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空间向量高中数学教案课程

空间向量考纲导读1.理解空间向量的概念;掌握空间向量的加法、减法和数乘.2.了解空间向量的基本定理;理解空间向量坐标的概念;掌握空间向量的坐标运算.3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质;掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式;掌握空间两点间的距离公式.理解空间向量的夹角的概念;掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律;了解空间向量的数量积的几何意义;掌握空间向量的数量积的坐标形式;能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.第1课时空间向量及其运算空间向量是平面向量的推广.在空间,任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量.因此,空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广.本节知识点是:1.空间向量的概念,空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积;(1) 向量:具有 和 的量.(2) 向量相等:方向 且长度 .(3) 向量加法法则: .(4) 向量减法法则: .(5) 数乘向量法则: .3.共线向量(1)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 .(2) 共线向量定理:对空间任意两个向量a 、b (b ≠0),a ∥b 等价于存在实数λ,使 .(3) 直线的向量参数方程:设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ,则对于空间中任意一点O ,点P 在l 上等价于存在R t ∈,使 .4.共面向量(1) 共面向量:平行于 的向量.(2) 共面向量定理:两个向量a 、b 不共线,则向量P 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(y x ,),使P .共面向量定理的推论: .5.空间向量基本定理(1) 空间向量的基底: 的三个向量.2.线性运算律(1) 加法交换律:a +b = .(2) 空间向量基本定理:如果a ,b ,c 三个向量不共面,那么对空间中任意一个向量p ,存在一个唯一的有序实数组z y x ,,,使 .空间向量基本定理的推论:设O ,A ,B ,C 是不共面的的四点,则对空间中任意一点P ,都存在唯一的有序实数组z y x ,,,使 .6.空间向量的数量积(1) 空间向量的夹角: .(2) 空间向量的长度或模: .(3) 空间向量的数量积:已知空间中任意两个向量a 、b ,则a ·b = .空间向量的数量积的常用结论:(a) cos 〈a 、b 〉= ; (b) ?a ?2= ;(c) a ⊥b ⇔ .例1.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,点F 是侧面CDD 1C 1的中心,若1AA y AB x AD AF ++=,求x -y 的值.解:易求得0,21=-∴==y x y x 变式训练1. 在平行六面体1111D C B A ABCD -中,M 为AC 与BD 的交点,若=11B A a ,=11D A b ,=A A 1c ,则下列向量中与M B 1相等的向量是 ( )A .?21a +21b +c B .21a +21b +c(4) 空间向量的数量积的运算律:(a ) 交换律a ·bC .21a ?21b +cD .?21a ?21b +c解:A例2. 底面为正三角形的斜棱柱ABC -A 1B 1C 1中,D 为AC 的中点,求证:AB 1∥平面C 1BD.证明:记,,,1AA ===则CC DC AB +=+=-=-=+=21,21,111∴11AB DC =+=+,∴11,,DC AB 共面.∵B 1∉平面C 1BD, AB 1//平面C 1BD.变式训练2:正方体ABCD -EFGH 中,M 、N 分别是对角线AC 和BE 上的点,且AM =EN .(1) 求证:MN∥平面FC ; (2) 求证:MN⊥AB;(3) 当MA 为何值时,MN 取最小值,最小值是多少?解:(1) 设.)1(,k k k ACMCEBNB +-===则(2) .0)1(=⋅-⋅-=⋅AB BF k AB BC k AB MN (3) 设正方体的边长为a ,也即时AC AM 21=a 22=例3. 已知四面体ABCD 中,AB⊥CD,AC⊥BD, G 、H 分别是△ABC 和△ACD 的重心.求证:(1) AD⊥BC; (2) GH∥BD.证明:(1) AD⊥BC ⇔0=⋅BC AD .因为AB ⊥CD 0=⋅⇔,0=⋅⇔⊥BD AC BD AC ,而0)()(=+⋅+=⋅.所以AD⊥BC.(2) 设E 、F 各为BC 和CD 的中点.欲证GH∥BD,只需证GH∥EF,+==32(+)=32.变式训练3:已知平行六面体1111D C B A ABCD -,E 、F 、G 、H 分别为棱AB C C C D D A 和11111,,的中点.