2016—2017学年度第一学期期末学分认定考试高二数学（文科）试题（B ）第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在ABC ∆中，bc c b a++=222，则A 等于（ ） A.120°B. 60°C. 45°D. 30° 2.已知等差数列{}n a 满足124310,2a a a a +==+，则34a a +=A. 2B. 14C.18D. 403.设条件,021:≥+-x x p 条件0)2)(1(:≥+-x x q 。
则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件；D ．既不充分也不必要条件4.双曲线3x 2 －y 2＝3的渐近线方程是（ ） A ． y = ±3x B ． y = ±3x C ． y =±31x D ． y = ±33x 5.若,1>a 则11-+a a 的最小值是（ ） A. 2 B. a C. 3 D.1-a a 2 6.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为（ ）A ． 5 B. 3 C. 7 D. -87.若点A 的坐标是（3，2），F 是抛物线y 2=2x 的焦点，点P 在抛物线上移动，为使得|PA|+|PF|取得最小值，则P 点的坐标是（ ）A ．（1，2）B ．（2，1）C ．（2，2）D ．（0，1） 8.数列{}n a 的通项公式2=n a n n +，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（ ）A ．1011B ．910C ．1110D ．1211 9.若椭圆2211mx ny y x +==-与交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点连线的斜率为2，则mn 的值等于（ ）A. 33B.22C.3D. 2 10.已知椭圆+ =1（a ＞b ＞0）与双曲线﹣ =1 （m ＞0，n ＞0）有相同的焦点（﹣c ，0）和（c ，0），若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5 分，共25分.11.已知等差数列{}n a 的前三项为32,1,1++-a a a ，则此数列的通项公式为_______ .12.命题p ：0x ∃∈R ，200220x x ++≤的否定为___________．13.若x 是1+2y 与1-2y 的等比中项，则xy 的最大值为________14.抛物线2x ay =（0a ≠）的焦点坐标是___________． 15.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的标准方程为___________．三、解答题: 本大题共6小题，共75分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分） ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos cos 2cos a C c A b A +=.（1）求A ；（2）若7,2a b ==求ABC ∆的面积.17.（本小题满分12分）已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实根，命题q ：关于x 的不等式()()22110x m x m m -+++>对任意的实数x 恒成立，若“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数m 的取值范围．18.（本小题满分12分）设{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，已知121n n a S +=+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na 的前n 项和n H .19．（本小题满分12分）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)．（1）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．20．(小题满分13分) 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，长轴端点与短轴端点间的距离为5. （1）求椭圆C 的方程；（2） 过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于两点,E F ，O 为坐标原点，若OF OE ⊥，求直线l的斜率.21．（本小题满分14分）某公司今年年初用25万元引进一种新的设备，投入设备后每年收益为21万元。
该公司第n 年需要付出设备的维修和工人工资等费用n a 的信息如下图。
（1）求n a ；（2）引进这种设备后，第几年后该公司开始获利；（3）这种设备使用多少年，该公司的年平均获利最大？2016—2017学年度第一学期期末学分认定考试高二数学（文科）试题（B ）参考答案一、选择题 1. A 2. C 3. B 4. B 5. C 6. C 7. C 8. A 9. D 10. B二、填空题11．n a =2n －3 12.:p x ⌝∀∈R ，2220x x ++> 13.14 14. 1,04a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 15.221412x y -= 三、解答题16.（本小题满分12分）解：(1) cos cos 2cos a C c A b A += ∴sin cos sin cos 2sin cos A C C A B A +=即sin()2sin cos A C B A += ------3分又sin()sin A C B +=， ------4分 则1cos 2A =， ------5分 又0A π<<，∴3A π=------6分 (2) 由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-， 而7,2a b ==，3A π=， ---7分 得2742c c =+-，即2230c c --= ------9分因为0c >，所以3c =， ------10分故ABC ∆面积为133sin 2bc A =分 17.（本小题满分12分）解：命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实根， 费用(万元)年a n 42n 21240m ∴∆=->，解得2m >，或2m <-． …………3分命题q ：关于x 的不等式()()22110x m x m m -+++>对任意的实数x 恒成立， ()()241410m m m ∴∆=+-+<，解得1m <-． …………6分若“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，则p 与q 必然一真一假， …………8分 2,2,1,m m m ><-⎧∴⎨≥-⎩或或22,1m m -≤≤⎧⎨<-⎩ 解得2m >，或21m -≤<-． …………11分∴实数m 的取值范围是2m >，或21m -≤<-．…………12分18.（本小题满分12分）解：（1）121n n a S +=+，-121,(2)n n a S n =+≥∴112()2,(2)n n n n n a a S S a n +--=-=≥∴13,(2)n n a a n +=≥ -----------------------2分 ∴3q = -----------------------3分 对于121n n a S +=+令1,n =可得211213a a a =+=，解得11a =----------------5分∴13n n a -= -----------------------6分（2）13n n na n -=⋅ -----------------------7分21123333n n H n -=+⋅+⋅++⋅① 233323333n n H n =+⋅+⋅++⋅② -----------------------8分①-②得2113213333313n n n n n H n n ---=++++-⋅=-⋅------------------------10分 ∴211=344n n n H -⨯+ -----------------------12分 19.（本小题满分12分）解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2. ----------------------2分故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. ----------------------4分(2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ，----------------------5分由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x 得y 2＋2y －2t ＝0. ---------------------7分因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12. ---------------------8分 另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55， 可得|t |5＝15，解得t ＝±1. ----------------------10分 因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞， 所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0. ---------------------12分20.(小题满分13分)解：（1）由已知32c a =，225a b +=，…………………2分 又222a b c =+，解得24a =，21b =，…………………4分 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.…………………5分 （2）根据题意，过点(0,4)D 满足题意的直线斜率存在，设:4l y kx =+，…6分联立22144x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得22(14)32600k x kx +++=， ……………8分222(32)240(14)64240k k k ∆=-+=-，令0∆>，解得2154k >. …………………9分 设,E F 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则1212223260,1414k x x x x k k+=-=++， ………………10分 因为OF OE ⊥，所以0OE OF ⋅=，即12120x x y y +=，…………………11分 所以21212(1)4()160k x x k x x ++++=，所以222215(1)32401414k k k k⨯+-+=++，解得19k =±. …………………12分 所以直线l 的斜率为19k = . …………………13分21.（本小题满分14分）解：（1）由题意知，每年的费用是以2为首项，2为公差的等差数列，求得：12(1)2n a a n n =+-= ┄┄┄┄┄┄2分（2）设纯收入与年数n 的关系为f(n),则：2(1)()21[22]2520252n n f n n n n n -=-+⋅-=-- ┄┄┄┄┄4分 由f(n)>0得n 2-20n+25<0 解得1053n 1053-<<+┄┄┄┄┄┄6分又因为n N ∈,所以n=2,3,4,……18.即从第2年该公司开始获利 ┄┄┄8分（3）年平均收入为n )n (f =20-25(n )202510n+≤-⨯= ┄┄┄┄┄12分 当且仅当n=5时，年平均收益最大.所以这种设备使用5年，该公司的年平均获利最大。