10011==∑=ni i x n x 3411222=-=∑=n i i x x n s第一章1.在五块条件基本相同的田地上种植某种作物，亩产量分别为92，94，103，105，106（单位：斤），求子样平均数和子样方差。

解：2.从母体中抽取容量为60的子样，它的频数分布求子样平均数与子样方差，并求子样标准差。

解：411*==∑=li i i x m n x67.181122*2=-=∑=li i i x x m n s32.467.18==s3.子样平均数和子样方差的简化计算如下：设子样值n x x x ,,,21⋯的平均数为x 和方差为2x ε。

作变换ca x y i i -=，得到n y y y ,,,21⋯，它的平均数为y 和方差为2y s 。

试证：222,y x s c s y c a x =+=。

解：由变换cax y i i -=，即i i cy a x += ()y cn na x n cy a x ni ini i +=+=∑∑==,11y c a x +=∴而()()()∑∑∑====-=--+=-=ni y in i i n i i xs c y y n c y c a cy a n x x n s 1222212122114.对某种混凝土的抗压强度进行研究，得到它的子样的下列观测数据（单位：磅/英寸2）：1939, 1697， 3030, 2424, 2020, 2909， 1815, 2020, 2310 采用下面简化计算法计算子样平均数和方差。

先作变换2000-=i i x y ，再计算y 与2y s ，然后利用第3题中的公式获得x 和2x s 的数值。

解：作变换2000-=i i x y ，2000=a44.24021649111=⨯==∑=n i i y n y444.2240=+=y a x247.197032112222=-==∑=n i i yxy y n s s5.在冰的溶解热研究中，测量从℃72.0-的冰变成0℃的水所需热量，取13块冰分别作试验得到热量数据如下：79.98， 80.04， 80.02, 80.04, 80.03, 80.03, 80.04， 79.97， 80.05， 80.03， 80.02， 80.00， 80.02 试用变换()80100-=i i x y 简化计算法计算子样平均数和子样方差。

解：作变换()80100-=i i x y ，1001,80==c a22913111=⨯==∑=n i i y n y02.80100280=+=+=y c a x41222222103.5-=⨯=-==∑ni i yxy y nc s c s6.容量为10的子样频数分布为试用变换()2710-=i i x y 作简化计算，求x 与2x s 的数值。

解：作变换()2710-=i i x y ，10/1,27==c a()5.11510111*-=-⨯==∑=l i i i y m n y85.2610)5.1(27=-+=+=y c a x4025.4122*2222=-==∑=li i i yxy y m nc s c s试计算子样平均数和子样方差（各组以组中值作为子样中的数值）解：16611*==∑=l i i i x m n x ，44.331122*2=-=∑=l i i i x x m n s8.若从某母体中抽取容量为13的子样：1.2-,3.2,0,1.0-,1.2,4-,2.22,2.01,1.2,1.0-, 3.21,1.2-,0。

试写出这个子样的顺序统计量、子样中位数和极差。

如果再抽取一个样品为2.7构成一个容量为14的子样，求子样中位数。

解：顺序统计量为4-,1.2-,1.2-,1.0-,1.0-,0, 0，1.2，1.2，2.01,2.22，3.2, 3.210=me21.7)4(21.3=--=R添加2.7后，2.1=me9.从同一母体抽得的两个子样，其容量为1n 和2n ，已经分别算出这两个子样的平均数1X 和2X ，子样方差21s 和22s 。

现将两个子样合并在一起，问容量为21n n +的联合子样的平均数与方差分别是什么？解：∑∑====211211,n i in i ix x x x∑∑==-=-=21122222212121211,1n i i n i i x x n s x x n s()2211211x n x n n n x ++=()()()22221121221221211222121s n s n n n x x n n n n x x s n n i i +++-+=-=∑+=10.某射手进行20次独立、重复的设射击，击中靶子的环数如下表所示：试写出子样的频率分布，再写出经验分布函数并作出其图形。

解：频率分布；⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<=10,1109,9.097,75.076,3.064,1.04,0)(*20x x x x x x x F11.利用第7题中数据作出学生身高的子样直方图。

