柔体动力学介绍一、KED （Kineto-Elastodynamics ）法KED 法，即运动弹性动力学，由美国学者Erdman 和Sandor 提出。

该方法的研究始于上个世纪60年代，早期研究者仅把部件（一般是一个，如四杆机构的连杆）看作是柔性的，并且只考虑其一种变形（如杆件的弯曲变形），方程中也引入较多假设。

70年代初期，Erdman 和Sandor 将结构动力学中的有限元方法移植到机构分析中来，克服了模型过于简单的缺陷。

我国自80年代初开始研究机构弹性力学，学者张策对KED 法做了大量研究。

KED 法在分析机构的真实运动时，均假设：与采用刚性机构的运动分析法的到的机构名义运动的位移相比，由构件变形引起的弹性位移很小；这种弹性位移不会影响机构的名义运动。

依据上述假设，机构真实运动的位移可以看作是名义运动的位移和弹性位移的叠加。

名义运动可以用刚体机构运动和动力学分析方法求出，弹性位移则用弹性动力学分析方法求出。

为了使所建模型较准确反应原机构系统的特性，现在普遍采用“子结构分析方法”，即把系统按结构划分为子结构单元，然后建立单元和子结构的运动方程，最后将单元和子结构的运动方程组合成系统的运动方程。

对于连续体的离散，有1）集中参数模型2）有限元模型两种建模方法。

以一个简单例子为例： 一般弹性动力学方程为：()()()()+=++=+-rr r rf f e v r rff f ff f e v fr rf f M y M y q q M y K y q q M y其中，第一个方程描述的是机构的刚体动力学方程，第二个方程描述的是机构的结构振动方程。

r y 表示机构广义刚体位移，f y 表示机构广义弹性位移，e q 表示机构所受外力，v q 表示机构的科氏力和离心力。

对于KED 方法，变形对刚体运动的影响忽略不计，因此，忽略耦合项，上述方程变为：()()()=+=+-rr r e rff f ff f e v fr rf f M y q M y K y q q M y从上式可以看出，由于KED 方法的假设，使方程得到很大的化简，提高了计算效率，此方法对于作大范围刚体运动，机构刚度大（即弹性变形小的系统）适用。

但随着轻质、高速运动、大尺寸机构的发展，KED 方法计算结果的精确度不再令人满意。

在这些系统中，刚体运动和弹性变形的惯性耦合非常重要，在动力学分析中不能被忽略，因此，KED 方法在这些机构的动力学分析中不再适用。

二、浮动坐标法（Floating Frame of Reference ）浮动坐标法是目前进行计算机柔体动力学仿真时最广泛运用的方法，这种方法已经被应用在几种商用动力学分析软件中。

在浮动坐标法中，共使用两种坐标系来描述变形体的构型，一种是用来描述变形体连体坐标系的位置和方向，另一种是用来描述变形体相对于其连体坐标系的变形。

如下图所示：图一1）运动分析变形体上任意一点P 在全局坐标系123X X X 中的位置为：()=++0f r R A u u(1.1)其中，A 为连体坐标系123'''X X X 相对于全局坐标系123X X X 的方向余弦矩阵。

0u 为点P 在未变形时在连体坐标系中的位置，f u 为变形位移。

对于一个具体问题，如何选择合适的连体坐标系是难点。

在多刚体动力学中，选取通过质心的主轴坐标系为跟随坐标系而使动力学方程中平移与转动惯性解耦。

柔体中各质点的位置时刻都在变换，其质心相对于其内部的质点也一直在不停地变化，因而不存在一个固定的连体坐标系，选取不同的连体坐标意味着选取了不同的柔性体变形。

但研究表明这并不影响最终的位移分析结构。

系统广义坐标为[]=Tf q R θq 。

其中，R 为描述变形体相对位置的笛卡尔坐标，θ为描述变形体方向的角度坐标，f q 为变形体上任意点变形坐标，与变形位移的关系为=ff u Sq ，其中S 为型函数。

之后便可以对系统进行运动学分析，对公式（1.3）求一次导数，便可得到任一点P 的运动速度：[]=++=++=++⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦p f f f fff r R Au Au R Au ASq R B θASq R I B AS θLqq (1.2)其中，1()()n θθ⎡⎤∂∂=⎢⎥∂∂⎣⎦B Au Au ，q 为系统广义速度阵，L 为系数矩阵。

对1.4再求一次导数，可得到点P 的运动加速度：=p r Lq +Lq(1.3)2）质量矩阵： （1）系统的动能为：111222V V T dV dV ρρ===⎰⎰T T TT r r q L Lq q Mq(1.4)（2）系统质量阵为12VdV ρ=⎰TM L L (1.5)M 是一个非线性的对称矩阵。

变系数，随位形变化3）系统广义力利用虚功原理，求解弹性力和外力所产生的关于广义坐标q 的广义力 （1） 系统广义弹性力[]s W δδδδ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦f ff f 000R R θq 000θ00K q(1.6)（2） 系统广义外力e W δδδδ⎡⎤⎢⎥⎡⎤=-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦T TT Rθf f R Q Q q θq (1.7)其中，T R Q 和TθQ 为关于移动和转动坐标的广义力。

