形组成的图形，为了充分利用这5DE 为两个顶点作位置不同的三角形，使所 A 8 个 B 6个 C 4个 D2个 6．有下列四个命题：（1） （2） （3）（4） 两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形 其中正确的是(D ) A.(1) (2) B. (2) (3) C. (3) (4) D.(4) (1)7.若x =a 1-a ，则24x x +的值为（B ） A ． a-a 1 B. a 1-a C. a+a1 D.不能确定 8.如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的 第三边所对的角（D ）A ．相等 B.不相等 C.互余 D.互补或相等9 .已知实数a 满足 2000-a +2001-a =a,则a-20002的值为（C ）A ．1999 B.2000 C.2001 D.2002二．填空题（每题5分，共40分）10. 已知A=3232--+,化简后，A=211．设x=n n nn ++-+11,y=n n nn -+++11.且19x 2+143xy+19y 2=2005，则整数n=_2______.12.若m 适合于关系式y x y x m y x m y x --+-=-++--+199.19932253，则m=_201__13．满足23)31(2x x --=-的所有整数x 的和是___5_____14．在△ABC 中，∠C=90°，BC=40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D,且DC ：DB=3：5则点D 到AB 的距离是__15______15．在△ABC 中，AB=5，AC=9，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是_2＜AD ＜7___16．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且AE=1（AB+AD ），则∠ABC+∠ADC=_180°________ 17．张家村、李家村和杨家村三个村庄的位置不在同三．三所学校分别记作A 、B 、C ，体育场记作O ，它是△点，O 、A 、B 、C 跑遍各校再回到O 点，指出哪条路线跑的距离最短（已知AC ＞BC ＞AB ），并说明理由(9分)解：O →A →B →C →O （或 O →C →B →A →O ）四．设a+b+c+3=2(a +11-++c b ),求a 2+b 2+c 2的值(8分) 解：a=1,b=0.c=2 . a 2+b 2+c 2=5五．已知c b a x --+a c b x --+b c a x --=3，且a 1+b 1+c1≠0，求（x-a-b-c 分）解: （x-a-b-c ）2005=0六、如图，,已知AD ∥BC,∠EAD=∠EAB,∠EBA=∠EBC,直线DC 过E 交AD 于D,交BC 于C,求证： AD+BC=AB （9分）三、练习1． 分解因式：①x 4+x 2y 2+y 4 ②x 4+4 ③x 4－23x 2y 2+y 42. 分解因式： ①x 3+4x 2－9 ②x 3－41x+30③x 3+5x 2－18 ④x 3－39x －703. 分解因式：①x 3+3x 2y+3xy 2+2y 3 ②x 3－3x 2+3x+7③x 3－9ax 2+27a 2x －26a 3 ④x 3+6x 2+11x+6⑤a 3+b 3+3(a 2+b 2)+3(a+b)+24. 分解因式：①3x 3－7x+10 ②x 3－11x 2+31x －21③x 4－4x+3 ④2x 3－5x 2+15. 分解因式：①2x 2－xy －3y 2－6x+14y －8 ②（x 2－3x －3）（x 2+3x+4）－8③（x+1）(x+2)(x+3)(x+4)－48 ④（2x －7）(2x+5)(x 2－9)－916．分解因式： ①x 2y 2+1－x 2－y 2+4xy ②x 2－y 2+2x －4y －3③x 4+x 2－2ax －a+1 ④（x+y ）4+x 4+y 4⑤（a+b+c ）3－（a 3+b 3+c 3）7. 己知：n 是大于1的自然数 求证：4n 2+1是合数8．己知：f(x)=x 2+bx+c, g(x)=x 4+6x 2+25, p(x)=3x 4+4x 2+28x+5且知f(x)是g(x)的因式，也是p(x)的因式求：当x=1时，f(x)的值练习题参考答案1. 添项，配成完全平方式(仿例3)2.拆中项，仿例13. 拆项，配成两数和的立方①原式=(x+y)3+y 3……③原式=(x-3a)3+a 3⑤ 原式=(a+1)3+(b+1)34. 用因式定理，待定系数法，仿例5，6④x=21时，原式=0，有因式2x －1 5. 看着是某代数式的二次三项式，仿例7④原式=（2x-7）(x+3)(2x-5)(x-3)-91=(2x 2-x-8)(2x 2-x-28)=……6. 分组配方③原式=(x 2+1)2-(x+a)2…… ④把原式用乘法展开，合并，再分解⑤以a=－b 代入原式＝0，故有因式a+b7. 可分解为两个非1的正整数的积8. 提示g(x),p(x)的和，差，倍仍有f(x)的因式，3g(x)-p(x)=14(x 2-2x-5)与f(x)比较系数……，f(1)=4一、内容提要1．定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整除。