' z
θ

A/ 2
x 2 dA 2 x 2 dA x 2 dA I y A
A/ 2
I y I y P V l Pz s / Pz V V I y Iy l sin V sin V

浮体内有自由表面液体时平衡稳定性的判断
2
2
图2.7.5
重心的确定
G沉箱 G外 G内
h h d1 G沉箱 hc G外 G内 d1 2 2 h h d1 V沉箱 hc V外 V内 d1 2 2
5 4.5 V外 V内 （0.5+ ） 2 2 hc V混凝土 5 4.5 8 6 5 7.4 5.4 4.5 （0.5+ ） 2 2 8 6 5 7.4 5.4 4.5 1.75m
(a)
(b)
(c)
图2.7.2
不稳定平衡：重心C在浮心D之上，重力与浮力组 成使物体继续倾斜的力矩，这种状态下的平衡为 不稳定平衡。
随遇平衡：当重心C与浮心D重合时，潜体在液体 中的方位是任意的，称为随遇平衡。
(a)
(b)
(c)
注意：要使潜体处于稳定平衡状态，必须使其重 心位于浮心之下。
图2.7.2
同一铅垂线上，各点的压强沿水深呈线性分布。

asin
acos


图2.8.1
0 p |x z 0 p0
等压面方程
将单位质量的质量力代人等压面方程
Xdx Ydy Zdz 0
dz dx tg
tg a cos a sin g
a
等压面的斜率方程：等压面是一族与水平面成β 角的平行 平面。
1cm T r
δ
T
2T Px p2r
图2.6.4
T A 1.5 105 4 103 4 2 p 1 . 2 10 ( kN/m ) 2 r r 5 10
2.7
浮体的平衡与稳定
2.7.1 浮力及物体的沉浮
y
z
浸没于液体中的物体受到的x轴方向静水总压力应 为零 Px左 =Px右
' 'Iy CN V
当沉箱分舱时
注意：
' 沉箱内液体的容重；
沉箱外面液体的容重；
I y 沉箱内水面对该水面中心纵轴的惯性矩。
'
例题
例2.7.1 一长a＝8m、宽b＝6m、高h＝ 5m的钢筋混凝土沉箱，底厚d1＝0.5m,侧 24 壁厚d2＝0.3m,如图所示。海水容重 10 kN/m3,钢筋混凝土容重 kN/m3，试检 查沉箱内无水时的稳定性。
ρ
hm
a
hm′
e
a′
θ △G
C l′ C′ D G G′ D′
b′
△G
b
Pz
Pz′
浮心由原来的D变为D`，而且重心也由原来的C变为C`。 倾斜后重力作用线交浮轴于N点，定倾高度由浮体内没有 水时的hm变为有水时的hm`，减小了CN值。 由有效定倾高度来判断有自由表面液体时浮体的稳定性。 hm`>0则浮体的平衡是稳定的。
2.7.3
浮体的平衡与稳定性
浮体的平衡条件与潜体相同，但其平衡的稳定 条件是不一样的。 对于浮体而言，如果重心低于浮心，此时平衡 是稳定的，但当重心高于浮心，浮体的平衡仍 有稳定的可能。
A A′ B′ B
L
e
A A'
s′
| è
浮面 浮体正浮时液面与浮 体表面的交线所围成的平 面称为浮面； 浮轴 浮体处于平衡状态时， 重心C与浮心D的连线称为 浮轴；
匀加速直线运动容器中的静止液体
单位质量的质量力在三个坐 标轴方向上的分量为：

asin
X a cos Y 0 Z a sin g
acos a


dp ( Xdx Ydy Zdz)
图2.8.1
dp a cosdx (a sin g )dz
a
ρ
hm′
e
a′
θ △G
C l′ C′ D G G′ D′
b′
△G
b
Pz
Pz′
G ' G V
l' Gs Gs ' G V
l CN sin CN
'
Gs CN V
Gs ' I y
' ' 'I y 'I y CN V V
2.6
作用在曲面上的静水总压力
在水利工程上常遇到受压面为曲面的情况，如拱坝坝面、
弧形闸墩、弧形闸门等。
A′ B′
作用在曲面上静水总 压力分解为水平分力 和铅直分力分别计算， 再求总压力。
θ
α
Z
图2.6.1
静水总压力的水平分力 作用在dA上的压力可分解为水平分力dPx与铅
直分力dPy。
dPx dPcos
Z
h(dA)z是微小曲面和它在
A′
B′
自由水面延长面上的投影之
间的液柱体积。
θ
在自由水面延长面上投影之 间的铅垂柱体的体积。
Z

