第 ３５ 卷 第 １ 期 ２００６ 年 ３ 月
内蒙古师范大学学报 （自然科学汉文版 ） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｉｎｎｅｒ Ｍ ｏｎｇｏｌｉａ Ｎｏｒｍａｌ Ｕ ｎｉｖｅｒｓｉｔｙ （Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ ）
Ｖｏｌ ． ３５ Ｎｏ ． １ Ｍ ａｒ ．２００６
不确定随机分布参数系统的变结构控制
ｍ ［２ ， ３ ， ５ ， ６］ ［４ ］
［３ ］
的变结构控制问题 ． 这里 ｖ （ ｘ ， ｔ） ∈ Ｒ ； ｕ ∈ Ｒ ； Ａ ，Ｆｉ ∈ Ｒ × ； Ｂ ∈ Ｒ × ， Ｂ 是列满秩的 ； Ξ Ａ （ ｔ） 为时变不确
ｎ ｒ ｎ ｎ ｎ ｒ
ｉ＝ １
∑
σＦｉ ｖ （ ｘ ， ｔ）ｄＷ ｉ （ ｔ） ，（ ｘ ， ｔ） ∈ Ω × Ｒ＋
； Ａ ２１ ，
ｄ ｐ１ ＝ ［ Ｄ Δ ｐ １ ＋ Ａ １１ ｐ１ ＋ Ａ １２ ｐ２ ＋ Ξ Ａ １１ （ ｔ） ｐ１ ＋ Ξ Ａ １２ （ ｔ） ｐ２ ］ｄ ｔ ＋
ｍ ｉ＝ １
∑
σｉ （ Ｆｉ１１ ｐ１ ＋ Ｆｉ１２ ｐ２ ）ｄＷ ｉ （ ｔ） ，
ｍ ｉ＝ １ຫໍສະໝຸດ 我们不加证明地引入下面的引理 ， 其中引理 １ 阐述了 Ξ Ａ ２ （ ｔ） 满足的匹配条件 ． 引理 １ 对于时变不确定量 Ξ Ａ ２ （ ｔ） ， 总存在矩阵 Ｊ （ ｔ） 满足匹配条件 Ξ Ａ ２ （ ｔ） ＝ Ｂ２ Ｊ（ ｔ） ． （６） 如果 Ξ Ａ ２ （ ｔ） 满足匹配条件 （６） ， 注意到 ｖ （ ｘ ， ｔ） 的有界性 ， 一般说来可设 ‖ Ｊ（ ｔ） ｐ （ ｘ ， ｔ） ‖ ≤ ａ ． 另外还可 ［２ ］ 假设 时变不确定项 Ξ Ａ １ （ ｔ） 具有结构 Ξ Ａ １ （ ｔ） ＝ Ｈ Ｆ （ ｔ） Ｅ ， （７） ｒ１ × ｒ２ 其中 ，Ｈ 和 Ｅ 为常数矩阵 ， 不确定矩阵 Ｆ（ ｔ） ∈ Ｒ 满足关系式 Ｔ Ｆ （ ｔ） Ｆ（ ｔ） ≤ Ｉ ， （８） 这里 Ｉ 是具有相应阶数的单位矩阵 ， 要求 Ｅ 的秩满足 ｒａｎｋ （ Ｅ） ＝ ｍａｘ ｛ｒａｎｋ （ Ξ Ａ １ （ ｔ）｝ ， 而且矩阵 Ｈ 与 Ｆ （ ｔ） 都没有零行向量和零列向量 ． Ｔ ｎ Ｔ Ｔ 引理 ２ 如果 Ｆ （ ｔ） Ｆ（ ｔ） ≤ Ｉ ， 则对任意 Ｘ ， Ｙ ∈ Ｒ ， 有 ２ Ｘ Ｆ （ ｔ）Ｙ ≤ Ｘ Ｘ ＋ Ｙ Ｙ ． 