解：12.设n X X X ,,,21⋯是参数为λ的泊松分布的母体的一个子样，X 是子样平均数，试求X E 和X D 。

解：λλλ=⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑--n n Ex n x n E X E p x ni i n i i 111),(~11n n n Dx n x n D X D ni i n i i λλ=⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==212111113.设n X X X ,,,21⋯是区间)1,1(-上均匀分布的母体的一个子样，试求子样的平均数的均值和方差。

环数10987654 频数 2 3 0 9 4 0 2环数 10 9 8 7 6 5 4 频率 0.1 0.15 0 0.45 0.2 0 0.1解：31122,0211),1,1(~2===+-=-Dx Ex U x 01111===⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑==Ex Ex n x n E x E ni i n i in Dx n x n D x D n i i 31111=•=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑=14.设n X X X ,,,21⋯是分布为),(2σμN 的正态母体的一个子样，求()∑=-=ni i X Y 1221μσ的概率分布。

解：()2,~σμN X Θ，则)1,0(~N x yi iσμ-=，且n Y Y ,,1⋯之间相互独立()∑∑∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=ni ni i i ni i y x x Y 11221221σμμσ由2χ分布定义)(~2n Y χ，Y 服从自由度为n 的2χ分布。

15.设母体X 具有正态分布)1,0(N ，从此母体中取一容量为6的子样),,,,,(654321X X X X X X 。

又设()()26542321X X X X X X Y +++++=。

试决定常数C ，使得随机变量CY 服从2χ分布。

解：)1,0(~N X ，)3,0(~3211N X X X Z ++=)1,0(~31N Z ，()1~32121χZ6542X X X Z ++=亦服从)3,0(N 且与1Z 相互独立，且2χ相互独立。

)1,0(~32N Z ，()1~3222χZ由2χ分布可加性()()2~313133222212221χY Z Z Z Z =+=+，31=∴c16.设()n X X X ,,,21⋯是分布为()2,0σN 的正态母体中的一个子样，试求下列统计量的分布密度：∑==ni i X Y 121)1(； ∑==n i i X n Y 1221)2(； 213)()3(∑==ni i X Y ；21)(1)4(∑=ni i X n 。

解：)1,0(~,),0(~2N X N X ii σσ)1,0(~1),,0(~121N Xn n N Xni ini i∑∑==σσ()()()()1~;1~~;~224223222221χσχσχσχσY n Y n nY n Y()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥Γ=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥Γ=------0,00,21)4(0,00,21)3(0,00,)2(2)2(0,00,)2(2)1(2423222122221222212x x e x x f x x e x n x f x x e n x n x f x x e n x x f xY xY nx n n nn Y x n n n Y σπσσσσπσπσσ17.已知)(~n t X ，求证),1(~2n F X 。

证：令)(~2n t nUX χ=，其中)1,0(~N U)(~22n χχ，且U 与2χ独立，2U 亦与2χ独立 nU X 222χ=，由F 分布定义知),1(~2n F X18.设m n n n X X X X X ++⋯⋯,,,,,,121是分布为),0(2σN 的正态母体容量为m n +的子样，试求下列统计量的概率分布：∑∑++===mn n i ini iX nX m Y 1211)1(；∑∑++===mn n i ini i X n X m Y 12122)2(。

解：(1))1,0(~1N n X ni i ∑=σΘ， 且)(~212m m X mn n i i χσ∑++=⎪⎭⎫⎝⎛)(~)(1211m t mX n X Y mn n i i ni i ∑∑++==⎪⎭⎫⎝⎛=∴σσ(2))(~212n n X ni i χσ∑=⎪⎭⎫⎝⎛Θ)(~212m m X mn n i i χσ∑++=⎪⎭⎫ ⎝⎛),(~12122m n F m X n X Y mn n i i ni i ∑∑++==⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴σσ19.利用2χ分布的性质3近似计算()90201.0χ。

解：26.12133.21809090290)90(01.0201.0=⨯+=⨯⨯+≈u χ20.设()n X 2~χ，试证：当n 很大时，对0>c 有{}⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈≤n n c c X P 2 其中)(x Φ是正态分布)1,0(N 的分布函数。

证： 当n 很大时，X 近似服从)2,(n n N ，于是)1,0(~2N nnX - {}⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤∴n n c n n c n n X P c X P 222。