求证:E 、F 、G 、H 四点共面.解:+==1GC +=1FC ++=FC A ++11=+2,所以EH EG EF ,,共面,即点E 、F 、G 、H 共面.例4. 如图,平行六面体AC 1中,AE =3EA 1,AF =FD ,AG =GB 21,过E 、F 、G 的平面与对角线AC 1交于点P ,求AP:PC 1的值.解:设1m =∴m m m 2343++=又∵E、F 、G 、P 四点共面,∴12343=++m m m ∴193=m ∴AP︰PC 1=3︰16变式训练4:已知空间四边形OABC 中,M 为BC 的中点,N 为AC 的中点,P 为OA 的中点,Q 为OB 的中点,若AB =OC ,求证QN PM ⊥.证明:法一:)(21OC OB OM+=)(21OC AB OM PO PM +=+=∴故QNPM ⊥1.立体几何中有关垂直和平行的一些命题,可通过向量运算来证明.对于垂直,一般是利用a ⊥b ⇔a ·b =0进行证明.对于平行,一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明.2.运用向量求解距离问题,其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量,然后计算这个向量对应的模.而计算过程中只要运用好加法法则,就总能利用一个一个的向量三角形,将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来,从而求得结果.3.利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便.其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角,而求两个向量的夹角则可以利用公式c osθ=bab a ⋅.4.异面直线间的距离的向量求法:已知异面直线l 1、l 2,AB 为其公垂线段,C 、D 分别为l 1、l 2上的任意一点,为与共线的向量,则|||n .5.设平面α的一个法向量为,点P 是平面α外一点,且P o ∈α,则点P 到平面α的距离是d ||n o 第2课时 空间向量的坐标运算设a =),,(321a a a ,b =),,(321b b b 法二:PM ·QN =(PQ +QM )·(QM +MN )=)(21OC AB +·)(21BA OC +=4122=0(1) a ±b = (2) λa = . (3) a ·b = .(4) a ∥b ⇔ ;a ⊥b ⇔ . (5) 设),,(),,,(222111z y x B z y x A ==则AB = ,=AB .AB 的中点M 的坐标为 .例1. 若a =(1,5,-1),b =(-2,3,5)(1)若(k a +b )∥(a -3b ),求实数k 的值;(2)若(k a +b )⊥(a -3b ),求实数k 的值; (3)若b a k +取得最小值,求实数k 的值.解:(1)31-=k ;(2)3106=k ; (3)278-=k 变式训练1. 已知O 为原点,向量()()3,0,1,1,1,2,,OA OB OC OA BC ==-⊥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∥OA u u ur ,求AC u u u r .解:设()(),,,1,1,2OC x y z BC x y z ==+--u u u r u u u r,∵,OC OA BC ⊥u u u r u u u r u u u r ∥OA u u ur ,∴0OC OA ⋅=u u u r u u u r ,()BC OA R λλ=∈u u u r u u u r ,∴()()30,1,1,23,0,1x z x y z λ+=⎧⎪⎨+--=⎪⎩,即30,13,10,2.x z x y z λλ+=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩解此方程组,得7211,1,,101010x y z λ=-===。

∴721,1,1010OC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ,3711,1,1010AC OC OA ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r 。

例2. 如图,直三棱柱111C B A ABC -,底面ABC ∆中,CA =CB =1,ο90=∠BCA ,棱21=AA ,M 、N 分别A 1B 1、A 1A 是的中点. (1) 求BM 的长; (2) 求〉〈11,cos CB BA 的值;(3) 求证:N C B A 11⊥.解:以C 为原点建立空间直角坐标系xyz O -.(1) 依题意得B (0,1,0),M (1,0,1).3)01()10()01(222=-+-+-.(2) 依题意得A 1(1,0,2),B (0,1,0),C (0,0,0),B 1(0,1,2).1030,cos 11=>=<∴CB BA .(3) 证明:依题意得C 1(0,0,2),N )0,21,21(),2,1,1(),2,21,21(11=--=∴C A .变式训练2. 在四棱锥P -ABCD 中, 底面ABCD 为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD ,AB =3,BC=1,PA =2,E 为PD 的中点.