设切换函数为 Ｓ（ ｘ ， ｔ） 郴 Ｃ ｐ （ ｘ ， ｔ） ＝ Ｃ１ ｐ１ （ ｘ ， ｔ） ＋ Ｃ２ ｐ２ （ ｘ ， ｔ） ， （９） ｒ × （ ｎ － ｒ） ｒ× ｒ Ｔ 其中 ， Ｃ２ ∈ Ｒ ， Ｃ２ ∈ Ｒ ， 均为待定矩阵 ． 于是 ， 切换面为 Ｓ０ ＝ ｛ ｐ１ ， 现在取 Ｃ２ ｐ２ ） ｜ Ｃ１ ｐ１ ＋ Ｃ２ ｐ２ ＝ ０｝ ． －１ 可逆 ， 则在切换面 Ｓ０ 上 ， 有 ｐ２ ＝ － Ｃ２ Ｃ１ ｐ１ ， 代入 （５） 的第 １ 式 ， 得滑动模运动方程 ｄ ｐ１ （ ｘ ， ｔ） ＝ ［ Ｄ Δ ｐ １ （ ｘ ， ｔ） ＋ （Ｇ ＋ Ξ Ｇ （ ｔ）） ｐ１ （ ｘ ， ｔ）］ｄ ｔ ＋
ｍ ｉ＝ １ ２
（１）
定项 σｉ ∈ Ｒ ； Ｄ ＞ ０ 为常数 ； Δ ＝
∑
备的概率空间 （ Ω ， Ｆ， ｛ Ｆｔ ｝ ｔ ≥ ０ ， Ｐ） 上具自然流｛ Ｆｔ ｝ ｔ ≥ ０ 的 ｍ 维 Ｂｒｏｗ ｎ 运动 ； Ω ＝ ｛ ｘ ，‖ ｘ ‖ ＜ ｌ ＜ ＋ ∞ ｝ 炒 Ｒ 是 具有光滑边界 抄 Ω 的有界区域 ．
・ ８ ・
内蒙古师范大学学报 （自然科学汉文版 ）
第 ３５ 卷
关于系统 （１ － ３） 的解的定义参见文献 ［１０］ ， 解的存在唯一性问题参见文献 ［７］ ． 根据解的定义 ， 本文始 终假设 ： Ｔ （１） ｖ （ ｘ ， ｔ） ＝ （ ｖ１ （ ｘ ， ｔ） ，… ， ｖｎ （ ｘ ， ｔ）） 适应于｛ Ｆｔ ｝ ｔ ≥ ０ ； （２） 橙 Ｔ ∈ Ｒ＋ ， 有 ｖ （ｘ ， ｔ） ∈ Ｃ （ Ω × ［０ ，Ｔ ］ ， Ｒｎ ） ， 且 Ｅ（
Ｔ （ ｎ ｒ） × ｒ ｒ ｒ
Ｔ １ 珟 ＝ Ｔ － １ Ｂ ＝ ［０ ， 珦 ＝ Ｔ － １ Ａ Ｔ ，ΞＡ 珦 （ ｔ） ＝ Ｔ － １ Ξ Ａ （ ｔ） Ｔ ， 珟 其中 Ｂ Ｂ２ ］ ， Ａ Ｆｉ ＝ Ｔ － ＦＴ ． 记 １１ １ １１ １２ Ａ １２ Ｆｉ１１ 珦 ＝ Ａ 珦 ＝ Ξ Ａ （ ｔ） ＝ Ξ Ａ （ ｔ） Ξ Ａ （ ｔ） ， 珟 Ａ ， Ξ Ａ Ｆｉ ＝ Ａ ２１ Ａ ２２ Ξ Ａ ２ （ ｔ） Ξ Ａ ２１ （ ｔ） Ξ Ａ ２２ （ ｔ） Ｆｉ２１ （ ｎ ｒ）× （ ｎ ｒ） ｒ ｒ
（１０）
第１期
１
包俊东 等 ： 不确定随机分布参数系统的变结构控制
１ １
・ ９ ・
