二次函数表达式、图象、性质
及计算（讲义）
一、知识点睛
1． 一般地，形如__________________（_______________）的
函数叫做x 的二次函数． 2． 表达式、图象及性质：
①由一般式通过______________可推导出顶点式．
顶点式：________________（其中h =______，k =_________）．
②二次函数的图象是_________，是________图形，对称轴是__________，顶点坐标是_____________．
③当a_______时，函数有最_____值，是____________； 当a_______时，函数有最_____值，是____________． ④当a _____时，图象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增大而_______，当x______时，y 随x 的增大而_______；当a_____时，图
象以对称轴为界，当x______时，y 随x 的增大而_______，当x______时，y 随x 的增大而_______． ⑤a ，b ，c 符号与图象的关系：
a 的符号决定了抛物线的开口方向，当_____时，开口向____；当_____时，开口向____．
c 是抛物线与_______交点的______． b 的符号：与a_____________，根据_____________可推导． 3． 二次函数图象平移：
①二次函数图象平移的本质是__________，关键在______． ②图象平移口诀：________________、________________． 平移口诀主要针对二次函数_________________．
二、精讲精练
1. 下列函数（x ，t 是自变量）是二次函数的有________．（填写序号）
①2132y x x =--；②2123y x x =-+；③21
32
y x =-+；
④2
22y x =+；⑤2y x =-；⑥231252
y x x =-+；
⑦215s t t =++；⑧2
20x y -+=． 2. 若函数7
2
)3(--a
x a y =为二次函数，则a =（ ） A ．-3
B ．3
C ．±3
D ．5
3. 通过配方把221213y x x =-+写成2
()y a x h k =-+的形式（ ）
A ．2
(3)5y x =--
B ．2
(3)5y x =+- C ．2
2(3)5y x =-+
D ．2
2(3)5y x =--
4. 由二次函数2
2(3)1y x =++，可知（ ）
A ．其图象的开口向下
B ．当3x <时，y 随x 的增大而减小
C ．图象与y 轴的交点为(0，1)
D ．当x =-3时，y 有最小值1
5. 二次函数522
-+=x x y 有（ ）
A ．最大值5-
B ．最小值5-
C ．最大值6-
D ．最小值6-
6. 二次函数2
21y kx x =++（k <0）的图象可能是（ ）
B ．
7. 二次函数2
y ax bx c =++反比例函数a
y x
=与一次函数y =bx 标系中的大致图象是（ ）
B ．
8. 在同一直角坐标系中，函数y =mx +m 和函数y =-mx ²+2x +2（m 是常数，且m
≠0）的图象可能．．
是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9. 将抛物线y =x 2-2x 向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是__________________．
10. 抛物线y =(x +2)²-3可以由抛物线2y x =平移得到，则下列平移过程正确的是
（ ）
A ．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位
B ．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位
C ．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位
D ．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位
11. 抛物线2
y x bx c =++的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得
图象的函数解析式为2
23y x x =-+，则b ，c 的值为（ ）
A ．b =2，c =3
B ．b =2，c =6
C ．b =-2，c =-1
D ．b =-3，c =2
12. 抛物线y=2(x+m )2+n （m ，n 是常数）的顶点坐标是_______；c
bx ax y ++=2
的顶点坐标是_____________（用含a ，b ，c 的代数式表示）；2241y x x =-++的顶点坐标是__________，有______值，是________．
13. 抛物线21
12
y x =-开口向_____，对称轴是_______，顶点坐标是_______，当
x =_______时，y 有_______值，是_______．
14. （1）已知二次函数的图象经过A (-3，0)，B (1，0)，C (0，3)
三点，求此二次函数的解析式．
解：设二次函数的解析式为______________________， 由题意得： 解得：
∴二次函数的解析式为______________________．
（2）已知二次函数的图象经过A (-4，0)，B (2，0)，C (1，-5)三点，求此二次函数的解析式．
15. （1）二次函数图象的顶点坐标是(1，-3)，且过点(3，-15)，
求此二次函数的解析式．
解：依题意可设这个函数的解析式为__________________， ∵这个函数的图象经过点_____________， ∴_________________________________， 解得：__________________，
∴二次函数的解析式为__________________．
（2）二次函数图象的顶点坐标是(-1，-4)，且过点(1，0)．求此二次函数的解析式．
16. 已知抛物线2145
333
y x x =-++．
（1）把它配方成2
()y a x h k =-+的形式；
（2）写出它的顶点M 的坐标、对称轴和最值；
（3）求出图象与x 轴的交点A ，B （点A 在点B 的左侧）的坐标，与y 轴的交点C 的坐标；
（4）作出函数图象，根据图象指出x 取什么值时y >0；
（5）若该抛物线上两点E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)的横坐标满足0<x 1<x 2<2，试比较y 1与y 2的大小．
三、回顾与思考
【参考答案】 知识点睛
1. 2y ax bx c =++，（a ，b ，c 为常数，a ≠0）
2. ①配方法，2
()y a x h k =-+，2b h a
=-，244ac b k a -=．
②抛物线，轴对称，直线2b x a =-， (2b
a
-，
24)4ac b a -． ③0a >，小，244ac b a -；0a <，大，2
44ac b a -．
④0a >，2b x a <-，减小，2b
x a
>-，增大；
0a <，2b x a <-
，增大，2b x a
>-，减小． ⑤0a >，上；0a <，下． y 轴，纵坐标．左同右异，对称轴．
3. ①点的平移，坐标．②上加下减、左加右减．顶点式．
精讲精练
1．①③⑤⑦⑧ 2．A 3．D 4．D 5．D
6．C
7．D
8．D 9．21027y x x =-+
10．B
11．B
12．(m -，)n ；(2b
a
-，
2
4)4ac b a -；(1，3)，大，3． 13．下，y 轴或直线0x =，(0，1)，0，最大，1． 14．（1）223y x x =--+ （2）228y x x =+- 15．（1）23(1)3y x =--- （2）2(1)4y x =+-
16．（1）21
(2)33
y x =--+．
（2）M (2，3)，对称轴为直线x =2，当x =2时，y 有最大值3．
（3）A (-1，0)；B (5，0)；C (0，5
3
)．
（4）当15x -<<时0y >． （5）12y y <．。