第四十四讲 以圆锥曲线为背景的取值范围问题专题一、选择题 1．已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，与双曲线x 2m2−y 2n 2=1(m >0,n >0)具有相同焦点F 1、F 2，且在第一象限交于点P ，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、e 2，若∠F 1PF 2＝π3，则e 12+e 22的最小值是A ．2+√32B ． 2＋√3C ．1+2√32 D ． 2+√34【答案】A 【解析】根据题意，可知|PF 1|+|PF 2|=2a,|PF 1|−|PF 2|=2m ， 解得|PF 1|=a +m,|PF 2|=a −m ，根据余弦定理，可知(2c)2=(a +m)2+(a −m)2−2(a +m)(a −m)cos60∘， 整理得c 2=a 2+3m 24，所以e 12+e 22=c 2a 2+c 2m 2=a 2+3m 24a 2+a 2+3m 24m 2=1+14(3m 2a 2+a 2m 2)≥1+√32=2+√32，故选A.2．已知点E 是抛物线C:y 2=2px(p >0)的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线C 的焦点，点P 在抛物线C 上.在ΔEFP 中，若sin∠EFP =μ⋅sin∠FEP ，则μ的最大值为（ ） A ． √22 B ． √32 C ． √2 D ． √3 【答案】C 【解析】由题意得，准线l:x =−p2，E (−p2,0)，F (p2,0)，过P 作PH ⊥l ，垂足为H ，则由抛物线定义可知PH =PF ，于是μ=sin∠EFP sin∠FEP =PE PF =PE PH =1cos∠EPH =1cos∠PEF ，∵y =cosx 在(0,π)上为减函数，∴当∠PEF 取到最大值时（此时直线PE 与抛物线相切），计算可得直线PE 的斜率为1，从而∠PEF =45°，∴μmax =√22=√2,故选C.3．过y 2=4x 上任一点作(x −3)2+y 2=1的切线切于P,Q 两点，则|PQ |的最小值为（ ） A ．√142 B ． 1 C ． √73 D ． 4√23【答案】A 【解析】根据题意，设M (m,n )为抛物线y 2=4x 上任一点，则n 2=4m ， 圆(x −3)2+y 2=1的圆心C 为(3,0), 设|MC |=t ，则PM =√t 2−1， 又由S ΔPMC =12×|PM |×|CP |=12×|PQ |2×|MC |,变形可得|PQ |=2√1−1t 2， 所以当t 最小时，|PQ |最小，又由|MC |2=(m −3)2+(n −0)2=m 2−2m +9=(m −1)2+8≥8， 则当M 的坐标为(1,4)或(1,−4)时，|MC |=t 取得的最小值√8， 此时|PQ |最小，且|PQ |的最小值为2×√1−18=√142，故选A.22C 上的任意一点，且P 在第一象限，O 为坐标原点，F (3,0)为椭圆C 的右焦点，则 OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为（ ） A ． (-16,-10) B ． (-10,-394] C ． (-16,-394] D ． (-∞,-394]【答案】C 【解析】因为椭圆C 的长轴长、短轴长和焦距成等差数列 所以2a +2c =4b ，即a +c =2b F (3,0)为椭圆C 的右焦点，所以c=3 在椭圆中，a 2=c 2+b 2所以{a 2=c 2+b 2a +c =2bc =3 ，解方程组得{a =5b =4c =3所以椭圆方程为x 225+y 216=1设P(m,n) (0<m <5)则m 225+n 216=1，则n 2=16−1625m 2 OP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ =(m,n )(3−m,−n ) =3m −m 2−n 2=3m −m 2−(16−1625m 2) =−925m 2+3m −16 =−925(m −256)2−394因为0<m <5，所以当m =256时，OP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 取得最大值为−394当m 趋近于0时，OP⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的值趋近于-16 所以OP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范围为(-16,-394] 所以选C 5．P 是双曲线x 29−y 216=1的右支上一点，M 、N 分别是圆(x +5)2+y 2=1和(x −5)2+y 2=4上的点，则|PM|−|PN|的最大值为（ ） A ． 6 B ． 7 C ． 8 D ． 9 【答案】D 【解析】分别为1,2.画出图像如下图所示. 要求|PM|−|PN|的最大值，也即是求|PM|的最大值减去|PN|的最小值.由图可知|PM|的最大值为|PF1|+1，|PN|的最小值为|PF2|−2，故|PM|−|PN|的最大值为|PF1|+1−(|PF2|−2)=|PF1|−|PF2|+3=6+3=9.故选D.6．已知椭圆C：x 24+y23=1的左、右顶点分别为A、B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2=4上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则k PBk QF的取值范围是( )．A．[1,+∞] B．[23,+∞) C．[−∞,43] D．（-∞，0）∪（0，1）．【答案】D 【解析】椭圆C：x 24+y23=1焦点在x轴上，a=2，b=√3，c=1，右焦点F（1，0），由P在圆x2+y2=4上，则PA⊥PB，则k AP⋅k PB=−1，则k PB=−1k AP ，k PBk QF=−1k APk QF=−1k AP k QF，设Q（2cosθ，√3sinθ），则k AP⋅k QF=√3sinθ2cosθ+2⋅√3sinθ2cosθ−1=3sin2θ4cos2θ+2cosθ−2=3(1−cos2θ)4cos2θ+2cosθ−2，设t=cosθ，t∈（−1，1），则f（t）=3(1−t 2)4t2+2t−2，∴k PBk QF=4t2+2t−23(t2−1)=43+23⋅1t−1∈（−∞，1），且不等于0．故选D：7．已知F是双曲线x2y2点F 2到直线AF 1的距离为2a ，则离心率e 的取值范围是（ ） A ． [√2,+∞) B ． (√2,+∞) C ． (1,√2) D ． (1,√2] 【答案】B 【解析】设AF 1:y =k(x +c),(|k|<ba ) ，所以2a =√1+k2⇒|k|=a b<b a⇒a <b ⇒e >√2选B.8．