这里 ， Ｇ ＝ Ａ １１ － Ａ １２ Ｃ２－ Ｃ１ ，Ξ Ｇ （ ｔ） ＝ Ξ Ａ １１ （ ｔ） － Ξ Ａ １２ （ ｔ）Ｃ２－ Ｃ１ ，Ｈ ｉ ＝ Ｆｉ１１ － Ｆｉ１２ Ｃ２－ Ｃ１ ． 为了叙述方便 ， 再给出两个假设 ： （３） Ξ Ａ ２ （ ｔ） 满足匹配条件 （６） ；
Ｔ Ｔ Ｔ
（４） 存在矩阵 Ｃ ， 使得滑动系数匹配条件 ｒａｎｋ （Ｃ ） ＝ ｒａｎｋ ［Ｃ ｜ Ｅ ］ 成立 ． 基于以上准备 ， 我们设计滑动模控制器 ｕ（ ｘ ， ｔ） 为 Ｔ Ｔ Ｂ２ Ｃ２ Ｓ －１ ｕ（ ｘ ， ｔ） ＝ － ａ － （Ｃ２ Ｂ２ ） ［（ Ｃ１ Ａ １１ ＋ Ｃ２ Ａ ２１ ） ｐ１ ＋ （Ｃ１ Ａ １２ ＋ Ｃ２ Ａ ２２ ） ｐ２ ＋ Ｔ Ｔ ‖ Ｂ２ Ｃ２ Ｓ ‖ １ Ｔ Ｔ Ｔ （Ｃ１ Ｈ Ｈ Ｃ１ Ｓ ＋ Ｅ０ Ｅ０ Ｓ ） ＋ ｋ１ ｓｎｇ Ｓ ＋ ｋ２ Ｓ ］ ， （１１） ２ ｒ ｒ 其中 ： Ｅ ＝ Ｅ０ Ｃ ， Ｅ０ ∈ Ｒ ０ × ； ｋ１ ＞ ０ ， ｋ２ ≥ Ｄ 均为常数 ． 系统 （１） 在变结构控制器 （８） 作用下的闭环系统是
包俊东１ ，邓飞其２ ，罗琦３ ，赵碧蓉４
（１ ． 内蒙古师范大学 数学科学学院 ， 内蒙古 呼和浩特 ０１００２２ ；２ ． 华南理工大学 自动化科学与工程学院 ， 广东 广州 ５１０６４０ ；３ ． 南京信息工程大学 信息与通信系 ， 江苏 南京 ２１００４４ ；４ ． 广州大学 数学系 ， 广东 广州 ５１００００） 摘 要 ：研究了一类不确定随机分布参数系统的变结构控制问题 ， 通过非线性变换建立了系统的变结构运 动方程 ， 设计了系统的变结构控制器 ， 分析了滑动模运动方程的确定性质与稳定性 ． 关键词 ：不确定 ；随机 ；分布参数系统 ；变结构控制 中图分类号 ：Ｏ ２３１ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１００１‐ ‐８７３５（２００６）０１‐ ‐０００７‐ ‐０５
ｍ ｉ＝ １
ｄ ｐ２ ＝ ［ Ｄ Δ ｐ ２ ＋ Ａ ２１ ｐ１ ＋ Ａ ２２ ｐ２ ＋ Ξ Ａ ２１ （ ｔ） ｐ１ ＋ Ξ Ａ ２２ （ ｔ） ｐ２ ＋ Ｂ２ ｕ］ｄ ｔ ＋
∑
σｉ （ Ｆｉ２１ ｐ１ ＋ Ｆｉ２２ ｐ２ ）ｄＷ ｉ （ ｔ） ．
（５）
∑
σｉ Ｈ ｉ ｐ １ ｄＷ ｉ （ ｔ） ，
１ 系统描述
自 １９８７ 年 Ｏｒｌｏｖ 等 提出热加工过程中的抛物型系统的控制模型 ， 并设计了变结构控制器以来 ， 关于 ［２ ］ 分布参数系统变结构控制的研究就受到广泛的关注 ． 继胡跃明等 出版了专著枟分布参数变结构控制系统枠
