例
解线性方程组
方程组的增广矩阵 一一对应
2 x2 x3 1 x1 x2 x3 0 2 x x x 2 1 2 3
方程之间的变换
0 2 1 1 1 1 1 0 2 1 1 2
矩阵的行之间的变换
一一对应
定义 下面三种变换称为矩阵的行（列）初等变换:
由定理1.4得出求逆矩阵的另一种方法:
原理:
P l P
1 1 l 1
P l P
1
1 l 1
P IA
1 1
1
1 1 P l P l 1
1 P 1 A I
P
1 1
A
I I
行

A
1

实际做法:
A
I I
A1
例
求下列矩阵的逆
解
1 2 2 0 0 1 3 4 4 1 0 0 r1 r3 2 2 1 0 1 0 A I 2 2 1 0 1 0 1 2 2 0 0 1 3 4 4 1 0 0
注意： 在这两种求逆矩阵的过程中，
初等行变换和初等列变换不能 混用。
习题1 P39 1.7(2) 1.8(2）
1 rj ri I ci c j 注意！
1


1
Rij ( ) C ji ( ) 1
结论：初等矩阵可逆, 并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵
R Rij
1 ij
( Ri ( )) Ri ( )
1 2 3 0 1 2 1 5 9
用初等矩阵左乘 ( 右乘 ) 一个矩阵 , 相当于对该 矩阵施行了使单位阵变成这个初等矩阵的同一 行(列)的初等变换, 即
（１）
Rij A 对换A的第i行和第j行, BCij 对换B的第i列和第j列;
（２） （３）
Ri (k ) A A的第i行乘k (k 0), BCi (k ) B的第i列乘k (k 0);
r1 1r3 r2 3r3
●课堂练习：
1、利用矩阵的初等变换求下列矩阵的逆矩阵
1 2 3 (1) A 2 2 1 3 4 3
2、利用初等变换求解线性方程组
x1 2 x2 3 x3 1 2 x1 2 x2 5 x3 2 3 x 5 x x 3 2 3 1
1 ri rj ci c j
对调I 中的第 i, j 列,得到的矩阵记为 Cij
0 1 1 1
1
I
0
1
Rij Cij
(2) 用不为零的数λ 乘以I 中的第i行,得到的矩阵记为Ri ( ) 用不为零的数λ乘以I 中的第 i 列,得到的矩阵记为 Ci ( )
●答案
3 2 1 1 1、（1） A 3 / 2 3 5 / 2 1 1 1
2、
x1 1; x2 x3 0
同理可以用初等列变换求逆矩阵
A I
I A 1
1 b12 0 1 0 0
b1n d2n 1
1 0 0
0 1 0
……
定理1.4
Ａ为可逆方阵的充分必要条件是存在有限个初等矩阵
P ,P 使 1, P 2, l, 证明：（必要性）
A PP 1 2
P l
因为Ａ为可逆方阵, 故存在初等矩阵 Q1 , Q2 , , Ql 使得 Q1 Q2 Ql A I
得到.
同学们可以验证一下.
●小结
矩阵A左乘一个初等矩阵，相当于将A作相应的初等行变换；
右乘一个初等矩阵，相当于将A作相应的列初等变换。即如下式
子成立：
（1）
（2）
（3） A
rj k ri
Rij (k ) A
ci kc j A AC ji (k )
定理1.3 可逆矩阵A可以经过有限次初等行变换化为单位阵I， 即可逆矩阵A与单位矩阵I 等价.
(1)
m个方程，
n个未知数
对此线性方程组,可做如下三种同解变换: (1) 互换两个方程的位置; (2) 把某一个方程的两边同乘以一个非零常数c; (3) 将某一个方程加上另一个方程的k倍. 这三种变换都称为初等变换.
这三种 变换都 是可逆 的
设方程组 (1) 经过某一初等变换后变为另一个方程组, 则新方程组与原方程组同解.
1
1

( Rij ( )) Rij ( )
1
定理1.2 性质1.5
有限个初等矩阵的乘积必可逆.
用初等矩阵左乘某矩阵,其结果等价于对该矩阵作 相应的初等行变换;用初等矩阵右乘某矩阵,其结果等效于对该 矩阵作相应的初等列变换. 例
1 0 0 1 2 3 1 2 3 R12 (1) A 1 1 0 1 3 5 0 1 2 0 0 1 1 5 9 1 5 9 1 2 3 r2 (1) r1 A 1 3 5 1 5 9
证明
a11 a12 a21 a22 A a a n1 n 2
a1n a2 n ann
1 b12 b21 b22 b b n1 n 2 b1n d2n d nn d1n d2n 1
I
ri ci
1
1

1
Ri ( ) Ci ( ) 1
(3) 以数λ 乘以I 中的第i行加到第j行去,得到的矩阵记为Rij ( )
以数λ乘以I 中的第j列加到第i列去,得到的矩阵记为 C
ji
( )
(Ql
1
Q2 Q )Q1 Q2 A Ql -1 Q21Q11
1
1 1
Ql A Ql
1
Q2 Q I
1
1 1
故
即 A P 1 P 2
P IA
1 1
1 1 1
P l
现在给出求逆阵的另一种方法:
原理:
因为
P l P
1
1
1 l 1
P l P
1 l 1
P A I
1.2.3 初等变换与逆矩阵
第i、j列变
第i列变
第j列变
c j kci
例 利用矩阵的行初等变换解方程组
解 将方程组的增广矩阵作行初等变换
0
3
3 2
0
1
2 3
续解
0
0
3
7
得同解方程组
原方程组的解为
1.2.2 初等矩阵及其性质
初等矩阵有三种类型:
定义 由单位阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
(1) 对调I 中的第 i, j 行,得到的矩阵记为Rij
a13 a23 a33
a14 a24 a34
我们将第二列和第三列交换一下, 可以用
a11 a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
1 0 0 0
0 0 1 2) r1 r3 ( 3) r1
1 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 2 ) r2 ( 1 2 3 5 0 2 0 3 2 5 0 1 0 2 1 2 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1
矩阵初等变换的符号表示
行变换
Row
列变换
Column

交换i, j两行
ri rj
k ri
第i、j行变
第 i 行乘数K
第 i行乘数K后加 到第 j 行上去 交换i, j两列 第 i 列乘数K 第 i 列乘数K后加 到第 j 列上去
第i行变
第j行变
r j kri
ci c j
k ci
(1) 交换矩阵的两行（列）; (2) 以任意非零数λ乘以矩阵的某一行（列）的每一个元素; (3) 某一行（列）的每个元素乘以同一常数加到另一行（列） 的对应元素上去。 矩阵的行初等变换、列初等变换统称为矩阵的初等变换。
定义
若矩阵A经过有限次的初等变换后化为矩阵B，则 称矩阵A与B等价（equation），记为 A B
多媒体教学课件
华南农业大学理学院应用数学系
1.2 初等变换与初等矩阵
1.2.1 初等变换 1.2.2 初等矩阵及其性质
1.2.3 初等变换与逆矩阵
1.2.1 初等变换
a11 x 1 a12 x 2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 ........................................ am1 x 1 am 2 x 2 amn xn bm
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a14 a24 a34
a31 a32 a33 a34 a a a a 21 22 23 24 a a a a 11 12 13 14
而得到.
例
a11 a21 a 31
a12 a22 a32
b1n b2 n bnn 1 b12 0 1 0 0 b1n d2n d nn
1 0 0
b12 c22 cn 2
b1n c2 n cnn
1 0 0
b12 1 dn2