A A11
A12
A13
A14
A15 .
3
2.分块矩阵的运算规则 分块矩阵运算把握2点，第一，子块当元素看可运算， 第二，子块当矩阵看也可运算。如：
设矩阵A与B为同型矩阵，采用相同的分块法，有
A11 A1r A , A A sr s1
其中 Aij与 B ij 为同型矩阵，那么
第六讲时间： 年 月 日； 星期
教学目的 掌握等价概念，理解阶梯形、最简形和标准 作业
形矩阵。理解初等矩阵与初等变换的关系定 理，理解相应推论，会用初等变换求逆矩阵 和解方程组。
重点
难点 讲授方法
初等变换的代数化定理
初等变换与初等矩阵的关系 按照章节顺序讲授
讲授内容主 初等变换初等阵，分清左乘左边乘；左乘可 线 逆行变换，求逆还能解方程。子式定义求变 换
a12 a1n a 22 a 2 n a m 2 a mn a1n b1 a 2 n b2 , a mn bm
按分块矩阵的记法 B A | b, 或 B A, b a1 , a 2 ,, a n , b, 利用矩阵乘法，此方程组可记作
a12 a 22 am 2
a11 a 21 a m1
x1 x2 x , x n
b1 b2 b , b m
a11 a B 21 a m1
A11 A21 A . A 31 A 41
a11 a12 a 21 a 22 a a 32 31 a 41 a41
线性代数 第三章
a13 a 23 a 33 a43
a14 a 24 a 34 a44
a15 a 25 a 35 a45
（b）若 Ai 0 i 1,, s , 则 A 0, 并有
A11 O 1 A2 A 1 . O 1 As
线性代数 第三章
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第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵
同理，容易验证如下结论
0 0 若B B r 0 B2 0 B1 0 0
且子块
Bi i 1,2,3r
均可逆，则B可逆，且
0 0 Br1 0 0
B 1
0 0 B 1 1
1 Br 1
线性代数 第三章
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第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵
3.分块运算的作用
1.分块运算使得矩阵结构简单，利于诠释一些问题和概念
第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵
B11 B1r B , B B sr s1
A11 B11 A1r B1r A B . A B A B s1 sr sr s1
线性代数 第三章
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ai 1 x1 ai 2 x2 ain x2 bi
即
线性代数 第三章
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第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵
例1（2004、4）
0 1 0 设A 1 0 0 , B P 1 AP , 其 中P为3阶 可 逆 矩 阵 ， 则 B 2004 2 A2 __ 0 0 1 An A 0 分析：利用 0 B 0
练习册 第 17-21页 T1－5 其中交： P17－20， T1－3
内容概括
初等矩阵左右乘，变换成了乘逆阵，求逆还 能解方程。子式定义的秩初等行变换求
线性代数 第三章
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第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵
本次课讲：
第三章第一节和第二节
下次课讲：
第三章第三节第四节 下次上课时交作业第17页到第18页
线性代数 第三章
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第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵
一、分块矩阵——1.分块矩阵的概念
将矩阵 A用若干条纵线和横线分成许多小矩阵， 每一 个小矩阵称为 A 的子块， 以子块为元素的形式上的矩阵称为 分块矩阵 如
a11 a12 a 21 a 22 a a 32 31 a 41 a41 a13 a 23 a 33 a43 a14 a 24 a 34 a44 a15 a 25 a 35 a45
Ax b.
将B按列分块
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线性代数 第三章
第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵
若将系数矩阵 A 按行分成 m 块，则线性方程组可记作
1T b1 T 2 b2 x , b T m m
如
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm
记 A a ij
第六讲：分块矩阵、初等变换与初等矩阵
4.分块对角矩阵：设 A 为 n 阶矩阵，如果A的对角线分块 矩阵为方阵，且只在对角线上有非零子块，其余子块都为 零矩阵，即 A1
A A2 , As
其中 A1 , A2 ,, As 都是方阵， 那么称 A 为分块对角矩阵。 分块对角矩阵有下列性质： （a) A A1 A2 As ;
这就相当于把每个方程
iT x bi i 1,2,, m. 记作 若将系数矩阵 A 按列分成 n 块，则线性方程组可记作
x1 a1 , a2 ,, an x 2 b, x n x1 a1 x2 a 2 xn a n b,