二次函数图象性质及应用（讲义）
➢课前预习
回顾一次函数、反比例函数与二次函数的相关知识，回答下列
问题：
1.对二次函数y =ax2 +bx +c 来说，a，b，c 符号与图象的关系：
a 的符号决定了抛物线的开口方向，当时，开口向；
当时，开口向．
c 是抛物线与交点的．
b 的符号：与a ，根据可推
导．判断下面函数图象的a，b，c 符号：
（1）已知抛物线y =ax2 +bx +c 经过原点和第一、二、三象限，那么（）
A．a > 0，b > 0，c > 0 C．a < 0，b < 0，c > 0 B．a < 0，b < 0，c = 0 D．a > 0，b > 0，c = 0
（2）二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，其对称轴为直线x=-1，给出下列结论：①abc＞0；②2a-b=0．其中正确的是．
2.函数y 值比大小，主要利用函数的增减性和数形结合．如点
A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线y=kx+b 上，当k＞0，x1＜x2时，y1y2．
1
➢知识点睛
1.二次函数对称性：两点对称，则相等；纵坐标相等，
则两点；由(x1，y1)，(x2，y1)知，对称轴为直线．2.二次函数增减性：y 值比大小、取最值，常利用，
借助求解．
3.观察图象判断a，b，c 符号及组合：
①确定符号及信息；
②找特殊点的，获取等式或不等式；
③代入不等式，组合判断残缺式符号．
➢精讲精练
1.若二次函数y=ax2+bx+c 的x 与y 的部分对应值如下表：
x -7 -6 -5 -4 -3 -2
y -27 -13 -3 3 5 3
A．5 B．-3 C．-13 D．-27
2.抛物线y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标x，纵坐标y 的对应值
如下表：
x …-2 -1 0 1 2 …
y …0 4 6 6 4 …
从上表可知，下列说法中正确的是．（填写序号）
①抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)；
②二次函数y =ax2 +bx +c 的最大值为6；
③抛物线的对称轴是直线x =1 ；
2
④在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大．
3.已知二次函数y =x2 - 2mx + 4m - 8 ．若x ≥2 时，函数值y 随
x 的增大而增大，则m 的取值范围是；若x≤1 时，函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是．
4.在二次函数y=-x2+2x+1 的图象中，若y 随x 的增大而增大，
则x 的取值范围是．
2 二次函数草图的画法：
1. 一般草图
1找准开口方向、对称轴、顶点坐标，画二次函数；
2根据各点与对称轴的距离描点（或结合函数间关系画图）．2. 坐标系下画草图时，往往要根
据四点一线来确定大致图
象．四点：二次函数顶点，二
次函数与y 轴的一个交点，二
次函数与x 轴的两个交点．
一线：二次函数对称轴．
）
5.
已知二次函数 y = - 1 x 2 - 3x - 5
，设自变量的值分别为 x 1，x 2，
2 2
x 3，且-3 < x 1 < x 2 < x 3 ，则对应的函数值 y 1，y 2，y 3 的大小关系是（
）
A ． y 1 > y 2 > y 3 C ． y 2 > y 3 > y 1
B ． y 1 < y 2 < y 3 D ． y 2 < y 3 < y 1
6. 若 A (-2，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)是抛物线 y =-(x +1)2+a 上的
三点，则 y 1，y 2，y 3 的大小关系为（ ）
A ． y 1 > y 2 > y 3 C ． y 3 > y 2 > y 1
B ． y 1 > y 3 > y 2 D ． y 3 > y 1 > y 2
7. 若 A ( -
13 ，y )，B ( - 5 ，y )，C ( 1
，y )为二次函数 y =x 2+4x -5 4 1 4 2 4 3
的图象上的三点，则 y 1，y 2，y 3 的大小关系是（ ）
A ． y 1 < y 2 < y 3 C ． y 3 < y 1 < y 2
B ． y 2 < y 1 < y 3 D ． y 1 < y 3 < y 2
8.
已知二次函数 y = ax 2 + bx + c （ a < 0 ）的图象如图所示，当 -5 ≤ x ≤ 0 时，下列说法正确的是（
A . 有最小值-5，最大值 0
B . 有最小值-3，最大值 6
C . 有最小值 0，最大值 2
D .
有最小值 2，最大值 6
9.
（1）已知二次函数 y =x 2-4x -3，若-1≤ x ≤ 6 ，则 y 的取值范围是
；若-3＜x ≤ 4，则 y 的取值范围是
；
若-2＜x ≤1，则 y 的取值范围是 ．
（2）已知二次函数 y =-x 2+6x -3，若-1≤ x ≤ 5 ，则 y 的取值范围是
；若-3＜x ≤ 0，则 y 的取值范围是
； 若-2＜x ≤1，则 y 的取值范围是
．
10.
已知 y =x 2+(1-a )x +1 是关于 x 的二次函数，当 x 的取值范围是 1≤x ≤3 时，y 在 x =1 时取得最大值，则实数 a 的取值范围是
．
3
11.
如图是 y =ax 2+bx +c 的图象，则 a 0，b 0，c
0，
a +
b +c
0，a -b +c
0，2a +b
0．
第 11 题图
第 12 题图
12.
二次函数 y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，小明观察得出了下面四条信息：①c ＞1；②2a -b ＜0；③a +b +c ＜0； ④ m (am + b ) < a - b （m ≠-1）．你认为其中错．误．
的是 ．
13.
如图是二次函数 y =ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c =0；② b > 2a ；③二次函数 y =ax 2+bx +c 与 x 轴的交点坐标为(-3，0)和(1，0)；④ a - 2b + c > 0 ；⑤8a +c ＞ 0．其中正确的命题是
．
第 13 题图
第 14 题图
14.
已知二次函数 y = ax 2 + bx + c （a ≠0）的图象如图所示，有下列 5 个结论：① abc > 0 ；② b < a + c ；③ 4a + 2b + c > 0 ； ④ 2c < 3b ；⑤ a + b > m (am + b )（ m ≠ 1）．其中正确结论的序 号是
．
15. 已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与 x 轴交于点(-2，0)， ( x 1 ，0)，且1 < x 1 < 2 ，与 y 轴正半轴的交点在(0，2)的下方． 下列结论：① 4a - 2b + c = 0 ；② a < b < 0 ；③ 2a + c > 0 ；
④ 2a - b +1 > 0 ．其中正确的结论是
．
4
【参考答案】
➢课前预习
1. a＞0；上；a＜0；下；
y 轴；纵坐标；
左同右异，对称轴的位置
（1）D（2）②
2. ＜
➢知识点睛
1.纵坐标；对称；x =x
1
+x
2 2
2.增减性；函数图象
3.①a，b，c；对称轴；②函数值；③等式➢精讲精练
1. D
2. ①③④
3. m≤2；m≥1
4. x≤1
5. A
6. A
7. B
8. B
9. （1）-7≤y≤9；-7≤y＜18；-6≤y＜9；
（2）-10≤y≤6；-30＜y≤-3；-19＜y≤2
10. a≥5
11. ＜；＜；＞；＜；＞；＜
12. ①④
13. ①③⑤
14. ③④⑤
15. ①②③④
5。