n
i
xi
)
1 n
i
Exi
1 n
n
1
1
1
Dx D( n
i
xi ) n2
i
Dxi n2
i
Dx n
13.设X1,X2,…,Xn是区间（-1，1）上均匀分 布的母体的一个子样，试求子样平均数的
均值和方差。
解：x U (1,1), Ex 11 0, Dx 22 1
2
12 3
1
1
Ex E( n
解：作变换
yi
xi
100, a
100,
y
1 n
i
yi
10 5
0
x a y 100
sx2
sy2
1 n
i
yi 2
2
y
1 5
[(8)2
(6)2
32
52
62]
0
34
12.设X1,X2,…,Xn是参数为的泊松分布的母体 的一个子样，是子样平均数，试求EX 和DX。
解：
x
p(), E x E(1
2
0 )为(2.125 0.0041)
n
（2）若 未知
构造函数 T x t(n 1)
S* / n
给定置信概率90%，查得t0.05(15) 1.7531，有
p( T t (n 1)) 1
2
∴母体平均数 的置信概率为90%的置信
区间为(x t0.05 (15)
s* )
n
，即（2.125±0.0075）
a
cyi
xi (a cyi ),nx na cny,x a c y
i
i
而sx2
1 n
i
(xi
x)2
1 n
i
(a
cyi
a
c
y)2
c2 n
i
( yi
y)2
c
2
s
2 y
12. 在五块条件基本相同的田地上种植某种 农作物，亩产量分别为92，94，103，105， 106（单位：斤），求子样平均数和子样方 差。
解：X N (0,1), Z1 X1 X 2 X3 N (0,3),
Z1 3
N (0,1), Z12 3
12 (1)
Z2 X4 X5 X6亦服从N(0,3)且与Z1相互独立
Z2
N
(0,1),
Z
2 2
2 (1)
3
3
且与 2 相互独立。由 2分布可加性，
Z12 3
Z22 3
1 3
(Z12
Z
2
即
p( m n
u
2
1 n
m n
(1
m) n
p
m n
u
2
1 m (1 m)} 1
nn n
故p的置信概率为95%的置信区间为 （0.25±0.11）
22.对于方差 2 为已知的正态母体，问需抽
取容量n为多大的子样，才使母体平均数
的置信概率为1 的置信区间的长度不大
于L?
解：X N(, 2 ), 2已知
EX k (1 p)k1 p
＾kp1 1
p
k
[(1 p)k ]'
p
1 p2
1 p
x
((
i
(1
x)i ) '
[ x 1 ]' 1 (1 x)
( x 1) ' x
1 x2
)
(2)极大似然估计
n
xi n
L (1 p)xi 1 p (1 p) i pn
i1
ln L ( xi n) ln(1 p) n ln p
2 2
)
1Y 3
2 (2),c 1
3
17.已知X t(n) ，求证X 2 F(1, n)
证明：令 X U t(n),其中U N(0,1)
2 /n
2 2 (n),且U与2独立,U 2亦与 2独立
X
2
U2
2 /n
,由F分布定义
X
2
F(1, n)
8设母体X N(40,52),从中抽取容量n的样本
k
(k 1)!
xi
k
1e
xi
(
1
n
)n nk (
(k 1)!
i 1
xi xi )k1e i
n
ln L n ln(k 1)! nk ln ln( xi )k1 xi
i1
i
d ln L
d
nk
xi
i
0,＾
k x
或＾
k x
7.设母体X具有均匀分布密度 从中抽得容量为6的子样数值
i
xi ) n
i
Exi Ex 0
Dx D(1
n
i
xi
)
1 n
Dx
1 3n
14.设X1,X2,…,Xn是分布为的正态母体的一
个
Y
子样，求
1
2
n
(Xi
i 1
)2
的概率分布。
解X：N
(
,
2
),
则y i
xi
N (0,1), 且Y1 , ..., Yn 之间相互独立
Y
1
2
(xi )2
14 .设X1,X2,…,Xn为母体N(, 2) 的一个子
n1
样。试选择适当常数C,使C(Xi1 Xi )2 为 2
的无偏估计。
i 1
解： (xi1 xi )2 [(xi1 ) (xi )]2
i
i
(xi )2 2 (xi1 )(xi ) (xi )2
i
i
i
E(xi1 )(xi ) 0
x
1
x
e dx 2 x
1
x
e dx
2
0 2
E E(1 ni
1 xi ) n
i
E xi
＾ 是 的无偏估计.
6.设母体X具有分布密度
k xk1e x , x 0
f(x)= (k 1)!
0, 其他
其中k是已知的正整数,试求未知参数的最大
似然估计量.
解:似然函数
L
n i 1
i
( xi )2 i
i
yi 2
由 2分布定义Y 2(n)，Y服从自由度为n的 2分布。
15.设母体X具有正态分布N(0,1)，从此母体 中取一容量为6的子样（x1,x2,x3,x4,x5,x6）。 又设 。试决定常数C,使 Y (X1 X2 X3)2 (X4 X5 X6)2
得随机变量CY服从 2 分布。
1
x
e , x
2
试求 的最大似然估计;并问所得估计量是
否的无偏估计.
解： n
L f (xi )
i 1
n i 1
1
x
e
2
xi
(
1
)n
e
i
2
xi
ln L n ln 2 n ln i
d ln L n
d
xi
i
2
0
得
＾
1 n
i
xi
E xi E X x f (x)dx
解:n=100, x 1000 小时,s=40小时
用x
估计 ,构造函数u
Байду номын сангаас
x
近似
N (0,1)
s/ n
给定置信概率 1 ,有 P{u u } 1
即
P(x u
2
s n
置信下限 x u
2
s
10x00u12.96sn24)01992.2
n
10
整批电置信子上管限 的x 平u2 均sn 寿10命00 置1.9信6 14概00 率100为7.895%的置信
Dx n
13.设X1,X2,…,Xn是具有泊松分布P() 母体
的一个子样。试验证：子样方差S*2 是
的无偏估计；并且对任一值 [0,1], X (1)S*2
也是 的无偏估计，此处X 为子样的平均
数
解：X P(), EX , DX , E X , ES*2
E( X (1)S*2] E X (1)ES*2 (1)
min
1in
xi
x(1)
12设母体X服从正态分布N(,1), (X1, X2)是
从此母体中抽取的一个子样。试验证下面三
个估计量
（1）＾1
2 3
X1
1 3
X2
（2）＾2
1 4
X1
3 4
X
2
（3）＾3
1 2
X1
1 2
X2
都是 的无偏估计，并求出每个估计量的
方差。问哪一个方差最小？
解：E＾1
E(2 3
第一章 抽样和抽样分布 3.子样平均数和子样方差的简化计算如下：
设子样值x1,x2,…,xn的平均数 x 为和方差为sx2
作变换
yi
xi
a c
，得到y1,y2,…,yn,它的平均
数为
y
和方差为
。试证： 。 yi
xi
c
a
x a c y, sx2 c2sy2
解：由变换 yi
xi
c
s
a
2 y
，即xi
解： x
52 N (40, )
64
P{ x 40 1} P{ x 40 1 } p{U 8}
5/8 5/8
5
2(8) 1 0.8904 5
第二章
参数估计