4）运动约束方程图二系统的约束方程可写为向量的形式：(,)t =C q 0 （1.10）其中，TTT 12T[]n =q qqq 为系统的广义坐标，t为时间，T 12[]n C C C =C 为独立的约束方程。

例如，如图二所示，如果点iP 和点jP 相连，则有()t =+-+=ij i i i j j j r R A u R A u f （）(1.8)当()t =f 0时，则表示两个点始终相连。

为了将约束方程（1.10）引入动力学方程中，对于广义坐标取微小变化δq ，公式（1.10）可写为：δδ⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎣⎦iijq j q C δq L L 0q(1.9)其中，⎡⎤=-⎣⎦ij qC L L 为系统约束压雅可比矩阵。

5）系统动力学方程将以上求解各式带入到第一类拉格朗日方程中，即可得到系统动力学方程++=+Tq e V Mq Kq C λQ Q(1.10)其中，λ为拉格朗日乘子。

从以上分析可以看出，在浮动坐标法中，质量矩阵为一个非线性的对称矩阵，刚度矩阵为一个常量矩阵。

计算广义力时，需考虑系统的科氏力和离心力。

浮动坐标法适用于作大范围移动小变形的系统，对于作大范围移动大变形的系统，此方法的求解不够精确，不再适用。

三、绝对节点坐标法（Absolute Nodal Coordinate Formulation ）该方法由Ahmed A.Shabana 于1996年提出，其理论基础主要是有限元与连续介质力学理论。

该方法中单元节点的坐标定义在全局坐标系下，采用斜率矢量代替传统有限单元中的节点转角坐标。

推导的动力学方程具有常质量矩阵、不存在科氏力和离心力等项的特点。

这些特点可以提高计算效率。

绝对节点坐标法已被认为是多体系统动力学研究历史上的一个重要进展之一，它的诞生使柔性多体系统动力学理论与有限元理论进一步整合。

绝对节点坐标法自出现以来，一直是多体系统动力学研究者关注的热点问题之一。

以一个二维单元梁为例：1）运动分析梁上任意一点在全局坐标系下的位置为=r Se(1.11)其中S 为型函数，e 为节点坐标，且有[]1234S S S S =S I I I I 231132S ξξ=-+，()2322S l ξξξ=-+，23332S ξξ=-，()324S l ξξ=-，xlξ=。

1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦I[]1234567812121212TTi i k k i i k k e e e e e e e e r r r r r r r r xxxx =∂∂∂∂⎡⎤=⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦e由节点坐标的选取可得出，绝对节点坐标法中并未使用转角作为坐标，而是选取斜率作为广义坐标。

型函数S 中，x 为任意点在未变形时梁中的位置坐标，l 为单元梁的长度，由此可看出，型函数仅是原始坐标x 的函数，与时间无关。

而节点坐标e 则是原始坐标e 和时间t 的函数(),x t =e e。

对公式1.13求一次导，便可得到任意一点速度： =r Se(1.12)2）质量矩阵（1） 系统的动能为：111222V V T dV dV ρρ===⎰⎰T T TT r r e S Se e Me(1.13)（2） 系统质量矩阵VdV ρ=⎰T M S S(1.14)由上文可知，型函数S 仅为x 的函数，因此，质量矩阵M 为一个常量矩阵，在进行动力学分析的时候，可事先计算好质量矩阵，节省了计算时间。

3）系统广义力（1）利用介质力学中变形梯度，来求解弹性力。

单元变形梯度为：∂=∂rJ x(1.15)利用拉格朗日应变张量描述系统应变，此张量为单元变形梯度的函数，表达式为：()111221⎡⎤-=-=⎢⎥-⎣⎦T TT a c a T Tc b e S e e S e εJ J I e S e e S e (1.16)其中，=+T T a 1x 1x 2x 2xS S S S S ，=+TT b 1y 1y 2y 2yS S S S S ，=+TT c 1x 1y 2x 2y S S S S S 。

式中，ix i x =∂∂S S ，iy i y =∂∂S S ，i S 表示单元形函数的第i 行。

a ε为一个对称张量，因此可以写为：[]123Tεεεε=利用材料本构模型，则系统应力张量为：σε=E (1.19)其中，E 为关于材料样式模量的矩阵，若用拉梅常数表达，为：2020002λμλλλμμ+⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦E (1.19) 杆件的弹性应变能为：12VdV =⎰TU εE ε(1.17)弹性力为：T ∂==∂e U q e K e(1.18)其中，K 为系统刚度矩阵，可以写为：()()12322λμλμ=+++K e K K K (1.19)其中，()()()()()()1112111214b b a Vb b a VT c V dV dV dV ⎧⎡⎤=-+-⎪⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=-+-⎨⎣⎦⎪⎪⎡⎤=+⎪⎣⎦⎪⎩⎰⎰⎰T T1a T T2a T3c c K S e S e S e S e K S e S e S e S e K S S e S e（2）由虚功原理，求解广义外力W S δδδδ===T T T f F r F e q e(1.19)因此广义外力为：S =T T f q F(1.20)4）动力学方程将上式带入牛顿欧拉方程，得系统动力学方程为：=+f e Me q q(1.21)从上述推导过程中可以看出，绝对节点坐标法的动力学方程中，质量矩阵为一个常量矩阵，而刚度矩阵则为一个非线性的非常量矩阵，这一点正好与浮动坐标法相反。