数理统计汪荣鑫版习题答案数理统计习题答案第一章1.解：()()()()()()()12252112222219294103105106100511100519210094100103100105100106100534n i i n i i i i X x n S x x x n ===++++====-=-⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦=∑∑∑2. 解：子样平均数 *11li i i X m x n ==∑()118340610262604=⨯+⨯+⨯+⨯=子样方差 ()22*11li i i S m x xn ==-∑()()()()222218144034106422646018.67⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎣⎦=子样标准差4.32S =3. 解：因为 i i x a y c-=所以 i ix a cy =+11nii x x n ==∑()1111ni i ni i a cy n na cy n ===+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑1ni i ca y n a c y==+=+∑所以x a c y=+ 成立()2211n x i i s x xn ==-∑()()()22122111ni i ini i nii a cy a c y n cy c y n c y y n====+--=-=-∑∑∑因为 ()2211n y i i s y yn ==-∑所以 222x ys c s = 成立()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====4. 解：变换2000i i y x =-11n i i y y n ==∑()61303103042420909185203109240.444=--++++-++=()2211n y i i s y yn ==-∑()()()()()()()()()222222222161240.444303240.4441030240.4449424240.44420240.444909240.444185240.44420240.444310240.444197032.247=--+--+-+⎡⎣-+-+-+⎤--+-+-⎦=利用3题的结果可知2220002240.444197032.247x y x y s s =+=== 5. 解：变换()10080i i y x =-13111113n i ii i y y y n ====∑∑[]12424334353202132.00=-++++++-+++++=()2211n y i i s y yn ==-∑()()()()()()22222212 2.0032 2.005 2.0034 2.001333 2.003 2.005.3077=--+⨯-+-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+--⎦=利用3题的结果可知2248080.021005.30771010000yx yx s s -=+===⨯6. 解：变换()1027iiy x =-11li ii y m y n ==∑()13529312434101.5=-⨯-⨯+⨯+=-2710yx =+=26.85()2211lyi i i s m y yn ==-∑()()()()22221235 1.539 1.5412 1.534 1.510440.25⎤=⨯-++⨯-++⨯+++⎡⎣⎦=221 4.4025100x y s s ==7解：170 170174178*11li i i x m x n ==∑()1156101601416426172121682817681802100166=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()22*11li i i s m x xn ==-∑()()()()()()()2222222110156166141601662616416628168166100121721668176166218016633.44=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-⎡⎣⎤+⨯-+⨯-+⨯-⎦=8解：将子样值重新排列（由小到大）-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2，3.21()()()()()172181203.2147.211.2e n n e nM X X R X X M X X +⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭====-=--====9解： 121211121211n n i ji j n x n x n n x n n ==+=+∑∑112212n x n x n n +=+()12221121n n ii s x x n n +==-+∑10.某射手进行20次独立、重复的射手，击中靶子的环数如下表所示：试写出子样的频数分布，再写出经验分布函数并作出其图形。

解：()200.1460.3670.75790.9910110x x F x x x x ⎧⎪≤<⎪⎪≤<=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≥⎩11.解：12. 解：()ix P λi Ex λ=i Dx λ=1,2,,i n=⋅⋅⋅1122111111n n i i i i nni i i i n E X E x Ex n n n n DX Dx Dx n n n nλλλλ============∑∑∑∑13.解：(),ixU a b2i a bEx +=()212ib a Dx -=1,2,,i n=⋅⋅⋅在此题中()1,1ix U -i Ex =13i Dx =1,2,,i n=⋅⋅⋅112111101113n ni i i i nni ii i E X E x Ex n n DX Dx Dxn n n==========∑∑∑∑ 14.解：因为()2,iX N μσi X E μσ-= 1i X Dμσ-=所以()0,1i X N μσ-1,2,,i n=⋅⋅⋅由2χ分布定义可知()222111nniii i X Y Xμμσσ==-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∑∑服从2χ分布所以()2Yn χ15. 