已知直线y =kx −1与双曲线x 2−y 2=4的右支有两个交点，则k 的取值范围为（ ） A ． (0,√52) B ． [1,√52] C ． (−√52,√52) D ． (1,√52) 【答案】D 【解析】由x 2−y 2=4得双曲线的渐近线方程为y=±x，根据图象可得当﹣1＜k≤1时，直线与双曲线的右支只有1个交点， 当k≤﹣1时，直线与双曲线右支没有交点， 把y=kx ﹣1代入x 2﹣y 2=4得：（1﹣k 2）x+2kx ﹣5=0， 令△=4k 2+20（1﹣k 2）=0，解得k=√52或k=﹣√52（舍）． ∴1＜k ＜√52时直线与双曲线的右支有2个交点. 故选：D ．9．设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 （a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)，F 2(c,0)，点N(c,a2)在椭圆的外部，点M 是椭圆上的动点，满足|MF 1|+|MN |<32|F 1F 2|恒成立，则椭圆离心率e 的取值范围是 A ． (0，√22) B ． (√22，1) C ． (√22，56) D ． (56,1) 【答案】D 【解析】∵点N(c,a2)在椭圆的外部，∴c 2a 2+a 24b 2＞1，b 2a 2＜12 ， 由椭圆的离心率e =ca =√1−b 2a 2＞√1−12=√22， |MF 1|+|MN |=2a −|MF 2|+|MN|， 又因为−|MF 2|+|MN| ≤ |NF 2|，且|NF 2|=a2，要|MF 1|+|MN |<32|F 1F 2|恒成立，即2a −|MF 2|+|MN | ≤ 2a +a2<32×2c ，则椭圆离心10．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，Ρ是它们的一个公共点，且∠F 1ΡF 2=π3，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则1e 1e 2的最大值是（ ）A ． 3B ． 4√33C ． 2D ． 2√33【答案】D 【解析】如图，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的半实轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义|PF 1|+|PF 2|=2a 1,|PF 1|−|PF 2|=2a 2， ∴|PF 1|=a 1+a 2,|PF 2|=a 1−a 2， 设|F 1F 2|=2c,∠F 1PF 2=π3，则在ΔPF 1F 2中由余弦定理得4c 2=(a 1+a 2)2+(a 1−a 2)2−2(a 1+a 2)(a 1−a 2)cos π3， ∴化简a 12+3a 22=4c 2，该式变成1e 12+3e 22=4，∴1e 12+3e 22=4≥2√3e1e 2， ∴1e 1e 2≤2√33，1e 1e 2的最大值是2√33，故选D.11．如图，已知抛物线C 1的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点(2，4)，圆C 2:x 2+y 2−4x +3=0，过圆心C 2的直线l 与抛物线和圆分别交于P ，Q ，M ，N ，则|PN |+9|QM |的最小值为A ． 36B ． 42C ． 49D ． 50【解析】设抛物线方程为y 2=2px由抛物线过定点(2,4)得2p =8，抛物线方程y 2=8x ，焦点为C 2(2,0)， 圆的标准方程为(x −2)2+y 2=1,∴圆心为(2,0)，半径r =1， 由于直线过焦点，可设直线方程为y =k (x −2)，设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2), {y =k (x −2)y 2=8x ⇒kx 2−(4k +8)x +4k =0，∴x 1x 2=4 又|PN |+9|QM |=(PC 2+1)+(9QC 2+9)=PC 2+9QC 2+10=(x 1+2)+9(x 2+2)+10=x 1+9x 2+30≥2√x 1⋅9x 2+30=12+30=42， x 1=x 2时等号成立，∴|PN |+9|QM |的最小值为42，故选B.12．已知抛物线M:y 2=2x ，圆N:(x −1)2+y 2=r 2 （r>0），过点(1,0)的直线l 交圆N 于C,D 两点，交抛物线M 于A,B 两点，且满足|AC |=|BD |的直线l 恰有三条，则r 的取值范围为( )A ． r ∈(0，32] B ． r ∈（√2，+∞） C ． r ∈（2，+∞） D ． r ∈(1，2] 【答案】B 【解析】由题意，当l ⊥x 轴时，过x =1与抛物线交于(1,±2)，与圆交于(1,±r)，满足题设； 当l 与x 轴不垂直时，设直线l:x =my +1,m ≠0，代入抛物线的方程y 2=2x ，得y 2−2my −2=0，则Δ=4m 2+8， 把直线l:x =my +1代入圆的方程(x −1)2+y 2=r 2，整理得y 2=r 2m 2+1， 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3),D(x 4,y 4),因为|AC |=|BD |，所以y 1−y 3=y 2−y 4，即y 1−y 2=y 3−y 4 可得2√m 2+2=√m 2+1，则r =√(m 2+2)(m 2+1)=√m 4+3m 2+2，设t =m 2>0，则r =√t 2+3t +2，此时√t 2+3t +2>√2， 所以r >√2，即实数r 的取值范围是(√2,+∞)，故选B.13．已知F 1(−c,0),F 2(c,0)是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在一点P 使得PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =c 2，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A ． (√33，√53] B ． [√33,√22] C ． [√3−1,√32] D ． [√22,1) 【答案】B设P (x 0,y 0), 则x 02a 2+y 02b 2=1(a >b >0),∴y 02=b 2(1−x 02a2) ，由题PF 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ •PF 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =c 2。