(1) 在侧面PAB 内找一点N ,使NE⊥面PAC ,并求出N 点到AB 和AP 的距离; (2) 求(1) 中的点N 到平面PAC 的距离.解:(1) 建立空间直角坐标系A -BDP ,则A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分别是A(0, 0, 0)、B(3, 0, 0)、C(3, 1, 0)、D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, 21, 1),依题设N(x , 0, z ),则=(-x , 21, 1-z ),由于NE⊥平面PAC ,∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00 即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅--=⋅--0213010)0,1,3()1,21,(0)2,0,0()1,21,(x z z x z x ⎪⎩⎪⎨⎧==⇒163z x ,即点N 的坐标为(63, 0, 1),从而N 到AB 、AP 的距离分别为1,63.(2) 设N 到平面PAC 的距离为d ,则d ||NE=1233121|)0,21,63(||)0,21,63()1,0,63(|=⨯=--⋅.例3. 如图,在底面是棱形的四棱锥ABCD P -中,,,60a AC PA ABC ===∠οa PD PB 2==,点E 在PD上,且PE :ED =2:1. (1) 证明 ⊥PA 平面ABCD ;(2) 求以AC 为棱,EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小;(3) 在棱PC 上是否存在一点F ,使BF ∥平面AEC ?证明你的结论. 解:(1)证明略; (2)易解得ο30=θ;(3)解 以A 为坐标原点,直线AP AD ,分别为y 轴、z 轴,过A 点垂直于平面PAD 的直线为x 轴,建立空间直角坐标系(如图).由题设条件,相关各点的坐标为 所以=AE )31,32,0(a a ,=AC )0,21,23(a a ,=AP ),,0,0(a =PC ),21,23(a a a - =BP ),21,23(a a a -,设点F 是棱PC 上的点,==PC PF λ),21,23(a a a λλλ-,其中10<<λ,则))1(),1(21),1(23(λλλ-+-=+=a a a PF BP BF .令21λλ+=得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+=-221131)1(3221)1(2123)1(23λλλλλλλa a a a a a a解得23,21,2121=-==λλλ,即21=λ时,2321+-=.亦即,F 是PC 的中点时,AE AC BF ,,共面,又⊄BF 平面AEC ,所以当F 是PC 的中点时,BF ∥平面AEC .例4. 如图,多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 所截而得,其中AB =4,BC =1,BE =3,CF =4.(1) 求和点G 的坐标;(2) 求GE 与平面ABCD 所成的角; (3) 求点C 到截面AEFG 的距离.解:(1) 由图可知:A(1,0,0),B(1,4,0), E(1,4,3),F(0,4,4) ∴)1,0,1(-=又∵=,设G(0,0,z),则(-1,0,z)=(-1,0,1) ∴z=1 ∴G(0,0,1)(2)平面ABCD 的法向量).1,0,0(=)2,4,1(=GE ,设GE 与平面ABCD 成角为θ,则21212||||)2cos(=⋅-GE DG θπ∴21212arcsin =θ (3)设0n ⊥面AEFG ,0n =(x 0,y 0,z 0)∵0n ⊥,0n ⊥,而=(-1,0,1),=(0,4,3) ∴),43,(430340000000000000z z z n z y z x z y z x -=∴⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=+- 取z 0=4,则0n =(4,-3,4) ∵414116||),4,0,0(00==∴=n d 即点C 到截面AEFG 的距离为414116. 变式训练4. 如图四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,PG ⊥平面ABCD ,垂足为G ,G 在AD 上,且PG =4,GD AG 31=,BG ⊥GC ,GB =GC =2,E 是BC 的中点.(1)求异面直线GE 与PC 所成的角的余弦值; (2)求点D 到平面PBG 的距离;(3)若F 点是棱PC 上一点,且DF ⊥GC ,求FC PF 的值. 解:(1)以G 点为原点,GC 、、为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则B (2,0,0),C (0,2,0),P (0,0,4),故E (1,1,0),GE =(1,1,0), PC =(0,2,4)。

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