［１ ］
后， 刘永清等 又系统地研究了滞后分布参数系统的变结构控制 ． 考虑到在工业技术控制过程和其他实际动 力系统中 ， 由于测量的误差 、 模型的误差和线性化近似等原因 ， 不确定量可能出现在动力系统或者控制过程 中， 崔宝同等 研究了由偏微分方程所描述的不确定时滞分布参数系统的滑动模控制 ． 关于分布参数系统的 研究已日趋完善 ， 但随机抛物型分布参数系统的研究工作目前还不多见 ． 文献 ［７ － ９］将偏微分方程的 相关研究方法应用于随机偏微分方程 ， 对相应的随机解域进行了定性分析 ， 文献 ［１０ ］在建立比较定理的基 础上 ， 讨论了随机偏微分方程依概率稳定等问题 ， 文献 ［１１］则研究了随机分布参数系统的最优控制问题 ， 最 近， 文献 ［１２］研究了随机抛物型神经网络的指数稳定问题 ． 本文拟进一步探讨不确定抛物型随机系统的变 结构控制 ， 在一定条件下设计了不确定分布参数系统的滑动模控制器 ， 分析了在滑动模切换面上滑动模控制 系统关于不确定量的不变性特征及其稳定性 ． 考虑不确定随机抛物型分布参数控制系统 ｄｖ（ｘ ， ｔ） ＝ ［ Ｄ Δ ｖ （ ｘ ， ｔ） ＋ （Ａ ＋ Ξ Ａ （ ｔ）） ｖ （ ｘ ， ｔ） ＋ Ｂ ｕ （ ｘ ， ｔ）］ｄ ｔ ＋
收稿日期 ：２００５ － ０７ － １４ 基金项目 ： 国家自然科学基金资助项目 （６０３７４０２３ ， １０４６１００６ ）
（２） （３）
作者简介 ： 包俊东 （１９５８ － ） ， 男 （蒙古族 ） ， 内蒙古扎赉特旗人 ， 内蒙古师范大学教授 ， 博士 ， 主要从事时滞系统 、 随机系统的稳定与镇定研究 ．
珦 ＋ ΞＡ 珦 （ ｔ）） ｐ （ ｘ ， 珟 ｕ（ｘ ， ｄ ｐ（ｘ ， ｔ） ＝ ［ Ｄ Δ ｐ （ ｘ ， ｔ） ＋ （Ａ ｔ） ＋ Ｂ ｔ）］ｄ ｔ ＋
ｍ ｉ＝ １
∑
σ珟 Ｆｉ ｖ （ｘ ， ｔ）ｄＷ ｉ （ ｔ） ，
Ｆｉ１２ Ｆｉ２２
（４）
，
（ ｎ － ｒ）× ｒ
－ 其中 ：矩阵 Ａ １１ ，Ξ Ａ １１ （ ｔ） ，Ｆｉ１１ ∈ Ｒ － ； Ａ ２２ ， Ξ Ａ ２２ （ ｔ） ，Ｆｉ２２ ∈ Ｒ × ； Ａ １２ ，Ξ Ａ １２ （ ｔ） ，Ｆｉ１２ ∈ Ｒ ｒ （ ｎ ｒ） Ξ Ａ ２１ （ ｔ） ，Ｆｉ２１ ∈ Ｒ × － ． 于是 ， 系统 （４） 又可改写为
ｓ
Ｔ 抄 Ｗ ｍ ） 是定义在完 ２ 是 Ω 上的 Ｌａｐｌａｃｅ 扩散算子 ；Ｗ （ ｔ） ＝ （Ｗ １ ，… ， 抄 ｘｉ