AC {2,3,1},
取 n AB AC {14, 9,1}, 所求平面方程为 14( x 2) 9( y 1) ( z 4) 0,
化简得 14 x 9 y z 15 0.
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三、平面的一般方程
由平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
该平面方程为
( x 2) 2( y 1) 3( z 1) 0,
即
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x + 2y + 3z－7 = 0 .
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例5-11 求过三点 A (2, 1, ) B (-1, , 2)和 - 4、 323 C (0, , ) 的平面方程 .
解 AB {3,4,6},
A ( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0,
该方程称为平面 的点法式方程.
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例 5-10
求过点(2, 1, 1)且垂直于向
量 i + 2j + 3k 的平面方程 . 解
所求平面的法向量n = i + 2j + 3k ， 又因为平面过( 2, 1, 1 )，所以由公式可得
空间平面方程
一、平面的确定条件 二、点法式方程 三、平面的一般方程 四、两平面夹角
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一、平面的确定条件
由立体几何知道，过空间一点可以而 且只可以作一个垂直于一条已知直线的平 面．利用这个结论，若平面经过一定点 M0(x0,y0,z0), 且与向量n={A,B,C}垂直,则 这个平面就唯一确定了． 与平面垂直的非零向量称为该平面的法向 量．那么，可以确定平面的两个条件是：
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(1)经过定点 0 ( x0 , y0 , z0 ). M
(2)平面的法向量 { A, B, C }. n
下面我们利用以上结论建立平面的方程．
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二、 点法式方程
设平面 过点 M0 ( x0 , y0 , z0 ) , n A , B , C .
Ax By Cz ( Ax0 By0 Cz0 ) 0
D
Ax By Cz D 0 平面的一般方程 法向量 n { A, B , C }.
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平面一般方程的几种特殊情况：
(1) D 0, 平面通过坐标原点；
D 0, 平面通过 x 轴； ( 2) A 0, D 0, 平面平行于 x 轴； 类似地可讨论 B 0, C 0 情形
是平面 的法向量. 现在来建立平面 的方程.在平面 上 任取一点 M(x, y, z)，则点 M 在平面 上的充要条件是
n M
M0 M n , 即 M0 M n 0 .
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M
0
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因为M0 M x x0 , y y0 , z z0 ,
n A , B , C, 所以有
(3) A B 0, 平面平行于 xoy 坐标面；
类似地可讨论 A C 0, B C 0情形.
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例 5-12 设一平面通过 x 轴和点 M(4, 3, 1)，试求该平面的方程. 所以可设 解 因为所求平面通过 x 轴， 它的方程为 By + Cz = 0 . ④ 因此有 由于点 M 在所求的平面上， 3B C = 0 ， 将 C = 3B 代回方程 ④，并简化，即得 所求平面方程为 y 3z = 0
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例 5-13 求两平面 x y + 2z + 3 = 0 与 2x + y + z 5 = 0 的夹角 . 解
cos
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由公式 ④ 得 21 2
1 (1) 2 2 1 1
2 2 2 2 2
2
1 , 2
所以
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. 3
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四、两平面的夹角
两平面法向量的夹角称为两平面的夹角. 设平面 1 A1 x B1 y C1 z D1 0 ,
2 A2 x B2 y C2 z D2 0 .
它们的夹角为 . n1 n 2 cos cos (n1 , n 2 )
A1 A2 B1 B2 C1C 2
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n1 n 2
④
A12 B12 C12 A22 B22 C 22
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则平面1、2 垂直的充要条件是
A1A2+ B1B2 + C1C2 = 0； 平行的充要条件是
A1 B1 C 1 . A2 B2 C 2
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