多体动力学摘要采用笛卡尔绝对坐标通过动静法建立多刚体系统的动力学方程。

目录I 问题概述 (3)1. 多体系统仿真模型 (3)2. 静力学问题 (4)3. 运动学问题 (4)4. 动力学问题 (4)II 基本概念和公式 (4)5. 参照物 (4)6. 矢量 (5)6.1 矢量的定义及符号 (5)6.2 矢量的基本运算 (5)6.3 单位矢量的定义及符号 (6)6.4 零矢量的定义及符号 (6)6.5 平移规则 (6)7. 坐标系 (7)8. 矢量在坐标系内的表示 (8)9. 方向余弦矩阵 (10)10. 欧拉角 (13)11. 刚体的位置和姿态坐标 (15)12. 矢量在某参照物内对时间的导数 (16)13. 角速度 (17)14. 简单角速度 (17)15. 刚体上固定矢量在某参照物内对时间的导数 (18)16. 矢量在两参照物内对时间导数的关系 (20)17. 角速度叠加原理 (21)18. 角加速度 (22)19. 角速度与欧拉角对时间导数的关系 (23)20. 动点的速度和加速度 (25)21. 刚体上两固定点的速度与加速度 (26)22. 相对刚体运动的点的速度和加速度 (27)23. 并矢 (28)24. 刚体惯性力向质心简化的主矢和主矩 (30)25. 约束 (33)25.1滑移铰 (34)25.2 旋转铰 (34)25.3 圆柱铰 (35)25.4 球铰 (36)25.5 平面铰 (36)25.6 固定铰 (37)25.7 点在线约束 (37)25.8 点在面约束 (38)25.9 姿态约束 (39)25.10 平行约束 (39)25.11垂直约束 (40)25.12 等速万向节 (41)25.13 虎克铰 (41)25.14 万向节 (42)25.15 关联约束 (43)26. 弹簧力的计算 (45)27. 阻尼力的计算 (46)III 问题求解 (47)28.Macpherson悬架多体系统动力学方程DAEs的建立 (47)29. DAEs的简单解法 (48)参考文献 (49)I 问题概述1. 多体系统仿真模型型：左面有5个物体： ● 下控制臂 ● 转向节 ● 轮毂 ● 上滑柱 ● 转向横拉杆 左面约束有7个：● 下控制臂与车身间的旋转铰 ● 下控制臂与转向节间的球铰 ● 转向节与轮毂间的旋转铰 ● 转向节与上滑柱间的滑移铰 ● 上滑柱与车身间的球铰● 转向节与转向横拉杆间的球铰● 转向横拉杆与转向齿条(这里固定于车身)间的虎克铰左面力有7个：● 转向节与上滑柱间的弹簧力 ● 转向节与上滑柱间的阻尼力 ● 五个物体的重力采用笛卡尔绝对坐标运用多体动力学的基本公式和动静法可以建立Macpherson 悬架的多体系统数学模型（DAEs ）。

可选择的坐标有绝对坐标和相对坐标，绝对坐标可以是笛卡尔坐标或自然坐标。

图1-2 Macpherson 悬架多体系统模型笛卡尔坐标规范统一，所有刚体都一样。

相对坐标数量较少。

自然坐标数量虽多，但涉及的概念较少，约束方程中没有三角函数，为二次多项式的形式。

建立方程的方法有直观的矢量力学方法、抽象的分析力学方法和界于二者之间的Kane方法，这里采用的动静法属于矢量力学方法。

2. 静力学问题在静平衡状态下，利用静平衡方程（速度和加速度均为零的DAEs）求未知外力、约束力或未知平衡位置的问题。

3. 运动学问题在静平衡或运动状态下，利用运动约束方程求未知位置、速度或加速度的问题，方程中不涉及力的计算。

4. 动力学问题在运动状态下，利用动力学方程和运动约束方程（DAEs）求未知加速度、速度、位置或未知外力及未知约束力的问题。

II 基本概念和公式5. 参照物参照物：定义运动的参照物体，如大地或刚体。

6. 矢量6.1 矢量的定义及符号矢量：具有大小和方向且满足一定运算规则的物理量，如力、位移、速度、加速度、角速度及角加速度。

矢量一般用带箭头的符号表示，如a ，b 。

6.2 矢量的基本运算a b两矢量a 和b 的点积为一数量αcos ........a bd两矢量a 和b 的叉积为另一矢量d αsin ab ....... abαc三矢量a 、b 、c 的混合积为一数量，代表其组成的平行六面体的体积()()()a b c a b c c a b⨯⋅=⋅⨯=⨯⋅ ...................................................... （ 三矢量a 、b 、c 的两重叉积为另一矢量，它位于a 和b 所张成的平面内c b a b c a ⋅-⋅ ..................... 两矢量a 和b 的和为另一矢量两矢量a 和b 的和为另（6-2）6.3 单位矢量的定义及符号单位矢量：大小为单位1的矢量。

