1 2
9 r4 r3 4 3 r3 ( ) 4
1 0 0 0
1 2
1
1 1 1 3 0 0 1 0 0 0
4 2 B 3 0
一般地，对任何矩阵均可类似上例进行， 从而有以下定理 定理1 任何非零矩阵A (aij )mn可以只用
2.矩阵等价
如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B， 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B．
等价关系的性质： (1)反身性
A～ A
(2)对称性 若A～B,则B～A (3)传递性 若A～B, B～A则A～C 具有上述三条性质的关系称为等价．
2.2初等变换的应用与标准形
例1.对下列矩阵A实施初等行变换把A化成阶梯形矩 阵.
化成标准形。
从定理2可以看出，若A B, 则A与B有相同的标 准形.设A是n阶方阵，经初等变换后化成B，据行 列式的性质及初等变换的定义可知，当 | A | 0时
必有 | B | 0，当 | A | 0时必有 | B | 0，即初等变换 不改变矩阵的可逆性因此，对于 . n阶可逆方阵A， 它的标准形I 也可逆，故I 是n阶单位矩阵En；反之 若n阶方阵A的标准形I En，则A可逆，故我们又 有如下定理
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7
2 r1 r2 4 r3 2 4 9 1 1 2
1 2 1 1 1 2 3 1 1 Байду номын сангаас 6 9 7
4 2 2 9
1 1 2 1 2 1 1 1 2 3 1 1 3 6 9 7
2.1初等变换与矩阵等价
一. 初等（行/列）变换
定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
ri rj 1 对调两行（对调i , j 两行, 记作ri rj）； ; kri 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素 r kr （第 i 行乘 k , 记作 ri k） i j 3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行
初等行变换化成阶梯形矩阵。
例1中所得到的矩阵B,如再经过初等列变换， 还可将A化成更简单形式
例如， c2 c1
c3 2c1 c4 c1
B
1 0 0 0
c5 4c1
1 0 0 0
0
0
0
1 1 1 3 0 0 1 0 0 0
0 c3 c2 1 2 c4 c2 3 3 c5 2c2 0
1 4 1 1 2 r 5r 1 2 0 1 1 2 3 3 r 3r 2 0 5 5 3 6 4 0 3 3 4 3
1 0 0 0
1 4 1 1 1 2 3 4 0 0 4 3 0 0 3 9
定理3 n阶方阵A可逆的充分必要条件 是A的标准形是n阶单位矩阵，即A～E.
三、小结
1. 矩阵秩的概念
2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).
思考题
设 A 为任一实矩阵 , R( A A)与R( A)是否相等?
矩阵 I 称为矩阵 A 的标准形.
特点： I的左上角是一个单位矩阵，其余元素全
为零.
m n 矩阵 A 总可经过初等变换化为 标准形
Er I O
O O mn
此标准形由m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是 行阶梯形矩阵中非零行 的行数.
因此，我们有下面定理
定理2 任何非零矩阵A (aij )mn可以用初等变换
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 1 3 0 0
1 0 c5 3c4 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
c3 c4
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 I 0 0
T
思考题解答
答 相等.
因为对于任一实向量 x 0, 当Ax 0时,
必有AT Ax 0, 反之当AT Ax 0时, 有x T AT Ax 0
即
Ax Ax 0 Ax 0;
T
由此可知
T
Ax 0与AT Ax 0同解,
故 RA A R A.
对应的元素上去（第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj） .
同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)．
ci c j kci c kc j i
定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同． ri rj 逆变换 ri rj ; ri k 逆变换 ri ( 1 ) 或 ri k ; k ri krj 逆变换 r ( k )r 或 r kr . i j i j
4 2 2 9
r2 2 r1 1 1 2 1 4 r3 2 r1 0 3 3 1 6 r4 3r1 0 5 5 3 6
0 3 3 4 3
1 4 1 1 2 1 r2 (3) 0 1 1 2 3 0 5 5 3 6 0 3 3 4 3