AZ
h(dA )Z 就是整个曲面 AB与其
α
图2.6.1
柱体ABB`A`称为压力体。
Pz
A′
B′

AZ
h(dA) z V p
θ
作用在曲面上的静水总压力的 铅直分力等于其压力体内的液
hm e 1.0 0.25 0.75m 0 图2.7.5
2.8 在重力与惯性力同时作用下液体的 相对平衡
相对平衡状态：指液体相对于地球来讲是运动 的，但液体质点之间及液体与边界之间没有相 对运动。液体内各处的切应力也为零，液体处 于相对静止或相对平衡状态。
• •
匀加速直线运动容器中的静止液体 绕中心轴作旋转运动的容器内的静止液体
解：（1）圆筒的重量
作用在AB面上的铅直压力
1 1 PzAB 2 [r 2 r 2 ] 2 [1 12 ] 9.8 4 4 0.4292 9.8 4.21kN
1m = r
作用在BCD面上的铅直压力
1 2 2 ( r r 2r ) 9.8 69.99kN 2 W 69.99 4.21 65.78kN
A A′
B′ B
e
s′
定倾中心 浮体倾斜时，浮轴与浮力作用线的交点 M； 定倾中心M与浮心D间的距离称为定倾 定倾半径 半径，记为ρ ；
A A′
B′ B
e
s′
偏心距 重心C与浮心D间的距离称为偏心距，记为e； 定倾高度 定倾中心M与重心C间的距离称为定倾高度， 记为hm,hm=ρ -e 。
浮体的平衡稳定性 浮体的平衡稳定性取决于重心C和定倾中心M的 相对位置。 若浮体倾斜后，ρ ＞e，重力G与倾斜后的浮力构 成一个使浮体恢复到原来平衡位置的力矩，那么 浮体处于稳定平衡状态。
曲面之压力体
当压力体与液体位于曲面的同 侧时，铅直压力方向朝下，此 时压力体为实压力体。 当压力体与液体分别在曲面的 两侧时，铅直压力朝上，此时 压力体为虚压力体。
2
曲面之压力体
图2.6.2
例题
例2.6.1 用一圆筒闸门挡水，圆筒与墙面之间光滑 接触。圆筒长度为2m。试求：（1）圆筒的重量， （2）圆筒作用于墙上的力。
A A′ B′ B
e
s′
浮体的平衡稳定性 若ρ <e,重力G与倾斜后的浮力构成的力矩将使浮 体继续倾倒，浮体处于不稳定平衡状态。
A A′ B′ B
e
s′
浮体倾斜后，定倾中心M点与重心C点重合，即 ρ =e,重力G与浮力不会产生力矩，浮体处于随遇 平衡。
浮体的平衡稳定性
e稳定平衡 e随遇平衡 <e不稳定平衡
hm 0随遇平衡 hm 0不稳定平衡 hm 0稳定平衡
浮体内没有自由表面液体时定倾半径的计 算

l sin
设浮体倾斜微小角度θ 后，浮心由D移至D`，其 水平距离为 l，则
A A′
θ
B′ B
L
e
A A'
s′
| è
(a)
(b)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ A′
B′ B
L
e
A A'
s′
潜体的平衡与稳定性 潜体的平衡条件
重力与浮力大小相等 重力与浮力对任一点 的力矩代数和为零
Pz G
M
O
0
重力与浮力大小相等且重心与浮心在同一铅直线上。
潜体平衡的稳定性
潜体平衡的稳定性是指潜体遇到外界干扰而发生 倾斜后，所具有恢复到原来平衡状态的能力。 因重心C与浮心D的相对位置不同而不同。 稳定平衡：如果重心C在浮心D之下，潜体发生倾 斜时，重力与浮力形成一个使潜体恢复到原来平 衡状态的力矩，这种状态下的平衡为稳定平衡；
图2.6.3
（2）圆筒作用于墙上的力。
r=
1m
作用于CD与BC面上的水平分力相互抵消。圆筒作用于墙 上的水平分力为
1 Px 2 r 2 9.8 9.8kN 2 2
2
图2.6.3

例2.6.2 一内径为10cm的钢管，壁厚4mm。若 管壁许可的张应力[σ]为1.5×105kN/m2，其管中 最大许可压强为多少？
体重，而作用线通过压力体的
重心。
Z
α
图2.6.1 作用于曲面上的静水总压力P的大小与方
向
P P P
2 x