解：因为()0,1iX N1,2,,i n=⋅⋅⋅()1230,3X X X N ++0=1=所以()0,1N()221χ同理() 221χ由于2χ分布的可加性，故()222123Yχ=+可知13C=16. 解：（1）因为()20,iX N σ1,2,,i n=⋅⋅⋅()0,1iXNσ所以()22121niiX Ynχσσ=⎛⎫=⎪⎝⎭∑(){}11122YY yF y P Y y Pσσ⎧⎫=≤=≤⎨⎬⎩⎭()22yf x dxσχ=⎰()()211'221Y Yyf y F y fχσσ⎛⎫==⨯⎪⎝⎭因为()212222200nxnxe xnf xxχ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≥⎩所以()2112222200nynnYye ynf yyσσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（2） 因为 ()20,i X N σ 1,2,,i n=⋅⋅⋅()0,1iX N σ所以()22221ni i X nY n χσσ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑(){}()22222220nyY nY ny F y P Y y P f x dxσχσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()222'22Y Y ny nf y F y f χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭故()221222202200n nny n n Y n y e y n f y y σσ--⎧⎪>⎪⎛⎫=⎨Γ ⎪⎪⎝⎭⎪≤⎩（3）因为()20,iX N σ 1,2,,i n=⋅⋅⋅()10,1ni N =所以()22311n i Y n χσ=⎛= ⎝(){}()()22333210yn Y Y F y P Y y P y f x dxn σχσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎰()()()233'2211Y Y y f y F y f n n χσσ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ()()221000x x f x x χ-⎧>=≤⎩故()232000y n Y y f y y σ-⎧>=≤⎩ （4）因为()20,iX N σ1,2,,i n=⋅⋅⋅所以()()1224210,11ni ni N Y χσ==⎛= ⎝(){}()()()()()224224442210'2211yY Y Yy F y P Y y P f x dxy f y F y f σχχχσσσσ⎧⎫=≤=≤=⎨⎬⎩⎭⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰故()242000y Y y f y y σ-⎧>=≤⎩17.解：因为()Xt n存在相互独立的U ，V()0,1U N ()2V n χ使X =()221U χ则221U X V n=由定义可知 ()21,F n χ18解：因为()20,iX N σ1,2,,i n=⋅⋅⋅()10,1ni N =()221n mi i n X m χσ+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭∑所以()1nniX Y t m ==（2）因为()0,1iX N σ1,2,,i n m=⋅⋅⋅+()()221221ni i n mi i n X n X m χσχσ=+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑所以()221122211,ni n i ii n m n mi ii n i n X m X n Y F n m X n X mσσ==++=+=+⎛⎫⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑∑19.解：用公式计算()20.010.019090χ=查表得 0.012.33U=代入上式计算可得()20.01909031.26121.26χ=+=20.解：因为()2Xn χ2E nχ=22D n χ=由2χ分布的性质3可知()0,1N{}P X c P ≤=≤22lim t n P dt -→∞-∞≤==Φ故 {}P X c ≤≈Φ第二 章1.,0()0,0()()1()111x x x x xe xf x x E x f x xdx xe dxxe e d x e xλλλλλλλλλλλλ-+∞+∞--∞+∞+∞--+∞-⎧≥=⎨<⎩=⋅==-+=-==⎰⎰⎰令从而有 1x λ∧=2.()111121).()(1)(1)1111k k x x E x k p p p k p ppp ∞∞--===-=-==⎡⎤--⎣⎦∑∑令1p ＝X所以有1p X∧=２）．其似然函数为1`11()(1)(1)ni x i i nX nni L P P p p p -=-=∑=-=-∏1ln ()ln ()ln(1)n i i L P n p X n p ==+--∑1ln 1()01ni i d L n X n dp p p ==--=-∑解之得11nii np XX∧===∑３． 解：因为总体Ｘ服从Ｕ（a ，b ）所以()2122!2!!()12ni i a b n E X r n r X X X X a b S X b X =∧∧+=--⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩⎧=-⎪⎨⎪=+⎩∑222（a-b ）（） D （X ）=12令E （X ）= D （X ）=S ，1S =n a+b2（）a4. 解：（1）设12,,n x x x 为样本观察值则似然函数为：111()(),01,1,2,,ln ()ln ln ln ln 0n ni i i nii inii L x x i nL n x d L nxd θθθθθθθθ-====<<==+=+=∏∑∑（-1）解之得：11ln ln nii nii nxnxθθ=∧==-==∑∑（2）母体X 的期望1()()1E x xf x dx x dx θθθθ+∞-∞===+⎰⎰而样本均值为：11()1nii X x n E x X X Xθ=∧===-∑令得5.。