二次函数与几何综合（习题）
➢例题示范
例1：如图，抛物线y=ax2+2ax-3a 与x 轴交于A，B 两点（点
A 在点
B 的左侧），与y 轴交于点C，且OA=OC，连接AC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值．
（3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
第一问：研究背景图形
【思路分析】
读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a，可以求解A(-3，0)，B(1，0)，对称轴为直线x=-1；结合题中给出的OA=OC，可得C(0，-3)，代入表达式，即可求得抛物线解析式．
再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 为等腰直角三角形．
【过程示范】
解：（1）由y=ax2+2ax-3a=a(x+3)(x-1)
可知A(-3，0)，B(1，0)，
∵OA=OC，
∴C(0，-3)，
将C(0，-3)代入y=ax2+2ax-3a，
解得，a=1，
∴y=x2+2x-3．
1
△
第二问：铅垂法求面积 【思路分析】
（1） 整合信息，分析特征：
由所求的目标入手分析，目标为 S △ACP 的最大值，分析 A ，C 为定点，P 为动点且 P 在直线 AC 下方的抛物线上运动，即 -3＜x P ＜0；
（2） 设计方案：
注意到三条线段都是斜放置的线段，需要借助横平竖直的线段来表达，所以考虑利用铅垂法来表达 S △ACP ． 【过程示范】
如图，过点 P 作 PQ ∥y 轴，交 AC 于点 Q ， 易得 l AC ：y =-x -3
设点 P 的横坐标为 t ，则 P (t ，t 2+2t -3)， ∵PQ ∥y 轴， ∴Q (t ，-t -3)，
∴PQ =y Q -y P =-t -3-(t 2+2t -3)=-t 2-3t （-3＜t ＜0），
∴ S = 1 PQ ⋅ (x - x ) = - 3 t 2 - 9
t （-3＜t ＜0）
△ ACP 2 C A
2 2
∵ - 3 < 0 ，
2
∴抛物线开口向下，且对称轴为直线t = - 3
，
2
∴当t = - 3 时，S ACP 最大，为 27
．
2 8
第三问：平行四边形的存在性
【思路分析】 分析不变特征：
以 A ，B ，E ，F 为顶点的四边形中，A ，B 为定点，E ，F 为动点，定点 A ，B 连接成为定线段 AB ． 分析形成因素：
要使这个四边形为平行四边形．首先考虑 AB 在平行四边形中的作用，四个顶点用逗号隔开，位置不确定，则 AB 既可以作边，也可以作对角线． 画图求解：
先根据平行四边形的判定来确定 EF 和 AB 之间应满足的条
2
件，再通过平移和旋转来尝试画图，确定图形后设计方案求解．
①AB 作为边时，依据平行四边形的判定，需满足EF∥AB 且EF=AB，要找EF，可借助平移．点E 在对称轴上，沿直线容易平移，故将线段AB 拿出来沿对称轴上下方向平移，确保点E 在对称轴上，来找抛物线上的点F．注意：在对称轴的左、右两侧分别平移．找出点之后，设出对称轴上E 点坐标，利用平行且相等表达抛物线上 F 点坐标，代入抛物线解析式求解．
②AB 作为对角线时，依据平行四边形的判定，需满足AB，EF 互相平分，先找到定线段AB 的中点，在旋转过程中找到EF 恰好被AB 中点平分的位置，因为E 和AB 中点都在抛物线对称轴上，说明EF 所在直线即为抛物线对称轴，则与抛物线的交点（抛物线顶点）即为F 点坐标．
结果验证：
画图或推理，根据运动范围考虑是否找全各种情形．
【过程示范】
（3）①当AB 为边时，AB∥EF 且AB=EF，
如图所示，设E 点坐标为(-1，m)，
当四边形是□ABFE 时，
由A(-3，0)，B(1，0)可知，F1(3，m)，
代入抛物线解析式，可得，m=12，
∴F1(3，12)；
当四边形是□ABEF 时，
由A(-3，0)，B(1，0)可知，F2(-5，m)，
代入抛物线解析式，可得，m=12，
∴F2(-5，12)．
②当AB 为对角线时，AB 与EF 互相平分，
AB 的中点D(-1，0)，
设E(-1，m)，则F(-1，-m)，
代入抛物线解析式，可得，m=4，
∴F3(-1，-4)．
综上：F1(3，12)，F2(-5，12)，F3(-1，-4)．
3
➢巩固练习
1.如图，直线y =-1
x 与抛物线y =-
1
x2 + 6 交于A，B 两点，2 4
C 是抛物线的顶点．
（1）在直线AB 上方的抛物线上有一动点P，当△ABP 的面积最大时，点P 的坐标为．
（2）若点M 在抛物线上，且以点M，A，B 以及另一点N 为顶点的平行四边形ABNM 的面积为240，则M，N 两点的坐标为．
4
2.已知抛物线y=-mx2+4x+2m 与x 轴交于点A(α，0)，B(β，0)，
且
1
+
1
αβ
=-2 ．抛物线的对称轴为直线l，与y 轴的交点为点
C，顶点为点D，点C 关于l 的对称点为点E．
（1）抛物线的解析式为．
（2）连接CD，在直线CD 下方的抛物线上有一动点G，当S△CDG=3，点G 的坐标为．
（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D，E，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，点Q 的坐标为．
5
3.已知抛物线y=ax2-4ax+b 的对称轴为直线x=2，顶点为P，与
x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，其中A(1，0)，连接BC，PB，得到∠PBC=90°．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在异于点P 的一点Q，使△BCQ 与
△BCP 的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点E 是抛物线上一动点，点F 是x 轴上一动点，是否存在以B，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
6
4.如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，
∠BAC=90°，A(1，0)，B(0，2)．抛物线y=ax2-ax-b 与y 轴交于点D，且经过点C，连接AD，可得AB=AD．
（1）求抛物线的解析式．
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l 移动到何处时，恰好将△ABC 的面积分为相等的两部分？
（3）点P 是抛物线上一动点，点Q 是抛物线对称轴l 上一动点，是否存在点P，使以P，Q，A，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
7
3 【参考答案】
(1 23
1. （1） ， ) ；
4
（2）M 1(-10，-19)，N 1(-20，-14)；M 2(12，-30)，N 2(2，-25) 2. （1）y =-x 2+4x +2；
（2）G 1(-1，-3)，G 2(3，5)；
（3）Q 1 (4 - 2 ，0) ，Q 2 (4 + 2 ，0) ，Q 3 (- 10 ，0) ，Q 4 ( 10 ，0) 3. （1）y =-x 2+4x -3；
（2）存在，Q 1(1，0)， Q (3 - 17 -7 -
17 ) ，
， 2
2 2
Q (3 + 17 -7 + 17 ) ； 3
2 ， 2 （3）存在，F 1(7，0)，F 2(-1，0)． 4. （1） y = 1 x 2 - 1
x - 2 ；
2 2
（2） x = 3 - ；
（3）存在， P ( 3 ，- 13) ， P (- 1 ，- 13 ) ， P ( 1 ，- 17
) ．
1 2 8 2 2 8 3 2 8
8。