单位矢量一般用带“^”的符号表示，如ˆˆ,ex 。

单位矢量可以用来表示一个方向，如主销的方向，车轮旋转轴线的方向。

6.4 零矢量的定义及符号零矢量：大小为零的矢量。

零矢量一般用“0”表示。

6.5 平移规则将一个矢量在空间平行移动得到的矢量与原矢量相等。

例6-1 两个单位矢量1ˆx和2ˆx 的点积为12ˆˆcos x x α⋅=，这里α为这两个单位矢量间的夹角，故两个单位矢量的点积表示其夹角的余弦。

例6-2 设有坐标系ˆe，其三个单位矢量分别为1ˆe 、2ˆe 和3ˆe ；另外有一个任意方向的单位矢量为ˆx ，它与1ˆe、2ˆe 和3ˆe 的夹角分别为1α、2α和3α，则11ˆˆcos x e α⋅=、22ˆˆcos x e α⋅=和33ˆˆcos x e α⋅=分别为单位矢量ˆx在坐标系ˆe 内的方向余弦。

例6-3 若在式（8-1）中，b 为单位矢量b ˆ，则αcos ˆa b a =⋅ 表示矢量a 在b ˆ方向的投影。

例6-4 车轮前束角的确定：)ˆˆˆˆ(1Y z X z tgl l ⋅⋅=-α，)ˆˆˆˆ(1Y zX z tg r r ⋅⋅-=-α。

例6-5 磨胎半径（scrub radius ）和主销后倾拖距（caster moment arm ）的计算：设地面向上的法向单位矢量为k ˆ，车轮自转轴线单位矢量（指向车身外面）为w ˆ，主销穿地点到轮胎印迹中心的矢量为ρ，令单位矢量l ˆ为车轮平面于水平路面交线指向后方的单位矢量，令mˆ为车轮自转轴线在水平路面投影线指向车身外面的单位矢量，则w k w k lˆˆ/ˆˆˆ⨯⨯=，k w k k w k m ˆ)ˆˆ(/ˆ)ˆˆ(ˆ⨯⨯⨯⨯=，m radius scrub ˆˆ_⋅=ρ，l arm moment caster ˆ__⋅=ρ。

7. 坐标系坐标系：由三个两两垂直的单位矢量组成的右手直角坐标系。

坐标系有时简称为基。

例如，取三个单位矢量1ˆr e、2ˆr e 、3ˆre ，固定在大地一点o 上，令其两两垂直，如图7-1所示，则组成了一个惯性坐标系。

这里的下标1、2、3用来表示第一、第二和第三个单位矢量，用上标“r ”是为了和其他坐标系区分开，o 为坐标原点。

为简化称呼，这个惯性坐标系可以用符号“ˆre”来表示。

有时三个单位矢量也用xˆ、y ˆ及z ˆ表示。

图6-6磨胎半径（scrub radius ）和主销后倾拖距（caster moment arm ）一个参照物上可以固定多个坐标系，如图7-1中固定在刚体上的坐标系ˆb e和ˆie 。

有时为了方便，可以用固定于参照物上的某个坐标系来代表该参照物，因为固定于参照物上的坐标系与参照物在空间具有相同的运动。

一个坐标系的单位矢量，如ˆre的1ˆre 、2ˆre 、3ˆre 之间的点积和叉积关系如下： 111213212223313233ˆˆˆˆˆˆ1, 0, 0ˆˆˆˆˆˆ0, 1, 0ˆˆˆˆˆˆ0, 0, 1r r r r r rr rr r r rr r r r r re e e e e e e e e e e e e e e e e e ⎧⋅=⋅=⋅=⎪⋅=⋅=⋅=⎨⎪⋅=⋅=⋅=⎩ ........................................................................ （7-1） 111231322132223131232133ˆˆˆˆˆˆˆˆ0, , ˆˆˆˆˆˆˆˆ, 0, ˆˆˆˆˆˆˆˆ, , 0r r r r r r r rr r r r r r r r r r r r r r r r e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ⎧⨯=⨯=⨯=-⎪⎪⨯=-⨯=⨯=⎨⎪⨯=⨯=-⨯=⎪⎩.............................................................. （7-2） 例7-1 Adams 有两种坐标系，GCS （Global Coordinate System ）和LCS （Local Coordinate System ），GCS 固定于大地上，只有唯一一个。

LCS 包括BCS （Body Coordinate System ）和Markers ，BCS 固定在刚体上，每个刚体有一个且只有一个BCS ，Markers 为刚体拥有的坐标系，数目不限，分为Fixed markers 和Floating markers ，前一种固定于刚体上，后一种相对刚体是运动的。

8. 矢量在坐标系内的表示一个矢量可以在任何一个坐标系内用沿各单位矢量的分量形式表示。

矢量η在某坐标系ˆe内的分量表达式为： 112233ˆˆˆee e ηηηη=++................................................................. （8-1） 其中各系数1η、2η、3η为矢量η在各单位矢量方向上的投影，即坐标：112233ˆˆˆeee ηηηηηη=⋅⎧⎪=⋅⎨⎪=⋅⎩ ................................................................................. （8-2） 将（8-2）代入（8-1）中有112233ˆˆˆˆˆˆee e e e e ηηηη=⋅+⋅+⋅ .................................................... （8-3）η在一个坐标系内，利用三个坐标可以描述空间任意一个矢量的大小和方向。

三个系数1η、2η、3η可以组成一个列阵：12ηηηη⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭..................................................................................... （8-4）称为矢量η在坐标系ˆe内的坐标阵。