柔性多体系统的运动变形描述
柔性多体系统运动的描述方式，按其所选取的参照系不同，可分为绝对描述和相对描述两种类型[]。

绝对描述以某一个指定的惯性系为参考系，系统中每一个物体在每一个时刻的位形都在此惯性系中确定。

而在相对描述中对每一个物体都按某种方式选定一个随动参考系，物体的位形是相对于自己的动参照系确定的。

这些参照系通常是惯性的。

这两种描述方式导致两种不同的动力学模型。

相对描述的显著优点在于处理物体变形很方便。

它的一个缺点是在各加速度项中出现整体刚性运动和变形之间的耦合，这种耦合导致质量阵中出现与变形坐标有关的项。

这些项的存在大大增加了动力学方程数值求解的难度，并且是引起数值病态的主要原因之一。

【补充】相对描述方法特别适合于由小变形物体所组成的系统。

此时可以适当地选取动参考系，使得物体相对于动参考系的运动（变形）总是小的。

这样，对小变形可按通常的线性，例如进行模态展开和截断等。

将描述变形的弹性坐标和描述刚性运动的参数合起来，作为系统的广义坐标，就可以按通常的离散系统分析动力学方法建立动力学方程。

相对描述方法的核心问题为物体变形与整体刚性运动的相互作用。

这种相互作用可以通过规范场论的方法完全确定。

于是动力学方程分为互相耦合的两类，一类控制物体的整体刚性运动，另一类控制物体的相对变形。

[] 陆佑方．柔性多体系统动力学．高等教育出版社．1996
对于如何描述系统变形模式方面，大致有下列三种方法。

1 经典的瑞利-里兹(Reyliegh-Ritz)法
这个方法是对所研究的弹性体，构造一个假设位移场，该位移场必须满足相容性和完备性要求。

若假设位移场用(,,)x y z Φ表示，并取12[...]n Φ=ΦΦΦ，称为里兹函数矩阵，
用以描述物体变形模式，则物体上各点的变形向量f μ可表示为
f f q μ=Φ
式中，()f f q q t =为对应的弹性变形广义坐标向量。

这是弹性连续力学近似解的最基本方法，但对于复杂形状、复杂边界和复杂载荷的情况，要构造出一个适合的位移场式非常困难的，甚至可能做不到。

2 有限单元法
有限单元法实质是一种分片的瑞利-里兹法。

它非常适合于复杂形状、边界和载荷情况下的物体作离散和分析。

在用有限元近似模拟真实物体时，弹性体上无限多质点的位移，是由有限多个单元节点位移通过各单元的型函数来描述的，从而实现无限多个自由度的离散。

于是，属于i 物体中第j 单元上任一点P 的位移向量ij
f μ可表示为
ij
ij ij f N u μ=
式中，ij N 为j 单元的变形模式(或假设位移场)，称为j 单元的型函数，ij u 为该单元节点的位移向量，就构成了该物体的弹性广义坐标。

不难看出，即使采用有限元法可以使物体由无限多自由度离散成有限多个自由度，但通常为保证所需精度，需要保留的自由度仍然相当可观，特别使柔性多体动力学问题的求解，更显得突出。

3 模态分析和综合法
在动力分析中，更为普遍的是采用模态向量及相应的模态坐标来描述物体在空间随时间变化的位移(位形)，即
f n u q =Φ
式中，12[...]N Φ=ΦΦΦ为模态向量矩阵，()n n q q t =为模态坐标，N 为模态向量数，通常选取N n ，n 为物体的自由度数。

采用模态分析法的优点在于：可以根据系统的响应特征和精度要求来考虑模态的截断及截断范围；可以进一步采用模态综合技术来研究大型复杂系统的振动；可直接应用实验模态技术所得的结果，使理论和数值与实验数据精密结合。